☉江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 楊曉彬

☉江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王 磊

基于系統(tǒng)思維下的課堂教學(xué)再塑
——“探索三角形相似的條件”教學(xué)設(shè)計(jì)的重組與反思

☉江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 楊曉彬

☉江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王 磊

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“教材中學(xué)習(xí)素材的選擇，圖片、情景、實(shí)例與活動(dòng)欄目等的設(shè)置，拓展內(nèi)容的編寫，以及其他課程資源的利用，都應(yīng)當(dāng)與所安排的數(shù)學(xué)內(nèi)容有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的理解，有利于提高學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的興趣.”教材是最基本、最重要的課程資源，合理整合教學(xué)內(nèi)容是提高課堂效率的有效途徑.但教材不可能承載課程的全部?jī)?nèi)容，教師要有對(duì)課程資源進(jìn)行有效整合的意識(shí)，是“用教材教”，而不是“教教材”，能夠駕馭教材，根據(jù)不同的學(xué)情，改變教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式和順序.

下面以蘇科版八年級(jí)下冊(cè)第十章第4節(jié)《探索三角形相似的條件》為例，分享筆者的收獲.

一、案例呈現(xiàn)

（一）背景分析

《探索三角形相似的條件》是在學(xué)習(xí)了相似圖形及相似三角形的概念等知識(shí)后，研究如何探索三角形相似的條件，是判定三角形相似的起始課，既是對(duì)前面知識(shí)的延伸，也是對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的鋪墊.之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過相似三角形的概念，知道全等三角形是相似三角形的特殊情況等知識(shí)，在七年級(jí)也經(jīng)歷了全等三角形判定的探究過程，積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，較為熟練地掌握了三角形全等的判定方法，并能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的說理，具備一定的探究能力.綜上，教師對(duì)教材進(jìn)行了如下整合：第一課時(shí)通過與三角形全等條件的類比，探究出三角形相似的條件；第二課時(shí)對(duì)這三個(gè)條件進(jìn)行邏輯推理；第三課時(shí)應(yīng)用判定條件進(jìn)行證明.這樣，把四課時(shí)的內(nèi)容創(chuàng)新地整合為三課時(shí).教材內(nèi)容經(jīng)過這樣的整合后，一方面能帶領(lǐng)學(xué)生系統(tǒng)地掌握三角形相似的判定條件，做到整體感知，另一方面能系統(tǒng)地理解全等與相似的本質(zhì)聯(lián)系，教材被用活了.

（二）教學(xué)目標(biāo)

（1）探索三角形相似的條件，了解三角形相似的條件與三角形全等的條件之間的關(guān)系.

（2）經(jīng)歷“操作——觀察——猜想”的學(xué)習(xí)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展合情推理的能力.

（三）教學(xué)重、難點(diǎn)

（1）重點(diǎn)：類比三角形全等的判定方法，得到三角形相似的判定方法.

（2）難點(diǎn)：將邊相等的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)邊成比例的關(guān)系.

（四）教學(xué)方法

啟發(fā)研討，互動(dòng)探究

（五）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入

請(qǐng)同學(xué)們回顧一下三角形相似的定義.

學(xué)生1：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.

教師：你能回憶出三角形全等的定義嗎？

學(xué)生1：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

教師：我們是用這個(gè)定義來判定三角形全等嗎？

學(xué)生1：不是，我們是用SSS、SAS、ASA、AAS來判定的.

學(xué)生2：還有HL.

學(xué)生1：HL定理是直角三角形才有的.

教師：通過對(duì)全等判定條件的學(xué)習(xí)，我們知道可以用逐步減少條件的方法來探究，請(qǐng)思考：判定三角形相似是否也能用類似的方法呢？

教師：大家為什么那么肯定？

學(xué)生3：全等是相似的特殊情況，相似需要的條件應(yīng)該更少.

教師：它特殊在哪里？

學(xué)生3：相似比為1，相似中包含全等.

教師：你能類比三角形全等的條件，猜想三角形相似的條件嗎？

學(xué)生3（自信的）：AA、SA、SS、AS.

教師：他的猜想對(duì)嗎？

目前采取的治理措施雖收到一定成效，但是，治理過程中仍然存在一些問題與困境。無法滿足現(xiàn)階段環(huán)湖生態(tài)環(huán)境保護(hù)的需求，無法平衡各方的利益。

（多數(shù)學(xué)生面帶困惑，教師稍作停頓）

教師：下面我們就開始探索三角形相似的條件.（板書課題）

設(shè)計(jì)意圖：教師在引入新課時(shí)，為學(xué)生設(shè)置了熟悉的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生從三角形全等的條件猜想三角形相似的條件，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，喚起學(xué)生對(duì)新知識(shí)的探究欲望，自然地引出課題，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和探究能力.

2.探索交流，汲取新知

（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，類似地，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似嗎？如圖1中的兩個(gè)三角形相似嗎？說說你的想法.

引導(dǎo)學(xué)生以相似三角形的定義為依據(jù)，經(jīng)歷“量一量、算一算”的過程，得出滿足“三邊對(duì)應(yīng)成比例”、“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等”的兩個(gè)三角形相似.在此環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)放開讓各小組充分討論，一方面有個(gè)別學(xué)生可能在作圖上存在困難，可以讓學(xué)生在課堂上通過相互幫助完成學(xué)習(xí)任務(wù)，另一方面小組成員之間也有了更多自我調(diào)節(jié)和交流的機(jī)會(huì).討論結(jié)束后，由教師指定幾個(gè)小組分別展示他們得到的幾種判定方法，由學(xué)生說說分別符合什么條件的三角形是相似的.

雖然小組內(nèi)每位同學(xué)畫圖的數(shù)據(jù)可能各不相同，但當(dāng)他們看到全班同學(xué)所畫的圖形都相似的時(shí)候，那種認(rèn)同感對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的自信心是有很大幫助的.在此環(huán)節(jié)中將穿插教師的精講點(diǎn)撥，同時(shí)用幾何畫板演示以達(dá)到更好的直觀效果.

（3）你還能寫出判定兩個(gè)三角形相似的條件嗎？說說你的想法.

由前面的討論可知，三角形全等的判定和相似的判定條件之間存在如下關(guān)系：

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，由全等判定轉(zhuǎn)化為相似判定，僅僅需要把“邊相等”改為“邊對(duì)應(yīng)成比例”，而“角相等”這個(gè)條件不變.他們自然想到，對(duì)于全等判定“ASA”、“AAS”該怎么轉(zhuǎn)化呢？從而提出問題：“兩角對(duì)應(yīng)相等且一邊對(duì)應(yīng)成比例”對(duì)嗎？學(xué)生在具體畫圖中就會(huì)發(fā)現(xiàn)，一邊是無法“成比例”的，教師借此突破難點(diǎn)，既然一組對(duì)應(yīng)邊無法成比例，那么僅僅“兩角對(duì)應(yīng)相等”能否說明兩個(gè)三角形相似呢？

借助實(shí)物投影儀，師生共同歸納出：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生從三角形全等的條件猜想三角形相似的條件，但這個(gè)問題學(xué)生討論起來可能太寬泛，為了給其明確的導(dǎo)向，設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的小問題.第一個(gè)層次是明確給出兩個(gè)三角形，同時(shí)給出三邊的具體數(shù)值，讓學(xué)生通過度量三個(gè)角的度數(shù)，由定義得出“三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似”.第二個(gè)層次是給出一個(gè)三角形，并給出此三角形的兩邊長(zhǎng)及其夾角的度數(shù)，讓學(xué)生自己畫出另一個(gè)滿足“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等”的三角形，通過度量邊和角，得出滿足此條件的三角形也是相似的.第三個(gè)層次是完全放開讓學(xué)生探究其他的幾種情況，逐步歸納出“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”.

3.應(yīng)用遷移，鞏固提高

（1）如圖3-①～圖3-③中的各對(duì)三角形是否相似？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：得出相似三角形的幾種判定后，配以簡(jiǎn)單的幾道題讓學(xué)生鞏固練習(xí)，夯實(shí)所學(xué)知識(shí).

4.你說我說，清點(diǎn)收獲

對(duì)比三角形全等的條件，你是如何得到三角形相似的條件的？

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，對(duì)本節(jié)課探究的內(nèi)容進(jìn)行再提煉，一是明確相似與全等判定的區(qū)別僅僅是“對(duì)應(yīng)邊相等”變成了“對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例”，“對(duì)應(yīng)角相等”的條件不變，這與相似與全等的定義區(qū)別是吻合的；二是要求學(xué)生對(duì)得到的判定定理語言再整理，能夠有條理地、清晰地闡述.

二、三點(diǎn)斬獲

（一）轉(zhuǎn)換視角，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)意識(shí)

偉大的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說過：“在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?cè)趺粗朗裁?”數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系的，只有明確了知識(shí)從哪里來，到哪里去，是怎樣去的，才有可能準(zhǔn)確把握其中的核心數(shù)學(xué)思考.這就意味著，分析具體內(nèi)容中的知識(shí)形成過程，需要著眼于系統(tǒng)的角度，從數(shù)學(xué)學(xué)科框架延伸到中學(xué)數(shù)學(xué)框架，進(jìn)而觸及到章節(jié)單元框架系統(tǒng)，分析知識(shí)的形成過程.如果只從“教教材”的角度分析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，就容易忽視相似和全等的關(guān)系.例如，本節(jié)課首先學(xué)生能夠主動(dòng)地類比三角形全等的判定來探究三角形相似的判定，形成了一個(gè)完整的知識(shí)體系，這種類比將不僅僅反映在學(xué)生對(duì)相似判定的學(xué)習(xí)上，在后面判定的應(yīng)用上，學(xué)生也會(huì)不自覺地類比全等判定的應(yīng)用，對(duì)于學(xué)生來說，相似已經(jīng)不是一個(gè)獨(dú)立的新知識(shí)，只是全等的一個(gè)延續(xù).其次，這節(jié)課學(xué)生探究出了三個(gè)判定，即“三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似”，“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”，“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”這三個(gè)判定學(xué)生都是通過“量一量”，“算一算”得到的，發(fā)展了合情推理與有條理的表達(dá)能力.

（二）靈光閃現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

康托爾說過：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由.”自由的觀察角度，自由的思維方式，自由的推理過程，這也是數(shù)學(xué)吸引學(xué)生的魅力駐足點(diǎn).學(xué)生思維的閃動(dòng)成為本節(jié)課的亮點(diǎn)，一段段精彩的陳述讓聽課的老師們都感到無比的驚喜.比如，在探究“三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似”時(shí)，教師問：“除了導(dǎo)學(xué)案上的圖，你還能想到哪些圖形可以說明此定理呢？”這時(shí)有同學(xué)想到所有的等邊三角形都是相似的.更讓人驚訝的是，有一個(gè)學(xué)生竟然想到用放大鏡放大一個(gè)畫在紙上的三角形，得到的影像和原三角形是相似的.再比如在探究“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”時(shí)，有一個(gè)小組利用中位線的知識(shí)，對(duì)相似比為1的情形給出了理論證明.通過對(duì)教材的整合，學(xué)生親身經(jīng)歷了觀察、操作、猜想、交流等活動(dòng)過程，既克服了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的枯燥性，又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)連續(xù)的過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一件有趣的事.可見，在平時(shí)的教學(xué)中，對(duì)于課本中的概念、公式、定理等，教師不能只滿足于結(jié)論的證明和應(yīng)用，而應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn).

（三）打破常規(guī)，構(gòu)建道法自然的生態(tài)課堂

《新課標(biāo)（2011年版）》指出：“課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.”課后與學(xué)生談心時(shí)，學(xué)生說：“老師是在幫助我們建立知識(shí)之間的聯(lián)系，讓我們知道這些問題是屬于哪一類的，哪些是可以用同樣的思路來分析解決的.”在數(shù)學(xué)思考上，學(xué)生是新手，他們往往在思考的過程中缺乏方向感和有序性，容易受制于直觀、感性、模仿而理性不足，缺乏全局觀點(diǎn)而顧此失彼.而教材中有些探究的編排限制了學(xué)生探究性思維的發(fā)展，易于形成依賴性思維，使得探究活動(dòng)流于形式，不利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)框架，這就需要教師進(jìn)行教材的整合.從整體上把握學(xué)科本質(zhì)、把握學(xué)科知識(shí)和能力體系，知道學(xué)生已有什么，要知道什么，能不能做到.在實(shí)施的過程中，可能會(huì)產(chǎn)生哪些困難，如何解決這些困難.

正如奧蘇貝爾所說：“假如讓我把全部的教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要因素就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并因此教學(xué).”現(xiàn)階段，我國(guó)公民的文化程度越來越高，很多學(xué)生課前都已經(jīng)做好了預(yù)習(xí)工作，如繼續(xù)循規(guī)蹈矩，按部就班的上課，難免會(huì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來疲勞感，而利用系統(tǒng)思維重塑教學(xué)內(nèi)容，能給學(xué)生新鮮的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，是提高學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)效果的有效途徑.

1.吳增生.在知識(shí)形成過程中追求高階目標(biāo)的達(dá)成［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（7）.

2.孫道斌.將猜想滲透在日常教學(xué)中［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（7）.

3.楊裕前，董林偉.數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2011.

4.章建躍.數(shù)學(xué)要為學(xué)生謀取長(zhǎng)期利益［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（7）.

5.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

6.王磊.系統(tǒng)思維在農(nóng)村中學(xué)的應(yīng)用［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2012（1）.FH