☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué) 劉鳳蘭

在解題中體驗(yàn)成功 在解題中提升思維

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué) 劉鳳蘭

題目 （2013年江西卷）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程.

（1）操作發(fā)現(xiàn).

（2）數(shù)學(xué)思考.

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過程.

（3）類比探索.

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀.

解析：（1）①②③④.

（2）MD=ME，MD⊥ME，

（Ⅰ）MD=ME.

如圖4，分別取AB，AC的中點(diǎn)為F，G，連接DF，MF，MG，EG.

所以MF=EG.

同理可證DF=MG.

因?yàn)镸F∥AC，

所以∠MFA＋∠BAC=180°.

同理可得∠MGA+∠BAC=180°

所以∠MFA=∠MGA.

又因?yàn)镋G⊥AC，所以∠EGA=90°.

同理可得∠DFA=90°，所以∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，即∠DFM=∠MEG.

又MF=EG，DF=MG，

所以△DFM≌△MGE（SAS），所以MD=ME.

（Ⅱ）MD⊥ME.

證法一：因?yàn)镸G∥AB，所以∠MFA+∠FMG=180°.

又因?yàn)椤鱀FM≌△MGE，所以∠MEG=∠MDF.

所以∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°，其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，所以∠DME=90°.即MD⊥ME.

證法二：如圖5，MD與AB交于點(diǎn)H.

因?yàn)锳B∥MG，所以∠DHA=∠DMG.又因?yàn)椤螪HA=∠FDM+∠DFH，即∠DHA=∠FDM+90°.

因?yàn)椤螪MG=∠DME+∠GME，所以∠DME=90°，即MD⊥ME.

（3）等腰直角三解形.

評(píng)注：此題以課題學(xué)習(xí)為藍(lán)本，循序漸進(jìn)、層層深入，形成問題串，考查學(xué)生合理猜想的數(shù)學(xué)感覺與構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以及數(shù)學(xué)歸納、抽象、概括等能力.（1）由圖形的對(duì)稱性易知①、②、③都正確，④∠DAB=∠DMB=45°也正確；（2）直覺告訴我們MD和ME是垂直且相等的關(guān)系，一般由全等證線段相等，受圖1中△DFM≌△MGE的啟發(fā)，應(yīng)想到取中點(diǎn)構(gòu)造全等來證MD=ME，證MD⊥ME就是要證∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF，△DFM中三個(gè)角相加為180°，∠FMG可看成三個(gè)角的和，通過變形計(jì)算可得∠DME=90°.（3）只要結(jié)論，不要過程，由（2）合情推理知為等腰直角三解形.解決問題的關(guān)鍵是取中點(diǎn)，利用“三角形中位線”、“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”創(chuàng)造條件，構(gòu)造全等三角形，對(duì)能力要求很高.

解完此題，筆者不僅聯(lián)想到數(shù)學(xué)大師波利亞在《怎樣解題》一書中所寫：“沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做.在經(jīng)過充分的研究和洞察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)，而且無論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解.”你能在別的什么題目中利用這個(gè)結(jié)果或這種方法嗎？反思此題的圖形特征與解法，果有所獲，愿與大家分享.

1.拓展

再以BC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，會(huì)有什么結(jié)果？

例1 如圖6，分別以銳角△ABC的邊AB、BC和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰Rt△ADB、等腰Rt△EBC和等腰Rt△FAC，求證：AE=DF，AE⊥DF.

證明：取AC的中點(diǎn)P，連接DP、EP.

仿上例可證PD=PE，PD⊥PE.

因?yàn)椤鰽FC是等腰直角三角形，所以PF=PA.

因?yàn)椤螪PF=∠APD+∠APF，∠APE=∠APD+∠DPE，又因?yàn)椤螦PF=∠DPE=90°，所以∠DPF=∠APE.

所以△DPF≌△EPA（SAS），所以AE=DF.

由△DPF≌△EPA，得∠DFP=∠EAP.

因?yàn)椤螪FP+∠AFD+∠FAP=90°，

所以∠EAP+∠AFD+∠FAP=90°.

所以∠AHF=90°，即AE⊥DF.

2.推廣

將等腰直角三角形改為有一對(duì)角相等的直角三角形，會(huì)有什么結(jié)果？

例2 如圖7，以△ABC的邊AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，M是BC的中點(diǎn)，求證：DM=ME，∠DME=2α.

證明：分別取AB，AC的中點(diǎn)P，Q，連接DP，MP，MQ，EQ.

所以∠DME=∠DMP+∠PMQ+∠QME=∠MEQ+∠MQC+∠QME=180°-∠CQE.

而∠CQE=180°-∠QCE-∠QEC=180°-2α，所以∠DME=2α.

3.變式

將例2的圖形結(jié)構(gòu)作些變化，又會(huì)有什么結(jié)果？

例3 如圖8，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF=30°，BE、CF交于點(diǎn)O.過點(diǎn)O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q為垂足.

求證：△DPQ為等邊三角形.

此題是例2的變式，僅僅是題目的表述作了些變化，證明方法相同，本文不再贅述，有興趣的讀者可參照?qǐng)D8中的輔助線加以證明.

4.結(jié)語

本文的四道題既有一定的難度又有密切的關(guān)系，帶來的教學(xué)、解題啟示是：學(xué)習(xí)幾何一定要善于積累，解完題后對(duì)所做的題盡可能全方位、多角度反思，從變化中抓住不變因素，從復(fù)雜的背景中識(shí)別圖形特征，從紛繁的干擾中弄清問題的本質(zhì)，進(jìn)行歸納、分類，找出規(guī)律做好“積墊”，才能胸有成竹、遇題不慌，游刃有余地破解幾何難題，在解題中體驗(yàn)成功，在解題中提升思維.FH