楊澤恒，付卓如

（1.大理學院數(shù)學與計算機學院，云南大理 671003；2.大理州實驗中學，云南大理 671000）

大學微積分與高中數(shù)學的銜接

楊澤恒1，付卓如2

（1.大理學院數(shù)學與計算機學院，云南大理 671003；2.大理州實驗中學，云南大理 671000）

在分析與大學數(shù)學專業(yè)微積分相關(guān)的高中數(shù)學課程內(nèi)容改革的現(xiàn)狀和現(xiàn)階段大學處理對應內(nèi)容的狀況的基礎上，給出一些大學微積分的教學改革建議。

數(shù)學分析;微積分;高中數(shù)學;銜接

近幾年高中數(shù)學課程改革的力度很大，不同版本的教材在函數(shù)、微積分的處理方面都有很大的不同。但大學數(shù)學教師對高中數(shù)學課程改革的認識滯后，甚至停留在自己讀高中的階段，這導致大學教師在教學上不能做到與中學教學有機銜接，與學生溝通不暢，教學效益不高。以下分析與大學微積分相關(guān)的高中數(shù)學課程內(nèi)容改革的現(xiàn)狀和現(xiàn)階段大學教材處理對應內(nèi)容的狀況，并給出一些大學微積分的教學改革建議。

1 高中數(shù)學課程內(nèi)容改革的現(xiàn)狀

2002年國家教育部頒布了《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱》，在1990年頒布的《全日制中學數(shù)學教學大綱（修訂本）》、有關(guān)中學數(shù)學教學的調(diào)整意見的基礎上繼續(xù)將高中數(shù)學課程內(nèi)容分為必修與選修，但進一步明確了文、理科的選修內(nèi)容（選修Ⅰ、選修Ⅱ）。理科在保持數(shù)列極限的基礎上，引入了函數(shù)極限（原為不作高考要求的選修內(nèi)容）、連續(xù)、導數(shù)及其應用，文科刪去了數(shù)列極限的內(nèi)容，但引入了導數(shù)（從變化率的角度）及其應用。而反函數(shù)部分從文、理（必修部分）要求“掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系”及理科要求“理解反三角函數(shù)的概念，能由反三角函數(shù)的圖象得到反三角函數(shù)的性質(zhì)，能運用反三角函數(shù)的定義、性質(zhì)解決一些簡單問題”〔1〕弱化為“了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)”，“會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsin χ、arccos χ、arctan χ表示”（都為必修內(nèi)容）〔2〕。參數(shù)方程與極坐標部分從僅理科要求“使學生理解參數(shù)方程的概念，了解某些常用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何或物理意義；掌握參數(shù)方程與普通方程互化法則；會根據(jù)給出的參數(shù)，建立相應的參數(shù)方程。使學生理解極坐標的概念；會正確進行點和方程的極坐標與直角坐標的互化；會根據(jù)所給條件建立直線、圓錐曲線和等速螺線的極坐標方程?！弊?yōu)槲?、理都要求“了解參?shù)方程的概念；理解圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程”〔2〕。極坐標方程不再被要求。此部分，理科有所弱化，而文科有所加強。

2002年版大綱同時保持了1990年、1996年、2000年版大綱的各顯著特點。1990年：常用對數(shù)由初中移至高中，部分高中教學內(nèi)容由必學改為選學，明確說明文史類、理工類要求范圍；1996年：確定各類學生選修內(nèi)容；2000年：重視創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)；重視改進教學測試和評估。

而2003年出版的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》進一步弱化反函數(shù)概念的要求，不再出現(xiàn)反三角函數(shù)符號arcsin χ、arccos χ、arctan χ表示，且“只要求以具體函數(shù)為例進行解釋和直觀理解，不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義和求已知函數(shù)的反函數(shù)”〔3〕。參數(shù)方程與極坐標在選修課系列4中（10個專題，對理科最多也僅建議選擇6個專題）作為單獨的一個專題出現(xiàn)。極坐標部分要求能進行極坐標和直角坐標的互化；能在極坐標系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）的方程；了解柱坐標系、球坐標系。參數(shù)方程部分要求能寫出拋物運動軌跡的參數(shù)方程、圓和圓錐曲線參數(shù)方程；了解平擺線、漸開線的生成過程，并能推導出它們的參數(shù)方程；了解其他擺線的生成過程，了解擺線在實際中的應用，了解擺線在表示行星運動軌道中的作用?！皵?shù)列極限、函數(shù)極限，函數(shù)的連續(xù)性”在新課標中不再被要求，但導數(shù)的意義文理科都做了加強。理科還增加了定積分的內(nèi)容。

從以上分析可看出，新課程標準進一步降低了過去高中數(shù)學內(nèi)容中多數(shù)學生普遍感到難于接受的反函數(shù)的較深要求，且反三角函數(shù)等內(nèi)容不再出現(xiàn)。實踐已證明，此部分內(nèi)容對絕大多數(shù)學生是難理解的內(nèi)容，這種難于理解的內(nèi)容，往往打擊了學生的學習積極性，不利于學生對數(shù)學的學習。這樣的處理體現(xiàn)了“應刪減繁瑣的計算、人為技巧的難題和過分強調(diào)細枝末節(jié)的內(nèi)容”〔3〕和尊重高中學生的年齡特征和認知規(guī)律的改革思想。而對“數(shù)列極限、函數(shù)極限，函數(shù)的連續(xù)性”的處理也是基于同樣的思想。導數(shù)的加強則體現(xiàn)了“在義務教育階段之后，為學生適應現(xiàn)代社會生活和未來發(fā)展提供更高水平的數(shù)學基礎，使他們獲得更高的數(shù)學素養(yǎng)；為學生進一步學習提供必要的數(shù)學準備”〔3〕和發(fā)展學生的數(shù)學應用意識、激發(fā)學生的學習興趣的理念。參數(shù)方程與極坐標部分的處理體現(xiàn)了“尊重一部分學生怕學習較難數(shù)學內(nèi)容的事實，充分以人為本，同時加強基礎性、應用性的內(nèi)容”的理念。2003年出版的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》的選修內(nèi)容進一步擴大，選修課系列3、4共有16個專題，為學生提供了多種選擇，充分尊重學生的興趣、發(fā)展的意愿和不同的數(shù)學需求。

2 近幾年中學教材關(guān)于函數(shù)、微積分的處理狀況

在根據(jù)2002年版大綱編著的高中教科書（以人教版2003年審查通過教材為例）中，在初中以變量引入函數(shù)的基礎上，通過對應關(guān)系的思想引入函數(shù)，并將其推廣（從數(shù)集到一般集合），給出了映射的概念。并引入了奇偶性、周期性、單調(diào)性（僅給出嚴格單調(diào)的情況），但對最小正周期僅做了簡單介紹，并未證明各三角函數(shù)的最小正周期。為降低理解的難度，反函數(shù)的引入先說明用y把χ表示出，得到χ=?(y)，再通過映射的思想定義反函數(shù)。事實上，“用y把χ表示出，得到χ=?(y)”，一話帶有局限性，并非所有反函數(shù)都有直接表達式χ=?(y)。

極限方面以實例為基礎，通過定性的描述（無限趨近于）引入數(shù)列和函數(shù)極限概念，并通過函數(shù)圖像，計算器計算值等方式引入一些具體的極限。函數(shù)極限的四則運算法則則直接給出，并將數(shù)列作為函數(shù)的特例引入數(shù)列極限的四則運算法則，而其它極限的性質(zhì)未給出。

連續(xù)概念則通過圖形（連續(xù)和不連續(xù)的各種情況）引入，并從幾何直觀上看出在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的最值性。對間斷點未進行討論。

《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（A版）》中，函數(shù)的處理類似大綱版教材，但僅僅由指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系引出指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系，對反函數(shù)未進行更多的討論。以52為例對無理數(shù)指數(shù)冪進行了簡要說明（2002年大綱版完全回避無理數(shù)指數(shù)冪）。對導數(shù)，則完全回避極限概念，通過氣球膨脹率等較新的實例，直接用極限符號（用趨近于的思想來說明）和瞬時變化率定義導數(shù)（既然已用極限符號，沒必要刻意回避極限概念，可先用趨近于的思想來引入極限）。在推導出簡單的幾個基本初等函數(shù)求導公式的基礎上，直接給出8個基本初等函數(shù)求導公式以及和、差、積、商的求導公式，在此基礎上，理科簡要通過實例引入復合函數(shù)概念及求導公式。在導數(shù)的應用方面，文、理科無論是單調(diào)性的討論，還是瞬時變化率、最值問題在現(xiàn)實世界中的應用，都在例題和習題方面做了大大加強，更具生動性、現(xiàn)實性和趣味性，并上升歸結(jié)出數(shù)學建模的思想。因為無連續(xù)函數(shù)的概念，教材都簡單用一條連續(xù)不斷的曲線來說明最值的存在性。定積分方面，通過曲邊梯形面積、汽車行駛的路程問題歸結(jié)出用4步（分割、近似代替（以直代曲、以不變代變）、求和、取極限）定義定積分（但未指出分割的任意性，僅用n無限增大來考慮和式的極限，未考慮無限細分，n無限增大與區(qū)間長的最大者趨于零的關(guān)系）。并以變速直線運動的運動規(guī)律y(t)與速度v(t)的關(guān)系和分別以y(t)和v(t)表示時間段[a,b]內(nèi)的位移的問題得出微積分基本定理，但未引入原函數(shù)的概念。定積分的性質(zhì)、計算方法都未討論。應用方面主要介紹了在幾何方面的應用和在物理方面的應用（變速直線運動的位移，變力做功）。雖然定積分在數(shù)學的實際應用中起著重要的作用，教材已降低難度，但學生對定積分定義中的“分割、近似代替、求和、取極限”的理解非常困難，特別是對微積分基本定理的引入思路的理解感到困難，這種困難極易擊傷學生學習數(shù)學的積極性。事實上，真正利用定積分處理實際問題，往往都最少要有大學相應專業(yè)的知識。而在大學都要學習微積分，因此筆者個人認為中學沒有必要學習定積分。

3 大學數(shù)學分析課程關(guān)于函數(shù)、微積分處理的現(xiàn)狀

函數(shù)部分，用映射（對應）的思想定義了函數(shù)，并花一定篇幅引入了函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性。除了有界性外，函數(shù)定義和其它性質(zhì)的引入方式完全與中學一致，雖然，一些內(nèi)容進行了比中學深入的討論，但都作為新的知識，花了一定篇幅引入。反函數(shù)概念比中學深入，但將反三角函數(shù)作為學生已知的概念直接給出。通過確界或極限思想圓滿給出冪函數(shù)的定義。

極限方面，嚴格進行了定義，并通過ε-δ,ε-N語言深入討論了極限的各種性質(zhì)、常見的各種極限式和極限存在的條件。

連續(xù)性方面，則通過極限、左、右極限，深入討論了連續(xù)、間斷、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，完整給出初等函數(shù)的連續(xù)性。

導數(shù)概念，基本導數(shù)公式，和、差、積、商的求導公式都作為新知識再次進行了引入和證明。雖然關(guān)于導數(shù)的四則運算（商除外）在高中已有證明（大綱版），但大學課本仍然花許多篇幅進行證明。導數(shù)的應用也做為新的內(nèi)容進行處理，但與現(xiàn)實世界的聯(lián)系方面例題和習題不多且陳舊，未引入數(shù)學建模的思想。

目前我國很多企業(yè)的管理制度并不完善，這是在經(jīng)濟管理過程中出現(xiàn)問題重要原因之一。這種問題體現(xiàn)在以下幾點，第一，有很多企業(yè)不重視企業(yè)內(nèi)部的經(jīng)濟管理，而是將重點精力過多的放在了投資項目以及比拼市場占有率方面。雖然后者很重要，但是企業(yè)的經(jīng)濟管理是開展一切項目的前提，更加不能忽視。

定積分則通過曲邊梯形、變力做功問題引入嚴格定義（特別強調(diào)無限細分、分法的任意性和取點的任意性），用定積分定義和微分中值定理證明了微積分基本定理。深入討論了定積分的性質(zhì)。應用方面增加了廣度和深度。參數(shù)方程和極坐標在數(shù)學分析中都作為學生已知的知識在定積分等部分有一定應用。

因此，許多中學已引入的概念、方法和完全處理過的問題在大學數(shù)學分析中進行了完全一樣的重復，而中學未加深討論的內(nèi)容，往往大學也未深入討論。一方面作為學生已學習過的知識，再進行相同的重復，學生易厭倦和反感。另一方面，對于中學未進行深入討論，特別是未從思想方法上進行分析的概念和方法，在大學僅僅進行簡單的重復，學生未能獲得比中學更深的知識和方法，沒有新穎性吸引學生。

4 大學數(shù)學分析課程與中學內(nèi)容銜接的教學建議

近幾年，大一學生既有使用過根據(jù)《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱》編著的教科書的學生，也有使用過課程標準實驗教科書的學生。這增加了大學教學難度。新生入學后，數(shù)學分析教師應對學生進行調(diào)查，做到教學心中有數(shù)，應針對多數(shù)學生設計教學方案，注意分類教學和組織學習興趣小組等形式的學習，并加強課外輔導。

函數(shù)部分，在復習中學已學習過的函數(shù)、反函數(shù)、奇偶性、周期性、單調(diào)性的基礎上，加強對應思想、映射思想、反函數(shù)、嚴格單調(diào)性、最小正周期的理解，通過證明反函數(shù)存在的條件，加深對反函數(shù)的理解，并引入反三角函數(shù)。在中學知識的基礎上嚴格引入指數(shù)函數(shù)。雖然分段函數(shù)和復合函數(shù)在中學已學習過，但對一般院校的多數(shù)學生而言，對其理解不深，可通過各種類型的習題加強對這部分內(nèi)容的理解，特別是加強復合函數(shù)的拆分，為后面熟練掌握復合函數(shù)的求導和換元積分打下堅實的基礎。舉例說明證明各三角函數(shù)的最小正周期的思想。函數(shù)的有（無）界性中學未接觸過，而且有一定的抽象性，此部分在引入概念后，應當加強練習，特別是無界性的證明，為更抽象的極限定義做準備。

近兩年內(nèi)，用大綱版教科書的學生要多（云南2009年才開始全面使用課程標準實驗教科書）。針對這部分學生：

對極限概念，一定要在復習中學已知的定性描述的基礎上，通過距離與差的絕對值的關(guān)系引入極限的ε-δ,ε-N定義，強調(diào)其幾何意義，并嚴格證明每一個基本極限和性質(zhì)，極限性質(zhì)的證明應當充分利用其幾何意義引導學生理解性質(zhì)和其證明思想。

通過幾何直觀并以復習的形式引入連續(xù)性，結(jié)合幾何圖形，深入討論間斷點及其分類、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用、一致連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性。加強分段函數(shù)分段點處連續(xù)性的討論。

導數(shù)概念，常見導數(shù)公式，和、差、積的求導公式都可以復習的形式引入，對公式的證明在復習的基礎上強調(diào)證法的關(guān)鍵點，而商的求導公式中學沒有的證明，需進行加強，復合函數(shù)求導公式的證明和應用應當作為教學重點，特別是應用部分，可分兩階段進行鞏固。第一階段：先拆分函數(shù)（引入中間變量符號），再求導（讓學生反復練習）；第二階段：不寫出中間變量，直接求導（可先對已講例題進行示范，并讓學生練習已做習題，最后增加新的復雜習題）。在通過左、右導數(shù)求分段點處的導數(shù)的基礎上，后期給出應用導數(shù)極限定理求分段點處導數(shù)的方法。導數(shù)應用方面，加強導數(shù)的實際背景、數(shù)學建模思想和新的實際應用方面的例題。而對使用課程標準實驗教科書的學生，整個導數(shù)應用部分可作為已知內(nèi)容進行復習總結(jié)并進一步深化數(shù)學建模思想，而極限、連續(xù)則需要花較多時間，按新內(nèi)容引入和討論。

在定積分涉及參數(shù)方程和極坐標之前，無論對哪一類學生都應簡要引入?yún)?shù)方程和極坐標知識，為其使用服務。

對用新課標教材學習過定積分的學生，在復習中學已學內(nèi)容的基礎上，給出定積分嚴格定義和引入微積分基本定理，有機將中學內(nèi)容和更深的大學內(nèi)容銜接起來。通過對比，強調(diào)中學定義的粗糙性。

高中新課程標準要求發(fā)展學生的數(shù)學應用意識（新課程標準實驗教科書導數(shù)應用方面的許多例題和習題值得大學參考），大學更應重視培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，在數(shù)學分析課程中，應當以函數(shù)思想為中心，進一步通過數(shù)學建模思想的滲透，加強應用背景和應用問題的教學。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值方法部分就可強調(diào)方法的背景和應用，引入一些新穎的與生活實際息息相關(guān)的應用問題，通過這樣的實例，激發(fā)學生的學習興趣。例如，數(shù)學分析中的最小二乘法有非常豐富的實際應用背景。教學中可首先引入一個與最小二乘法有關(guān)的實際問題——“計劃性升血”（癌癥治療的過程中，尋找最佳升白細胞的用藥時機）〔5〕，從這一問題中自然引入最小二乘法的思想及方法，提高學生的學習熱情，加深學生對方法，特別是抽象的數(shù)學方法在實際問題中的應用思想的理解。

高中新課程標準特別強調(diào)倡導自主探索、動手實驗、合作交流、閱讀、自學等學習數(shù)學的方式，大學教學也應當加強這些教學方式，不但在內(nèi)容上與中學有機銜接，在教學方法上也應當銜接好。

〔1〕中華人民共和國教育委員會.全日制中學數(shù)學教學大綱：修訂本〔M〕.北京：人民教育出版社，1990.

〔2〕中華人民共和國教育部.全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱〔M〕.北京：人民教育出版社，2002.

〔3〕中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準：實驗〔M〕.北京：人民教育出版社，2003.

〔4〕華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析：上冊〔M〕.北京：高等教育出版社，2010.

〔5〕張立.計劃性升血:挽救更多的生命〔J〕.數(shù)學通報，2000（1）：28-29.

（責任編輯 袁 霞）

The Connection of University Calculus and the High School Mathematics

YANG Zeheng1，F(xiàn)U Zhuoru2
（1.College of Mathematics and Computer,Dali University,Dali,Yunnan 671003,China;2.Dali Pilot High School,Dali,Yunnan 671000,China）

After making an analysis of the present situation about high school mathematics curriculum reform,this paper gives some educational reform suggestions about university calculus.

mathematics analysis;calculus;high school mathematics;connection

G642.0：O172

A

1672-2345（2014）06-0090-05

10.3969∕j.issn.1672-2345.2014.06.023

2013-09-24

2013-10-24

楊澤恒，教授，主要從事數(shù)學教育、非線性泛函分析研究.