☉重慶市梁平實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔣明建

關(guān)注知識(shí)交匯 解析高考難題

☉重慶市梁平實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔣明建

高考試題常在“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)、思想方法的交織線和能力層次的交叉區(qū)”內(nèi)命題，2013年重慶高考數(shù)學(xué)理科卷選擇題中的壓軸題第10題便是經(jīng)典一例.該題新穎別致，獨(dú)具匠心，注重能力立意，區(qū)分度好，是整個(gè)試卷中的一道難題、更是一道創(chuàng)新型試題，很有研究?jī)r(jià)值，本文將從多個(gè)角度作出解析，供讀者參考.

一、試題呈現(xiàn)

評(píng)注：這是一道向量（字母表示形式）條件下，求線段長(zhǎng)度（向量模）取值范圍的試題，不但考查平面向量垂直、加法的幾何意義、兩點(diǎn)間的距離、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，還交匯融合了代數(shù)、三角、幾何等多方面知識(shí)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，及邏輯思維能力、綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

二、解法探究

向量綜合性問題與其他知識(shí)的聯(lián)系、融合交匯，往往通過向量的幾種不同表示形式來體現(xiàn)，換句話說，向量的不同表示形式關(guān)聯(lián)著不同數(shù)學(xué)內(nèi)容、運(yùn)算形式及思維策略，因此，對(duì)本題向量條件進(jìn)行有效的分析及合理轉(zhuǎn)換，把內(nèi)容與形式結(jié)合起來思考、把方法與概念轉(zhuǎn)化配合起來推進(jìn)，能獲得廣闊的解題思路，多途徑求解本題.

1.向量運(yùn)算法則下的解析

解析1：向量字母作伴，幾何法則運(yùn)算：通常，題設(shè)中給出的向量表示法，就是我們解題的首選方法.本題給出的是字母表示法，因此，字母表示法就成了解題的首選.

2.與代數(shù)融合——向量坐標(biāo)形式下的解答

評(píng)注：這是最近一些真題卷上最為多見的一種解答.這種解法中，求x2+y2的上界是運(yùn)用基本不等式進(jìn)行放縮變換，分別求得x2與y2的范圍后相加而得，將向量坐標(biāo)運(yùn)算與基本不等式有機(jī)融合一體.這里，運(yùn)用基本不等式進(jìn)行放縮變換對(duì)能力有較高的要求，一般不容易想到，會(huì)造成學(xué)生對(duì)運(yùn)用這種解法的困難，筆者覺得這種解答并沒有真正體現(xiàn)出坐標(biāo)法的優(yōu)勢(shì)，有必要優(yōu)化.

評(píng)注：挖掘發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B1、B2在圓O：（x-x0）2+（y-y0）2=1上，從而利用圓方程的解析式確定點(diǎn)O（x0，y0）坐標(biāo)的范圍，比解析2來得自然、容易些，使得解答得到一定程度的簡(jiǎn)化，能有效考查學(xué)生觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化問題的能力.其實(shí)，解析2、解析3都囿于考慮動(dòng)點(diǎn)O的坐標(biāo)取值范圍，而范圍涉及到不等關(guān)系，對(duì)于不等關(guān)系的建立往往是學(xué)生感到困難的事情.能否不求范圍呢？還可以進(jìn)一步優(yōu)化.

評(píng)注：“增加思考量，減少運(yùn)算量”是高考能力型試題對(duì)考生的要求，要尋找簡(jiǎn)捷而高效的解決問題的方法，就要求考生能抓住問題的實(shí)質(zhì)，能對(duì)試題提供的信息進(jìn)行分撿、組合、加工.通觀各個(gè)代數(shù)式，整體代換得到2-，直接利用關(guān)系式求解，避免了解析2、解析3中求點(diǎn)O坐標(biāo)范圍的繁難步驟，大大簡(jiǎn)化了解題過程，充分顯現(xiàn)了向量代數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)便快捷的優(yōu)勢(shì)，也培養(yǎng)了我們處理問題的整體意識(shí)和全局觀念.

3.與幾何交匯——幾何背景下的研究

蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家柯爾莫戈羅夫說過：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們研究的問題從幾何上視角化.”平面向量“數(shù)”的特征，賦予向量具有數(shù)的良好運(yùn)算性質(zhì)，“形”則能體現(xiàn)向量的直觀位置特征.本題幾何背景明顯，可以從幾何角度解答.

解析5：回歸平面幾何 復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化：本題實(shí)質(zhì)是在向量背景下的平面幾何問題，若將整個(gè)問題從向量背景中剝離出來，就是一個(gè)典型的平面幾何求線段長(zhǎng)度取值范圍的問題，于是，可以直接運(yùn)用平面幾何知識(shí)解決.

評(píng)注：將問題從向量背景中剝離出來，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，回歸到問題的本源，是一種以退求進(jìn)的解題策略.它將一個(gè)上位問題轉(zhuǎn)化成了下位問題，把復(fù)雜問題化為了簡(jiǎn)單問題，由處于上位水平的認(rèn)知，居高臨下去認(rèn)知一個(gè)下位的問題，使得我們對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更全面、更深刻、更本質(zhì)，也使得我們對(duì)問題的解決變得更加自然容易，游刃有余.“把簡(jiǎn)單的事做復(fù)雜是浪費(fèi)，把復(fù)雜的事做簡(jiǎn)單是貢獻(xiàn)”，我們要學(xué)會(huì)把復(fù)雜變成簡(jiǎn)單，用智慧創(chuàng)造“簡(jiǎn)單”，讓思維在探索變遷中不斷的優(yōu)化和升華.

三、提煉升華

上面從多個(gè)角度，運(yùn)用多方面知識(shí)與多種方法，對(duì)試題進(jìn)行了探究解析，其中解析1、4、5中三次重現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn)運(yùn)用這一關(guān)系式所得到的解答顯得要更為簡(jiǎn)潔.那么，這一關(guān)系式是本題特有結(jié)論還是蘊(yùn)藏著某種一般規(guī)律？進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)，這竟是一個(gè)平面幾何中的一般結(jié)論：

定理：平面上一點(diǎn)到矩形一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離平方和等于到這個(gè)矩形另一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離平方和（證明略）.

（可類比推廣到三維空間得結(jié)論：空間中一點(diǎn)到矩形一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離平方和等于到這個(gè)矩形另一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離平方和）（證明略）.

由此，我們便揭開了本試題的神秘面紗，識(shí)得“廬山真面目”，它實(shí)際背景來源于平面幾何這個(gè)定理，只不過將這個(gè)定理“穿上了”平面向量這件美麗迷人的“外衣”.由于平面向量具有“形”“數(shù)”的雙重身份，它是聯(lián)系多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的媒介，更是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，素有“與代數(shù)融合、與幾何交匯、與三角聯(lián)姻”的美稱，因而，經(jīng)典幾何問題與富有“親和力”的向量有機(jī)融合，幻化而成了這道充滿無限活力與魅力的試題.表面上看，考查的知識(shí)點(diǎn)僅限于平面向量垂直、加法的幾何意義、兩點(diǎn)間的距離、不等式的性質(zhì)等，實(shí)質(zhì)上試題的綜合性很強(qiáng)，要得到正確解答，需要較強(qiáng)的能力支撐、思想積淀與智慧付出.對(duì)于功力深厚不乏靈感的考生，若能深入思考分析、挖掘出問題中隱藏的“定理”本質(zhì)，捕捉到問題的“靈魂”，直接運(yùn)用定理求解，則是件易如反掌的事情，因而，優(yōu)生差生立可區(qū)分.如此看來，這道高考試題的確是命題老師的“用心良苦”之作，智慧之作，不失為高考試題中的上佳之品.

四、解題反思

數(shù)學(xué)高考命題注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，注重從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，旨在加強(qiáng)對(duì)能力和素質(zhì)的考查功能，突出能力立意的導(dǎo)向作用，它要求考生對(duì)課程內(nèi)容能夠融會(huì)貫通，把重點(diǎn)放在系統(tǒng)地掌握課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系上，放在運(yùn)用分析問題的方法和解決問題的能力上.因此，在平常的教學(xué)中，特別是在復(fù)習(xí)應(yīng)考中，要重視基本能力與綜合能力的培養(yǎng)，切實(shí)做好“兩個(gè)抓住”，一要抓住知識(shí)的交匯：綜合能力的提高在于知識(shí)交匯處進(jìn)行訓(xùn)練，復(fù)習(xí)中應(yīng)該特別關(guān)注知識(shí)內(nèi)容的“交匯點(diǎn)”，重視其形成，理清其脈絡(luò)，分析其內(nèi)涵、外延和交匯特點(diǎn)，將各部分知識(shí)縱向聯(lián)系起來認(rèn)識(shí)問題、分析問題、處理問題，重視對(duì)綜合問題的強(qiáng)化訓(xùn)練，在訓(xùn)練中學(xué)會(huì)綜合，在綜合中提高能力，從而進(jìn)一步增強(qiáng)我們綜合解決問題的能力；二要抓住問題的反思：對(duì)一些數(shù)學(xué)題目，特別是像本文中這樣典型的高考題目，要在解決問題的過程上下功夫，在“精”字上下功夫.解題后一定要做好對(duì)本題的回顧、反思、提煉和總結(jié)，回顧解題所用到的知識(shí)點(diǎn)，反思解題方法的遷移與推廣，總結(jié)問題內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，深挖細(xì)究，揭示問題的深刻本質(zhì)，力求回歸到問題的本源認(rèn)識(shí)問題等等.只有這樣，我們才能對(duì)問題透徹把握，才能做到舉一反三，才能讓我們的思維在靈活性、廣闊性、深刻性、創(chuàng)新性等方面得到充分鍛煉，培養(yǎng)綜合能力，實(shí)現(xiàn)“通過解有限道題來獲取解無限道題的那種數(shù)學(xué)機(jī)智”，增強(qiáng)對(duì)高考創(chuàng)新型試題的適應(yīng)能力.

1.蔣明建.破解向量難題，挖掘潛在信息［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（5）.

2.蔣明建.一道高三調(diào)研考題解答策略的探討與優(yōu)化［J］.數(shù)學(xué)通訊，2012（11）.

3.吳祥成.2012年上海高考立體幾何填空題的解法探究［J］.數(shù)學(xué)通訊，2013（4）.