訥河市訥南鎮(zhèn)中心學(xué)校

探究
——發(fā)現(xiàn)在解決教學(xué)重點、難點中的應(yīng)用——以“平方差公式”課堂教學(xué)實錄（二）為例

訥河市訥南鎮(zhèn)中心學(xué)校楊東興

（選自人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》八年級上14.2.1平方差公式）本課采用“自主、合作與交流”課堂教學(xué)模式.

教學(xué)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程.

2.會推導(dǎo)平方差公式，運用公式進行簡單的計算.

3.在計算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用符號表示，體會數(shù)學(xué)的簡潔美.

教學(xué)重點：平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

教學(xué)難點：理解平方差公式并靈活運用平方差公式進行簡單的計算，并能判斷在何種情況下可以利用公式.

教學(xué)過程：

一、教師引領(lǐng)自主探究

問題1：（算一算）

師：我們學(xué)習(xí)過了整式的乘法，知道了兩個多項式相乘的法則.今天我們要繼續(xù)學(xué)習(xí)某些特殊情形下的多項式相乘.請大家應(yīng)用所學(xué)的知識，自己來完成下面的問題：

（1）（x+1）（x-1）=

（2）（m+2）（m-2）=

（3）（2x+1）（2x-1）=

師：誰說說各題的結(jié)果？

生1：（x+1）（x-1）=x2-1

（m+2）（m-2）=m2-4

（2x+1）（2x-1）=4x2-1

師：在（m+2）（m-2）=m2-4等式中，4可以寫成幾平方？

生：2的平方.

師:也就是說（m+2）（m-2）=m2-22

（2x+1）（2x-1）=（2x）2-12

問題2：（猜一猜）

師：大家結(jié)合上面的計算結(jié)果，不計算，通過觀察、比較，你來猜一下下面式子的結(jié)果.

（1）（x+6）（x-6）=

（2）（a+2）（a-2）=

（3）（x+y）（x-y）=

師：誰大膽猜猜各題的結(jié)果？說出你猜想的依據(jù).

生：根據(jù)（m+2）（m+2）=m2-22這個式子的特點，我的猜想結(jié)果是這樣的:

（1）（x+6）（x-6）=x2-62=x2-36

（2）（a+2）（a-2）=a2-22=a2-4

（3）（x+y）（x-y）=x2-y2

師：大家說他回答得好嗎？

生：很好.

師：生3同學(xué)善于觀察、善于思考、善于發(fā)現(xiàn)，回答得很精彩.大家要向他學(xué)習(xí).

問題3：（說一說）

師：從上面的運算中大家發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生:（a+b）（a-b）=a2-b2.

師：請王小明同學(xué)用自己的語言敘述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.生:兩個數(shù)的和乘以兩個數(shù)的差，等于兩個數(shù)的平方差.師:方才王小明同學(xué)表述得很流利.大家仔細分析一下，他表述的符合這個等式的含義嗎？如不符合，應(yīng)該怎樣說？

生:不對呀，應(yīng)該表述成：兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差，等于這兩個數(shù)的平方差，就差一個字.

師：你說得真有道理，你表述得也太科學(xué)了.一字之差，有時就會導(dǎo)致錯誤.可見科學(xué)來不得半點差錯，一定認真思考、斟酌.

師:大家看一下這個等式結(jié)構(gòu)特征.等式左邊意思是？

生：兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差.

師：等式右邊的意思是？

生：這兩個數(shù)的平方差.

師：大家說得都對.這個等式就叫平方差公式.是本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點.大家一定要理解記憶.

問題4：（數(shù)形結(jié)合，推理論證）

師：你能用下面的幾何圖形來解釋平方差公式嗎？

生：左邊陰影部分面積等于右邊陰影部分圖形的面積.即（a+b）（a-b）=a2-b2.

師：很好，根據(jù)幾何圖形面積相等也論證了（a+b）（ab）=a2-b2這個規(guī)律是正確的.

師：這個內(nèi)容就是我們今天要研究的內(nèi)容.（板書課題：平方差公式.）

請學(xué)生快速記住公式，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算.在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用自己語言敘述公式.師生共同得出相同項的平方減去不同項絕對值的平方.

二、師生互動，應(yīng)用提升

師：現(xiàn)在我來解決一下課前的簡算問題，你們現(xiàn)在知道該如何簡算了吧，15秒內(nèi)搶答.

生：（快速進行計算，并得出結(jié)果.）

第一小組：3999999.

第三小組:999996.

下面請同學(xué)們一起練習(xí)幾道題，看你們是否能很快地做出來呢？

例1：運用平方差公式計算：

（1）（5x+7）（5x-7）

（2）（x+5y）（x-5y）

師：這兩個題目是否符合平方差公式特征？（學(xué)生回答后，教師板書解題過程.）

師：下面我們再鞏固一下，請大家試一試，口算：練一練：（1）（x+y）（x-y）

（2）（x+2）（x-2）

（3）（ab+c）（ab-c）

（4）（m+3n）（m-3n）

生：各小組搶答（準(zhǔn)確率很高）.

例2：計算（1）（5m+2y）（5m-2y）

（2）（3y-2）（2-3y）

（3）（-3+x）（-3-x）

教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學(xué)生說出本題中a，b分別表示什么.（巡視學(xué)生解題情況.）

師：哪組同學(xué)愿意把你的計算結(jié)果展示給大家？

生：（1）題能運用平方差公式，5m相當(dāng)于a，2y相當(dāng)于b.

師：大家判斷得很準(zhǔn)確，第（2）題呢？

生：不可以運用平方差進行計算，3y與-3y是互為相反數(shù)，2與-2也是互為相反數(shù)，所以，不能用平方差公式進行計算，運用多項式乘法計算.

師：這道題只能運用多項式乘法來進行計算了.同學(xué)們考慮一下（3）題呢？

生：能運用平方差公式計算，-3相當(dāng)于a，x相當(dāng)于b.

師：很好！大家掌握得非常扎實.

三、展示交流，突破難點（大屏幕打出）

1.判斷下列多項式的乘法是否能用平方差公式計算.若能，請計算出結(jié)果；若不能，請說明理由.

（1）（a+5）（a-5）（2）（2a+3b）（3a-2b）

（3）[1+（x+y）][1-（x+y）]（4）（a-x）（-a-x）

2.用平方差公式計算：

（1）（a+3）（a-3）（2）（2a+3b）（2a-3b）

（3）（a+5b）（a-5b）（4）（-5y-4x）（4x-5y）

讓學(xué)生在練習(xí)本上計算，教師巡視各小組解題情況，每題讓不同小組學(xué)生進行板演.

3.用簡便方法計算：

（1）102×98（2）201×199

4.街心花園有一塊邊長為a米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，東西要加長兩米，而南北要縮短兩米，問改造后的面積是多少？（教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，請各小組不同解法的學(xué)生，或發(fā)生錯誤的學(xué)生板演，教師和學(xué)生一起分析解法.）

四、反思總結(jié)，質(zhì)疑求學(xué)

師：我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式計算應(yīng)注意什么？學(xué)生發(fā)言后，小結(jié):

（1）公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以表示數(shù)的單項式，多項式即整式.

（2）要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式.

（3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形就能應(yīng)用公式.

師：這節(jié)課你有什么收獲和體會？（學(xué)生以小組為單位，談一談通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？）

生：（談收獲和體會.）

師：1.什么是平方差公式？

2.運用公式要注意什么？

五、布置作業(yè)，拓展新知

1.運用平方差公式計算：

（1）（2a-3b）（3b+2a）（2）（-1+3x）（-1-3x）

2.計算：

（1）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x+y）

（2）（2a-b）（2a+b）-（2b-3a）（3a+2b）