甘智華 汪偉偉 王龍一 陶 軒 劉碧強(qiáng)
(浙江大學(xué)制冷與低溫研究所 杭州 310027)
相比其它軸承支撐技術(shù),柔性板彈簧(flexure bearing,亦可譯為flexure spring,簡(jiǎn)稱板彈簧)具有較大的徑軸向剛度比與理論上的長(zhǎng)壽命,是空間機(jī)械式低溫制冷技術(shù)高效可靠、長(zhǎng)壽命運(yùn)行的關(guān)鍵[1]。其較大的徑向剛度用于支撐動(dòng)子部件,在無(wú)活塞環(huán)的情況下,保證活塞與氣缸之間的狹小間隙(微米級(jí))以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)密封及活塞與氣缸之間的非接觸往復(fù)運(yùn)動(dòng);較小的軸向剛度保證活塞在軸向有限位移下幾乎無(wú)限次的自由往復(fù)運(yùn)動(dòng),因此板彈簧具有軸承和彈簧的雙重作用以及潛在的長(zhǎng)壽命[2]。早期的板彈簧曾應(yīng)用于紫外線傳感器快門系統(tǒng)[3]和人工心臟[4],直到1981年,牛津大學(xué)的Davey第一次將板彈簧應(yīng)用于低溫制冷機(jī),使得制冷機(jī)的間隙密封和無(wú)油潤(rùn)滑技術(shù)成為可能,迅速成為空間長(zhǎng)壽命機(jī)械式低溫制冷機(jī)的首選技術(shù)[5]。此后,板彈簧在低溫制冷機(jī)領(lǐng)域獲得了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。
目前應(yīng)用的板彈簧主要有3種形式,即渦旋臂、直線臂和Corey型板彈簧,如圖1所示。渦旋臂板彈簧(圖1a)是應(yīng)用最早的一種板彈簧[6],后來(lái)又有了直線臂板彈簧[7](圖1b)和美國(guó) Chart(前 Qdrive)公司特有的Corey型板彈簧[8](圖1c)。其中渦旋臂板彈簧的應(yīng)用最廣,一些著名的低溫制冷機(jī)生產(chǎn)商如Sunpower[9]、Thales[10]、Ricor[11]等都采用這種形式的板彈簧。
圖1 3種不同類型的板彈簧Fig.1 Three different kinds of flexure springs
渦旋線的構(gòu)造關(guān)系到板彈簧的徑軸向剛度及應(yīng)力分布,是保證板彈簧長(zhǎng)壽命運(yùn)行的重要研究?jī)?nèi)容。構(gòu)造板彈簧型線的方法有很多。1992年,Wong等利用曲線擬合的方法來(lái)構(gòu)造渦旋線[12]。1994年,Haruyama等利用阿基米德螺旋線來(lái)構(gòu)造渦旋線,并將得到的板彈簧與牛津大學(xué)的板彈簧進(jìn)行對(duì)比分析,得到了相似的板彈簧性能[13]。2007年,Al-Otaibi等也利用阿基米德螺旋線來(lái)構(gòu)造渦旋線,通過(guò)有限元方法對(duì)板彈簧進(jìn)行剛度和應(yīng)力計(jì)算,并優(yōu)化了最大應(yīng)力分布[2]。2006年,陳楠等提出利用圓漸開線對(duì)渦旋線進(jìn)行構(gòu)造,并給出了該型線板彈簧剛度和自振頻率的理論計(jì)算公式[14]。陳曦等在2011年又提出了利用費(fèi)馬曲線來(lái)構(gòu)造渦旋線,并從理論計(jì)算、有限元和實(shí)驗(yàn)上進(jìn)行對(duì)比分析[15]。
本文提出同時(shí)以“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”為板彈簧的優(yōu)化參數(shù),針對(duì)應(yīng)用最廣泛的渦旋臂板彈簧,研究了阿基米德、曲線擬合以及圓漸開線3種不同型線的特性,對(duì)偏心型與同心型板彈簧進(jìn)行了比較,通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步證明了有限元方法的可靠性。
在板彈簧的設(shè)計(jì)過(guò)程中,應(yīng)特別關(guān)注板彈簧的4個(gè)性能參數(shù),即軸向剛度、徑向剛度、最大應(yīng)力及自振頻率。
2.1.1 軸向剛度(kz)
較小的軸向剛度用于實(shí)現(xiàn)活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)以及系統(tǒng)的共振運(yùn)行。
2.1.2 徑向剛度(kr)
較大的徑向剛度保證低溫制冷機(jī)活塞和氣缸之間微米級(jí)的間隙密封和無(wú)油潤(rùn)滑,降低活塞和氣缸之間發(fā)生接觸摩擦的風(fēng)險(xiǎn)。
2.1.3 最大應(yīng)力(σmax)
由于活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng),板彈簧將受到交變的應(yīng)力作用,較大的應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致板彈簧破裂損壞,降低制冷機(jī)的使用壽命。因此板彈簧應(yīng)具有較小的應(yīng)力分布,其最大應(yīng)力應(yīng)低于板彈簧材料疲勞強(qiáng)度的60%。
2.1.4 自振頻率(f)
為了防止板彈簧發(fā)生自振斷裂,低溫制冷機(jī)的運(yùn)行頻率應(yīng)避開板彈簧的自振頻率,從而提高板彈簧的使用壽命。
板彈簧在設(shè)計(jì)過(guò)程中需要優(yōu)化,即在滿足軸向剛度的前提下,應(yīng)盡量提高板彈簧的徑向剛度,減小應(yīng)力分布。單純比較軸向剛度、徑向剛度以及最大應(yīng)力分布往往不能準(zhǔn)確的判斷板彈簧的設(shè)計(jì)好壞,因此,本文提出同時(shí)考慮“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”為板彈簧的優(yōu)化參數(shù)。
2.2.1 徑軸向剛度比(K)
即徑向剛度與軸向剛度之比,如式(1)所示。K越大,表示在相同軸向剛度的前提下,具有更大的徑向剛度,因此可以更好的支撐動(dòng)子部件,保證間隙密封和無(wú)油潤(rùn)滑。
2.2.2 最大應(yīng)力與軸向剛度比(S)
即板彈簧最大應(yīng)力與軸向剛度之比,如式(2)所示。S越小,表示在滿足相同軸向剛度及軸向位移時(shí),具有較小的應(yīng)力分布,這有利于提高板彈簧的使用壽命。
對(duì)于基本幾何尺寸相同的板彈簧,最大應(yīng)力分布與其軸向剛度有關(guān),一般軸向剛度越大,相同位移處的應(yīng)力也越大;同時(shí)板彈簧的軸向剛度一般不隨位移變化,是板彈簧的固有屬性,而徑向剛度隨位移的增大而減小,最大應(yīng)力隨位移的增大而增大;因此提出以“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”作為板彈簧的優(yōu)化參數(shù)更具合理性。為了更好地說(shuō)明這兩個(gè)優(yōu)化參數(shù),下面分別使用兩種比較方法,對(duì)不同形式的板彈簧進(jìn)行性能分析。
2.2.3 單純比較 kz、kr以及 σmax
兩種板彈簧的徑軸向剛度以及最大應(yīng)力分布如圖2和圖3所示。從圖中可以看出,板彈簧1的徑軸向剛度和最大應(yīng)力都小于板彈簧2,即板彈簧2的徑向剛度優(yōu)于板彈簧1,而板彈簧1的最大應(yīng)力分布卻優(yōu)于板彈簧2,這就很難對(duì)板彈簧的性能優(yōu)劣做出準(zhǔn)確的判斷。
圖2 兩種板彈簧的徑軸向剛度Fig.2 Axial and radial stiffness of two flexure springs
2.2.4 綜合比較K和S
當(dāng)采用新的優(yōu)化參數(shù)后,得到兩種板彈簧的“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”如圖4和圖5所示。從圖中可以清晰的看出,板彈簧2具有較大的K與較小的S,較大的K值可以有效的保證低溫制冷機(jī)的間隙密封和無(wú)油潤(rùn)滑,較小的S值可以降低板彈簧疲勞失效的風(fēng)險(xiǎn),延長(zhǎng)其使用壽命。因此板彈簧2的設(shè)計(jì)較優(yōu)。
圖3 兩種板彈簧的最大應(yīng)力分布Fig.3 Maximal stress distribution of two flexure springs
圖4 兩種板彈簧的徑軸向剛度比Fig.4 K of two flexure springs
圖5 兩種板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比Fig.5 S of two flexure springs
通過(guò)對(duì)比以上兩種方法可以得出,同時(shí)考慮“徑軸向剛度比”及“最大應(yīng)力與軸向剛度比”作為板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)更具合理性,因此本文以下工作都基于上述兩個(gè)優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行展開。
渦旋臂板彈簧是應(yīng)用最廣泛的一種板彈簧,其型線設(shè)計(jì)也一直是板彈簧研究的重點(diǎn)。本文在總結(jié)國(guó)內(nèi)外渦旋線的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)和研究了3種不同型線的渦旋臂板彈簧,下面給出3種型線的設(shè)計(jì)方程式。
3.1.1 圓漸開線型渦旋線[15]
圓漸開線型渦旋線由陳楠提出,目前在國(guó)內(nèi)應(yīng)用較多,其型線方程如式(3)。
式中:R為基圓半徑,α為漸開線展角。
3.1.2 阿基米德型渦旋線[14]
阿基米德螺旋線是應(yīng)用很廣的一種構(gòu)造渦旋線的方法,其極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程分別如式(4)和式(5)所示。
式中:r為渦旋線極徑,θ為極角,a為θ=0時(shí)的極徑,b為極角系數(shù)。
3.1.3 曲線擬合型渦旋線[12]
板彈簧的渦旋線也可以通過(guò)曲線擬合的方法得到,如式(6)。
式中:λ = β/βmax,f(λ)=c1λ +c2λ3+c3λ5+c4λ7,ri為渦旋線內(nèi)半徑,ro為渦旋線外半徑,β為渦旋角,βmax為最大渦旋角,c1、c2、c3、c4、n 為待定系數(shù)。根據(jù)定義,有邊界條件:
定義拐點(diǎn),令:
式中:si為內(nèi)圓斜率截距,so為外圓斜率截距。為得到合適的板彈簧,需限制一些系數(shù)的大小,令:0.4≤m≤0.6,1≤n≤1.25,0.8≤si,so≤1.2。
針對(duì)3種不同的渦旋線,分別設(shè)計(jì)出兩組不同形式的渦旋臂板彈簧,即三臂同心型板彈簧和六臂同心型板彈簧,如圖6所示。利用Ansys有限元計(jì)算軟件,對(duì)比分析了兩組板彈簧的K值以及S值。為真實(shí)的比較不同型線的板彈簧性能,設(shè)定每組板彈簧的基本尺寸一致,渦旋線的起始點(diǎn)相同,并盡量保證型線輪廓一致。其中,每組板彈簧的基本尺寸如表1所示。
圖6 不同形式的同心型板彈簧Fig.6 Different types of concentric flexure springs
表1 兩組同心型板彈簧的基本尺寸Table 1 Basic dimensions of two concentric flexure springs
通過(guò)給板彈簧施加軸向載荷以及特定位移處的徑向載荷,可以分別計(jì)算出板彈簧的軸向剛度以及不同位移處的徑向剛度,得到兩組板彈簧的徑軸向剛度比如圖7所示。從圖中可以看出,圓漸開線型板彈簧的徑軸向剛度比最大,阿基米德型次之,曲線擬合型最小。同時(shí)也可以看出,板彈簧的徑向剛度隨動(dòng)子位移的增大而減小,這一點(diǎn)在低溫制冷機(jī)的設(shè)計(jì)中要特別考慮。為保證間隙密封的可靠性,徑向剛度要取活塞最大位移處的值,即最小的徑向剛度。
對(duì)于最大應(yīng)力的計(jì)算,應(yīng)考慮板彈簧的實(shí)際受力狀態(tài)。由于板彈簧始終要支撐動(dòng)子部件,故徑向要承受一定的載荷;而軸向隨動(dòng)子運(yùn)動(dòng),具有一定的位移。因此給板彈簧施加1 N的徑向力以模擬動(dòng)子的重力作用,再施加一定軸向位移載荷,從而得到板彈簧的最大應(yīng)力分布;其最大應(yīng)力與軸向剛度比如圖8所示。從圖中可以看出,3種不同渦旋型線板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比非常接近,同時(shí)也可以看出,板彈簧的最大應(yīng)力幾乎隨位移線性增加。
通過(guò)以上比較分析,可以得到:圓漸開線型板彈簧型線設(shè)計(jì)較為簡(jiǎn)單,具有較高的徑軸向剛度比;阿基米德型設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單,具有適中的徑軸向剛度比;曲線擬合型設(shè)計(jì)復(fù)雜,具有較低的徑軸向剛度比;因此圓漸開線和阿基米德螺旋線都可以作為渦旋板彈簧的型線設(shè)計(jì)之用,且圓漸開線較優(yōu);這是由于采用圓漸開線可以得到均勻分布的渦旋槽寬度,而另外兩種渦旋線的渦旋槽寬度具有不均勻分布的特性。
圖7 不同渦旋型線板彈簧的徑軸向剛度比Fig.7 K of different spiral-line flexure springs
圖8 不同渦旋型線板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比Fig.8 S of different spiral-line flexure springs
偏心型板彈簧與同心型板彈簧相比,具有較小的軸向剛度,因此在相同軸向剛度時(shí),偏心型板彈簧具有較大的厚度,即具有較高的徑向剛度,這樣就能更好的保證低溫制冷機(jī)的間隙密封和無(wú)油潤(rùn)滑,降低活塞氣缸發(fā)生摩擦碰撞的風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)圖6中兩組板彈簧,分別作偏心處理,得到兩組偏心型板彈簧如圖9所示,其中每組板彈簧的偏心率相同。
圖9 不同形式的偏心型板彈簧Fig.9 Different types of eccentric flexure springs
利用有限元方法,計(jì)算得到同心型和偏心型板彈簧的徑軸向剛度比如圖10所示。從圖中可以看出,偏心型板彈簧的徑軸向剛度比要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于同心型板彈簧,在最大位移處,三臂偏心板彈簧要高出40%以上,六臂偏心板彈簧要高出210%以上;同時(shí)也可得到,偏心型板彈簧徑向剛度隨軸向位移的變化要平緩一些,這有利于低溫制冷機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行。
同心型與偏心型板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比如圖11所示。從圖中可以看出,偏心型板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比要略小于同心型板彈簧,且對(duì)于不同形式的板彈簧,其最大應(yīng)力與軸向剛度比與位移都具有較好的線性關(guān)系。
為了驗(yàn)證有限元計(jì)算方法的準(zhǔn)確性,針對(duì)4片完全相同的柔性板彈簧,利用Zwick電子試驗(yàn)機(jī)分別進(jìn)行了軸向剛度的測(cè)量,其中力載荷與位移關(guān)系曲線如圖12所示。然后將4片板彈簧組裝在一起,測(cè)得板彈簧組件的軸向剛度值如表2所示。從表中可以看出,板彈簧的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值稍低于有限元計(jì)算值,但非常接近,4個(gè)試樣的平均誤差為11.6%,從而證明了有限元方法的可靠性。同時(shí)可以看出,板彈簧組件的整體軸向剛度并不是4片板彈簧軸向剛度的簡(jiǎn)單疊加,需要獨(dú)立測(cè)量,這一點(diǎn)在設(shè)計(jì)中需要特別注意。因?yàn)榘鍙椈山M件的整體剛度直接關(guān)系到線性壓縮機(jī)的共振頻率,而線性壓縮機(jī)只有工作在共振狀態(tài),才具有最高效率。
圖10 同心型和偏心型板彈簧的徑軸向剛度比Fig.10 K of concentric and eccentric flexure springs
圖11 同心與偏心型板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比Fig.11 S of two concentric and eccentric flexure springs
圖12 板彈簧的剛度曲線Fig.12 Axial stiffness of flexure springs
表2 板彈簧試樣及組件軸向剛度值Table 2 Axial stiffness of flexure spring samples and assembly
(1)提出同時(shí)考慮“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”為板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù),利用這兩個(gè)參數(shù),可以更加精確的指導(dǎo)板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)工作。
(2)圓漸開線和阿基米德螺旋線適用于渦旋線的構(gòu)造,且圓漸開線較優(yōu)。
(3)偏心型板彈簧具有較大的徑軸向剛度比與較優(yōu)的應(yīng)力分布,且徑向剛度隨位移的變化平緩,有利于低溫制冷機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行。
(4)實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了有限元方法的可靠性,且板彈簧組件的整體剛度并不是每片板彈簧軸向剛度的簡(jiǎn)單疊加。
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