丁 華
(揚(yáng)州職業(yè)大學(xué),江蘇 揚(yáng)州 225009)
定義[8]設(shè)A∈Cn×n,若矩陣X 滿足如下矩陣方程
則稱X 為A 的群逆,記為A#.
引理1[8]設(shè)A∈Cn×n,當(dāng)且僅當(dāng)ind(A)=1 時(shí),A 的群逆存在.當(dāng)A 的群逆存在時(shí),A 的群逆唯一,且A#=A(A3)(1)A.
引理2 設(shè)A,B∈Cn×n,A2=A,B2=B,R(A)=R(B),rankA=rankB=r.則存在n 階酉矩陣U,使得
證明 因?yàn)锳2=A,B2=B,所以A,B 的特征值均只有1 和0,R(A),R(B)分別為A,B 關(guān)于特征值1的特征子空間.又R(A)=R(B),rankA=rankB=r,故A,B 關(guān)于特征值1 的特征子空間相同,且維數(shù)為r.取R(A)=R(B)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基e1,e2,…,er,將其擴(kuò)充成Cn的標(biāo)準(zhǔn)正交基e1,e2,…,er,er+1,…,en.令U=(e1,…,er,er+1,…,en)*,則U 為n 階酉矩陣,且
因?yàn)閞ankA=rankB=r,所以A1=0,B1=0,從而
引理3 設(shè)A,B∈Cn×n,A2=A,B2=B,R(A)=R(B),則rankBAB=rankB.
證明 由引理2 的證明可知,R(A),R(B)分別為A,B 關(guān)于特征值1 的特征子空間. R(BAB)?R(B).又?x∈R(B),x=Bx=BAx=BABx∈R(BAB);故R(BAB)=R(B),從而rankBAB=rankB.
證明 因?yàn)?/p>
所以由引理3 得,rankM2=rankA+rankBAB=2r.
由A2=A,B2=B,R(A)=R(B*),rankA=rankB=r,根據(jù)引理2,存在n 階酉矩陣U,使得
于是,
又
且由rankAB=r 可推出D=I+Δ1Δ*2可逆,從而
當(dāng)A∈Cn×n,A2=A,rankA=r 時(shí),A*2=A*,rankA =rankA*=rankAA*=rankA*A =r,故只要在定理中取B=A*,由定理的結(jié)論便可得
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