康健 文香丹

[摘要]利用已有高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)資源，開發(fā)具有生成性的教學(xué)資源的教學(xué)課例.

[關(guān)鍵詞]生成性 教學(xué)資源 周期性

在人教A版必修四《1.1任意角和弧度制》的課后練習(xí)題中有一道考察周期性的習(xí)題，經(jīng)過改編成為了很好的生成性教學(xué)資源。

一、提出問題

一位同學(xué)2004年3月21日過生日，這天正好是星期天，那么2005年3月21日這天能否是星期天？如果不是，那么還要經(jīng)過多少年，這一年的3月21日（他的生日）又會(huì)星期天呢？現(xiàn)在給出任意一年的任意一個(gè)日期，經(jīng)過多少年這一日期與原日期的星期重合？

這個(gè)問題提出后，很多同學(xué)立刻給出了第一個(gè)問題“不是”的答案，因?yàn)?004年3月21日到2005年3月21日要經(jīng)過365天，365被7除等于52余1，所以一年后的3月21日不是星期天。第二個(gè)問題在第一個(gè)問題解決后，有的同學(xué)不假思索的回答是7年，而有的同學(xué)在認(rèn)真思考、論證后回答是6年，顯然后一個(gè)答案是正確的，前一個(gè)答案沒有考慮每四年中有一個(gè)閏年，這一年有366天。兩個(gè)問題解決完，同學(xué)們都有些意猶未盡的感覺，第三個(gè)問題經(jīng)過分組討論，答案集中在5年、6年、11年三個(gè)結(jié)果中，同學(xué)們各有各的理由，但哪一個(gè)是正確的呢？

二、分析問題

答案為5年的同學(xué)，所選日期都在閏年前一年的3月1日到閏年的2月28日這一時(shí)間段，在此時(shí)間段的日期到下一年同一日期間隔366天，接著間隔3個(gè)365天和一個(gè)366天，這些天數(shù)加在一起正好是7的整數(shù)倍。間隔天數(shù)為366、365、365、365、366，可把它們看作整年，對(duì)應(yīng)的年份記為閏-平-平-平-閏。

答案為6年的同學(xué)，所選日期都在閏年的3月1日到下一個(gè)平年的2月28日，或是從下一個(gè)平年的3月1日到第二個(gè)平年的2月28日這兩個(gè)時(shí)間段。間隔天數(shù)對(duì)應(yīng)的年份記為平-平-平-閏-平-平或平-平-閏-平-平-平。

答案為11年的同學(xué)，所選日期都在閏年后的第二個(gè)平年的3月1日到第三個(gè)平年的2月28日。間隔天數(shù)對(duì)應(yīng)的年份記為平-閏-平-平-平-閏-平-平-平-閏-平。

原來這三個(gè)答案都正確，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言對(duì)此進(jìn)行解釋，實(shí)際就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模過程。

三、解決問題

1.建立模型

這三個(gè)問題可抽象為一個(gè)求解不定方程的數(shù)學(xué)問題，設(shè)經(jīng)過m個(gè)閏年，n個(gè)平年后，兩個(gè)相同的日期如果星期也一致，那么它們間隔天數(shù)之和一定是7的整數(shù)倍，即求解366m+365n=7x0關(guān)于m、n、x0的整數(shù)解的不定方程。

2.模型化簡(jiǎn)

因?yàn)?66除以7等于52余2，365除以7等于52余1，根據(jù)同余原理原不定方程366m+365n=7x0可簡(jiǎn)化為2m+n=7y0的形式，其中m、n、y0是所要求的正整數(shù)解。

3.模型假設(shè)

設(shè)閏年為第N1類年，閏年后的第二年為第N2類年，閏年后的第三年為第N3類年，閏年后的第四年為第N4類年；再設(shè)N1類年的3月1日到其下一年的2月28日為M1區(qū)間，第N2類年的3月1日到其下一年的2月28日為M2區(qū)間，第N3類年的3月1日到其下一年的2月28日為M3區(qū)間，第N4類年的3月1日到其下一個(gè)閏年的2月28日為M4區(qū)間。這樣除了2月29日這一特殊日期，任一年的任一天的日期都會(huì)找到相對(duì)應(yīng)的區(qū)間。

4.模型求解

根據(jù)模型的化簡(jiǎn)，只要考慮每?jī)赡觊g同一日期間隔天數(shù)被7整除的余數(shù)，當(dāng)余數(shù)的和等于7的整數(shù)倍時(shí)，就可以求得相應(yīng)的解。例如：第M1區(qū)間內(nèi)的日期到其后相同日期，每?jī)赡觊g隔天數(shù)被7整除所得余數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)列為1，1，1，2，1，1，1，2，…，前六項(xiàng)的和等于7，則在第M1區(qū)間的日期最少要經(jīng)過六年，星期會(huì)與原日期對(duì)應(yīng)的星期相一致，此時(shí)不定方程2m+n=7y0的解為m=1，n=5， y0=1；第M2區(qū)間內(nèi)的討論的結(jié)果和M1區(qū)間內(nèi)的相同；第M3區(qū)間內(nèi)的日期到其后相同日期，每?jī)赡觊g隔天數(shù)被7整除所得余數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)列為1，2，1，1，1，2，1，1，…，前十一項(xiàng)的和等于14，則在第M3區(qū)間的日期最少要經(jīng)過十一年后，星期會(huì)與原日期對(duì)應(yīng)的星期相一致，此時(shí)不定方程2m+n=7y0的解為m=3，n=8， y0=2；第M4區(qū)間內(nèi)的日期到其后相同日期，每?jī)赡觊g隔天數(shù)被7整除所得余數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)列為2，1，1，1，2，1，1，1，…，前五項(xiàng)的和為7，則在第M4區(qū)間的日期最少要經(jīng)過五年后，星期會(huì)與原日期對(duì)應(yīng)的星期相一致，此時(shí)不定方程2m+n=7y0的解為m=2，n=3， y0=1；2月29日到下一個(gè)2月29日經(jīng)過四年，經(jīng)過的天數(shù)被7整除余5，是5的倍數(shù)且能被7整除的最小正整數(shù)是35，也就是要經(jīng)過7個(gè)四年后星期相一致，此時(shí)不定方程2m+n=7y0的解為m=7，n=21， y0=5。

給出任意一個(gè)日期，首先判斷是屬于哪個(gè)區(qū)間的，如果在第M1、M2區(qū)間，最少經(jīng)過六年，星期相同；如果在第M3區(qū)間，最少經(jīng)過十一年，星期相同；如果在第M4區(qū)間，最少經(jīng)過五年，星期相同；如果日期是2月29日，最少經(jīng)過二十八年，星期相同。

5.模型檢驗(yàn)

模型求解的關(guān)鍵是如何將日期進(jìn)行正確的分區(qū)，有的同學(xué)是按照整年分區(qū)的，這就忽略了閏年2月29日前后到下一年同一日期天數(shù)的變化。如在閏年，2月29日前的一天到下一年的同一天，一定要經(jīng)過366天；而2月29日后的一天到下一年的同一天要經(jīng)過365天。又因?yàn)?月29日每四年出現(xiàn)一次，所以要特殊考慮。

在計(jì)算機(jī)教室，學(xué)生可以通過計(jì)算機(jī)的“日期和時(shí)間”應(yīng)用對(duì)本模型進(jìn)行檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)正確，說明模型成功，若檢驗(yàn)有誤，可以再對(duì)模型進(jìn)行修改，直到檢驗(yàn)無誤。

四、總結(jié)

這是一個(gè)很典型的具有生成性的教學(xué)資源，學(xué)生在解決這個(gè)問題的過程中通過不斷的探索，提出一個(gè)個(gè)新問題，課堂教學(xué)過程呈現(xiàn)一個(gè)師生及多種因素間動(dòng)態(tài)的相互作用的推進(jìn)過程，問題的最后解決有多種可能性存在，教學(xué)過程的推進(jìn)就是在多種可能性中作出選擇，使新和狀態(tài)不斷生成，并影響下一步發(fā)展的過程。存在問題，四年一閏，百年不閏，四百年再閏利用上述模型求解連續(xù)8個(gè)平年的問題還要討論一些特殊年份，這個(gè)問題學(xué)生沒有討論出來，可以留作思考問題讓學(xué)生進(jìn)一步的探究。

通訊作者：文香丹

[參考文獻(xiàn)]

[1]葉瀾 .重建課堂教學(xué)價(jià)值觀[J].教育研究，2002（5）

[2]李海明.“生成性”學(xué)習(xí)需要開放式教學(xué)[J]. 南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（11）

（作者單位：1.延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 吉林延吉，2.吉林省通化市第一中學(xué) 吉林通化，3.延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 吉林延吉）