劉 平

(四川銀監(jiān)局，四川成都 610042)

CDO定價(jià)影響要素的蒙特卡洛模擬研究

劉 平

(四川銀監(jiān)局，四川成都 610042)

CDO是目前國(guó)內(nèi)外非常關(guān)注的也是定價(jià)很復(fù)雜的一類(lèi)信用衍生產(chǎn)品，其定價(jià)的關(guān)鍵就是違約概率和違約相關(guān)性的估計(jì)。文章在Merton擴(kuò)展模型的基礎(chǔ)上，采用蒙特卡洛方法，并結(jié)合copula函數(shù)來(lái)生成具有相關(guān)性的違約時(shí)間分布，然后計(jì)算出各個(gè)違約時(shí)點(diǎn)，進(jìn)而求出標(biāo)的資產(chǎn)組合的違約損失。在此基礎(chǔ)上分別計(jì)算收益面和損失面的期望值，最終對(duì)各種要素對(duì)CDO定價(jià)的影響進(jìn)行分析與比較。

債務(wù)抵押債券;蒙特卡洛模擬;Merton擴(kuò)展模型;copula函數(shù)

一、文獻(xiàn)綜述

CDO定價(jià)方法主要有結(jié)構(gòu)模型和約化模型。結(jié)構(gòu)模型主要有BET模型、copula模型和因子copula模型。由于本文采用copula模型，因此本文著重對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行梳理和綜述。

國(guó)外研究方面，Li［1］利用市場(chǎng)中CDS的已知價(jià)格來(lái)模擬違約時(shí)點(diǎn)，用Gaussian copula建立多元聯(lián)合損失分布。Li模型的主要貢獻(xiàn)在于用Gaussian copula將過(guò)去某一時(shí)期內(nèi)違約事件、相關(guān)性等離散變量的估算，擴(kuò)展到具有連續(xù)時(shí)間的相關(guān)性違約時(shí)點(diǎn)的度量。Frey等［2］進(jìn)一步改進(jìn)了Li的模型，提出了student-t copula。這個(gè)模型是Gaussian copula的極值形式，能更好地解釋金融變量的肥尾特征。Schonbucher等［3］將違約相關(guān)性納入違約強(qiáng)度模型中，發(fā)展出一套最一般化的copula函數(shù)分析及一致性的個(gè)別違約強(qiáng)度動(dòng)態(tài)模式。Rogge［4］延續(xù)了 Schonbucher等的研究，發(fā)現(xiàn) Clayton copula相較于市場(chǎng)上常使用的 Gaussian copula或student-t copula，可產(chǎn)生較為真實(shí)的信用價(jià)差變化過(guò)程。然而，這一模型的最大缺點(diǎn)是模擬過(guò)程復(fù)雜，不易執(zhí)行。Burtschell［5］等對(duì)不同的copula函數(shù)在CDO定價(jià)中的應(yīng)用作了總結(jié)性的比較分析，表明Student－t和Clayton copula比Gaussian copula能更好地?cái)M合市場(chǎng)數(shù)據(jù)，但Marshall－Olkin copula能進(jìn)一步提升模型的準(zhǔn)確性。Totouom［6－7］將動(dòng)態(tài)相關(guān)copula模型運(yùn)用到CDO定價(jià)中，提出了動(dòng)態(tài)copula模型。

國(guó)內(nèi)研究方面，朱世武［8］討論了如何利用copula函數(shù)來(lái)進(jìn)行資產(chǎn)組合的違約相關(guān)性度量，并進(jìn)一步探討了信用衍生品的定價(jià)以及資產(chǎn)組合的信用風(fēng)險(xiǎn)管理問(wèn)題，但其研究對(duì)象只針對(duì)2種資產(chǎn)的簡(jiǎn)單組合，對(duì)于copula函數(shù)及其參數(shù)的選擇也不夠深入。馮謙等［9］等使用非參數(shù)方法從市場(chǎng)數(shù)據(jù)中推導(dǎo)出一個(gè)合理的copula函數(shù)，然后提出利用蒙特卡洛計(jì)算CDO分券合理價(jià)差的方法，但沒(méi)有具體的實(shí)證分析。袁子甲等［10］在因素模型中引入NIG分布，對(duì)正態(tài)因素模型進(jìn)行了3種不同形式的推廣應(yīng)用，并用數(shù)值模擬對(duì)模型進(jìn)行了分析，但其模型推廣和數(shù)值模擬均可進(jìn)一步深入討論分析。穆放等［11］以KMV模型和copula函數(shù)分別對(duì)債務(wù)人的違約概率和違約相關(guān)性進(jìn)行估計(jì)，并計(jì)算在不同樣本和回收率下各投資層次的風(fēng)險(xiǎn)溢酬，利用國(guó)內(nèi)市場(chǎng)公開(kāi)信息，對(duì)債務(wù)抵押債券定價(jià)進(jìn)行了實(shí)證研究，但該模型對(duì)樣本選擇有很高的依賴(lài)性。陳田等［12］對(duì)CDO定價(jià)模型進(jìn)行了綜述，并按照各種定價(jià)方法對(duì)國(guó)內(nèi)外研究做了很詳細(xì)的綜述。尹占華等［13］在測(cè)算CDO損失分布的二項(xiàng)式擴(kuò)展技術(shù)的基礎(chǔ)上，提出用蒙特卡洛方法對(duì)建設(shè)銀行120筆貸款模擬了損失分布并計(jì)算了VaR。楊瑞成等［14］討論了基于混合分布單因子模型的CDO定價(jià)問(wèn)題，假設(shè)資產(chǎn)價(jià)值的市場(chǎng)共同因子和異質(zhì)因子均服從標(biāo)準(zhǔn)高斯和NIG的混合分布，且相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)相關(guān)系數(shù)，通過(guò)半解析法給出了CDO分券層的公允價(jià)格公式。

綜合國(guó)內(nèi)研究，在CDO定價(jià)中已經(jīng)取得了一定的成績(jī)。本文在前人的基礎(chǔ)上有兩點(diǎn)創(chuàng)新：一是詳細(xì)模擬了計(jì)算違約時(shí)間點(diǎn)的過(guò)程;二是對(duì)各種要素對(duì)CDO定價(jià)的影響進(jìn)行了詳細(xì)的模擬。

二、研究方法

第一步，根據(jù)選定的copula函數(shù)產(chǎn)生n個(gè)服從均勻分布的隨機(jī)變量U。

第二步，模擬違約時(shí)間點(diǎn)：(1)計(jì)算違約強(qiáng)度λ;(2)違約時(shí)間點(diǎn)。

在不同copula函數(shù)產(chǎn)生出隨機(jī)變量Ui的基礎(chǔ)上，由τi=－lnUi/λi求得違約時(shí)間點(diǎn)τi。

加快國(guó)家畜禽糞污資源化利用試點(diǎn)縣項(xiàng)目實(shí)施進(jìn)度，大力推進(jìn)畜禽糞污、農(nóng)作物秸稈、廢舊農(nóng)膜、病死畜禽等農(nóng)業(yè)廢棄物資源化利用，加強(qiáng)病蟲(chóng)害統(tǒng)防統(tǒng)治和全程綠色防控，加快實(shí)施高劇毒農(nóng)藥替代計(jì)劃，規(guī)范限量使用飼料添加劑，規(guī)范使用獸用抗菌藥物。深入推進(jìn)化肥、農(nóng)藥使用量零增長(zhǎng)行動(dòng)，推廣有機(jī)肥替代化肥、測(cè)土配方施肥，減少?gòu)U棄物、化肥、農(nóng)藥對(duì)土壤的污染，提升耕地質(zhì)量，提高農(nóng)作物產(chǎn)量、質(zhì)量[2]。

第三步，計(jì)算CDO相應(yīng)的收益面和損失面以及各個(gè)層級(jí)的溢價(jià)。

假設(shè)在存續(xù)時(shí)間會(huì)支付w次，B(0，ti)表示的是折現(xiàn)因子，T表示從現(xiàn)在開(kāi)始合約到期的時(shí)間，τi表示違約時(shí)間點(diǎn)。CDO分券的上邊界為D，下邊界為A，EL表示投資者可能支付的違約損失的期望值。I(τi＜t)是一個(gè)示性函數(shù)，當(dāng)損失在分券范圍內(nèi)則為1，如果超出分券區(qū)間，則為0。S就是本文所求的CDO的溢價(jià)。CDO的定價(jià)要求合約一開(kāi)始是公平的，因此CDO的收益面和損失面相等，整個(gè)交易不存在套利機(jī)會(huì)。由上面的分析可以看出，CDO各個(gè)分券的溢價(jià)S為：

三、實(shí)證研究

(一)樣本選取和描述性統(tǒng)計(jì)

(二)計(jì)算各copula函數(shù)的相關(guān)系數(shù)

這里主要選取了正態(tài)copula函數(shù)、t copula函數(shù)以及Clayton copula函數(shù)作為代表來(lái)刻畫(huà)資產(chǎn)之間的相關(guān)性(表1－表3)。

表1 正態(tài)copula函數(shù)的Kendall tau

表2 t copula函數(shù)的Kendall tau

表3 Clayton copula函數(shù)的Kendall tau

橫向比較可以看出t copula函數(shù)計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)比正態(tài)copula函數(shù)要大，而Clayton copula函數(shù)計(jì)算的相關(guān)系數(shù)比正態(tài)copula函數(shù)總體上要小一些。然后對(duì)協(xié)方差矩陣Σ進(jìn)行Cholesky分解，根據(jù)選定的copula函數(shù)產(chǎn)生n個(gè)服從均勻分布的隨機(jī)變量Ui。

(三)計(jì)算違約率和違約強(qiáng)度

按照Merton模型，通過(guò)已知的股東權(quán)益值VE和前面計(jì)算出的股價(jià)日波動(dòng)率，推算出一年的σE=股價(jià)日波動(dòng)率×槡T，就可以推算出VA和σA，各公司的總資產(chǎn)和波動(dòng)率如表4所示。

表4 各公司的總資產(chǎn)和波動(dòng)率

由于Merton模型有個(gè)前提是違約只在到期日T才發(fā)生，而這明顯不符合現(xiàn)實(shí)。只要資產(chǎn)總值V小于債務(wù)總值F，就應(yīng)該宣布違約。根據(jù)Merton擴(kuò)展模型推導(dǎo)首次離開(kāi)時(shí)間的參數(shù)、違約率和違約強(qiáng)度。

表5 各公司的違約率和違約強(qiáng)度

(四)各要素對(duì)CDO定價(jià)的影響

1．回復(fù)率(R)對(duì)CDO定價(jià)的影響

假設(shè)在正態(tài)copula函數(shù)下，違約強(qiáng)度λ取5個(gè)資產(chǎn)中最小的那個(gè)，λ =0．006 94，相關(guān)系數(shù)都為0．3，只改變回復(fù)率，看對(duì)CDO定價(jià)會(huì)有什么影響，模擬結(jié)果見(jiàn)表6、表7。

表6 R為0．2時(shí)各公司的預(yù)期損失和溢價(jià)

表7 R為0．6時(shí)各公司的預(yù)期損失和溢價(jià)

從不同回復(fù)率的比較可以看出，回復(fù)率越大，CDO溢價(jià)越小。這很好理解，因?yàn)橘J款回收得越好，投資人的損失越小，價(jià)格自然也就越低。

2．相關(guān)系數(shù)對(duì)CDO定價(jià)影響

假設(shè)在正態(tài)copula函數(shù)下，違約強(qiáng)度λ取5個(gè)資產(chǎn)中最小的那個(gè)，λ =0．006 94，回復(fù)率都為0．4，只改變相關(guān)系數(shù)，看對(duì)CDO定價(jià)會(huì)有什么影響，模擬結(jié)果見(jiàn)表8、表9。

表8 相關(guān)系數(shù)為0．1各公司的預(yù)期損失和溢價(jià)

表9 相關(guān)系數(shù)為0．5各公司的預(yù)期損失和溢價(jià)

從上表比較可以看出，相關(guān)系數(shù)越大，股權(quán)類(lèi)分層(假設(shè)為0% ～3%)越小，而最優(yōu)先類(lèi)分層(30% ～100%)越大。這是因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)增加，CDO資產(chǎn)組合的聯(lián)合分布會(huì)呈現(xiàn)出比較明顯的肥尾狀，CDO的極端損失風(fēng)險(xiǎn)會(huì)增加;相反，相關(guān)系數(shù)減少，CDO資產(chǎn)組合的聯(lián)合損失分布的尾部風(fēng)險(xiǎn)縮小，從而使CDO的極端損失風(fēng)險(xiǎn)減少。所以說(shuō)，優(yōu)先類(lèi)分券的價(jià)格和標(biāo)的資產(chǎn)的違約相關(guān)性成正比，相關(guān)性越高，其需支付的保險(xiǎn)費(fèi)越高。根據(jù)市場(chǎng)上的CDO價(jià)格，推導(dǎo)出各分券隱含的違約相關(guān)性發(fā)現(xiàn)，中間類(lèi)分券的相關(guān)性往往低于權(quán)益類(lèi)及優(yōu)先類(lèi)分券，同時(shí)優(yōu)先類(lèi)分券的相關(guān)性又高于權(quán)益類(lèi)分券。

3．違約強(qiáng)度對(duì)CDO定價(jià)影響

假設(shè)在正態(tài)copula函數(shù)下，回復(fù)率都為0．4，相關(guān)系數(shù)不變都為0．3，只改變違約強(qiáng)度，看λ對(duì)CDO定價(jià)會(huì)有什么影響，模擬結(jié)果見(jiàn)表10、表11。

表10 λ為0．006 94時(shí)各公司的預(yù)期損失和溢價(jià)

表11 λ為0．185 27時(shí)各公司的預(yù)期損失和溢價(jià)

從表中比較可以看出，違約強(qiáng)度越大，違約可能性越大，所以CDO價(jià)格越高。

4．不同copula函數(shù)對(duì)CDO定價(jià)的影響

假設(shè)違約強(qiáng)度λ取5個(gè)資產(chǎn)中最小的那個(gè)，λ=0．006 94，回復(fù)率都為0．4，看不同copula函數(shù)對(duì)CDO定價(jià)會(huì)有什么影響，模擬結(jié)果見(jiàn)表12、表13、表14。

表12 正態(tài)copula函數(shù)各公司的預(yù)期損失和溢價(jià)

表13 t copula函數(shù)各公司的預(yù)期損失和溢價(jià)

表14 Clayton copula函數(shù)各公司的預(yù)期損失和溢價(jià)

從上表比較可以看出，Clayton copula函數(shù)下股權(quán)類(lèi)分層(假設(shè)為0% ～3%)價(jià)格最大;而最優(yōu)先類(lèi)分層(30% ～100%)最小，相對(duì)誤差也較小。t copula函數(shù)下股權(quán)類(lèi)分層(假設(shè)為0% ～3%)價(jià)格最小，相對(duì)誤差也較小;而最優(yōu)先類(lèi)分層(30% ～100%)最大。正態(tài)copula函數(shù)介于兩者之間。這可能跟不同copula函數(shù)下的相關(guān)關(guān)系有關(guān)，Clayton copula函數(shù)下的相關(guān)系數(shù)較小，所以股權(quán)類(lèi)分層(假設(shè)為0% ～3%)價(jià)格最大，而最優(yōu)先類(lèi)分層(30% ～100%)最小。而t copula函數(shù)下相關(guān)系數(shù)較大，所以股權(quán)類(lèi)分層(假設(shè)為0% ～3%)價(jià)格最小，而最優(yōu)先類(lèi)分層(30% ～100%)最大。

5．實(shí)際情況比較

國(guó)際CDO產(chǎn)品都是5個(gè)層級(jí)，但國(guó)內(nèi)CDO產(chǎn)品分層普遍較少，于是只能選取國(guó)開(kāi)行2005年首次發(fā)行的“開(kāi)元”一期作大致比較。

表15 CDO“開(kāi)元”一期的分層和溢價(jià)

從模擬的結(jié)果和實(shí)際發(fā)行的產(chǎn)品溢價(jià)相比較，可以發(fā)現(xiàn)模擬的產(chǎn)品在優(yōu)先A檔溢價(jià)偏低，而在次級(jí)檔溢價(jià)過(guò)高，因此在模擬國(guó)內(nèi)CDO產(chǎn)品時(shí)，可以對(duì)優(yōu)先檔調(diào)低回復(fù)率、調(diào)高相關(guān)系數(shù)和違約強(qiáng)度、選取t copula函數(shù);而對(duì)次級(jí)檔調(diào)高回復(fù)率和相關(guān)系數(shù)、調(diào)低違約強(qiáng)度、依然選取t copula函數(shù)。

四、結(jié)論

本文分析了CDO定價(jià)的4種影響因素，通過(guò)實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)：回復(fù)率越大，CDO溢價(jià)越小;相關(guān)系數(shù)越大，股權(quán)類(lèi)分層溢價(jià)越小，而優(yōu)先類(lèi)分層溢價(jià)越大;違約強(qiáng)度越大，CDO溢價(jià)越大;Clayton copula函數(shù)下股權(quán)類(lèi)分層價(jià)格最大，而最優(yōu)先類(lèi)分層最小，t copula函數(shù)下股權(quán)類(lèi)分層價(jià)格最小，而最優(yōu)先類(lèi)分層最大，正態(tài)copula函數(shù)介于兩者之間。由于本文采用的是蒙特卡羅方法來(lái)定價(jià)，所以不能產(chǎn)生唯一的解析解，可能得到的結(jié)果不夠精確，但從多次模擬結(jié)果來(lái)看標(biāo)準(zhǔn)差不是很大，所以結(jié)果還比較滿(mǎn)意。

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The Influence of Factors on CDO Pricing Based on Mote Carlo Simulation

LIU Pin
(The Banking Regulatory Bureau of Sichuan，Chengdu 610042，P．R．China)

CDO is a kind of complex pricing credit derivatives．The key of pricing is the default probability and the default correlation．Based on Monte Carlo method， the paper uses Merton extension model and combines with Copula function to generate default time distribution．And then it calculates the underlying asset portfolios default loss．Based on the premiums and losses of asset portfolios， the paper prices the multiple levels of CDO and analyzes different influence on CDO pricing．

CDO;Monte Carlo simulation;Merton expansion model;Copula function

(責(zé)任編輯 傅旭東)

F830.91

A

1008-5831(2014)03-0055-06

2013－01－18

劉平(1978－)，女，四川成都人，四川省銀監(jiān)局博士，主要從事金融衍生品定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)管理研究。

10．11835/j．issn．1008 －5831．2014．03．008