鮑四元

(蘇州科技學院土木工程學院，江蘇 蘇州 215011)

圈操運動中有圈的回滾問題，而乒乓球和臺球的打法中也有前進后再向后退的情形。文獻［1］討論過雜耍圓盤的滾動問題，文獻［2］和文獻［3］就圈操運動員使拋出去的圓環(huán)再回到自己的身邊進行了討論。文獻［3］涉及物體在滿足回滾條件下的回滾時間，但未考慮帶滑動的滾動階段的時間。因此，有必要研究回滾時間與初速度、初角速度的關(guān)系。

1 問題

藝術(shù)體操運動員使圓圈高速轉(zhuǎn)動，并在地面上向前拋出，不久圓圈可自動返回到運動員面前，試分析圈的運動。

2 力學模型與分析

圓圈運動有帶滑前滾、帶滑后滾、無滑動滾動三個階段。取圓圈為研究對象，其受力和運動狀態(tài)如圖1所示。

圖1 圓圈的初始受力和運動狀態(tài)圖

由質(zhì)心運動定理得:

其中，圓圈對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量JC=mR2，F(xiàn)f=μmg，解得:

式(2)中加速度aC為常量，故質(zhì)心速度νC隨時間t的變化規(guī)律為:

式(2)中角加速度α為常量，故圓圈的角速度ω隨時間t的變化規(guī)律為:

式(4)反映由于摩擦力的作用，圓圈的質(zhì)心速度隨時間變小，其轉(zhuǎn)動的角速度也越來越小。

第Ⅰ階段 帶滑動的滾動階段(向右運動，νA＞0，νC＞0，0≤t≤t1)

為保證回滾，ω1應仍按原方向轉(zhuǎn)動，故ν0＜Rω0是圓圈回滾的必要條件。

另外，圈與地面接觸點A點的速度記為νA，由平面運動的速度合成定理得:

將式(3)和式(4)代入式(6)得:

此階段圓圈滑動的位移即剛體質(zhì)心C點平移的位移為:

而圓圈與地面接觸點A點滾過的路程由剛體平移位移sp和滾動位移sg組成。νA＞0，故A點滾動位移為，由式(7)得:

故第Ⅰ階段A點的總路程為:

第Ⅱ階段 帶滑動的滾動階段(向左運動，νA＞ 0，νC＜ 0，t1≤ t≤ t1+t2)

由于νA＞0，故圓圈仍然受到水平向左的摩擦力，直至νA=0被滿足的時刻，此后圓圈相對地面沒有滑動，所以不再有摩擦力，參見圖2(b)。

圖2 圓圈運動過程中的受力圖

令νA=0，由式(7)得:

式(2)中角加速度α為定值，故圓圈的角速度ω隨時間t的變化規(guī)律為:

其中，ω1由式(6)確定。圓圈相對地面沒有滑動時，得:

或者根據(jù)純滾動特點和式(12)可得ω2。

類似第Ⅰ階段，得第Ⅱ階段向左的水平位移:

而圓圈與地面接觸點A點滾過的路程由剛體平移位移sp2和滾動位移sg2組成，其中:

A點滾過的總路程為:

第Ⅲ階段 無滑動回滾至原點的階段(νA=0，νC＜ 0，t1+t2＜ t≤ t1+t2+t3)

從νA=0被滿足的時刻開始，圓圈不再有摩擦力。圓圈在水平方向不受外力作用，所以圈將以等角速度無滑動地滾動下去。

綜上所述，圖3給出圓環(huán)滾動過程中角速度隨時間t變化的關(guān)系圖，而圖4給出圓環(huán)滾動過程中νA、νC隨時間t變化的關(guān)系圖。

由式(14)，回滾過程中圓圈以勻角速度ω2=滾動，對應于圓圈滾動的質(zhì)心位移:

故第Ⅲ階段回滾至原點的時間為:

圖3 圓環(huán)滾動過程中角速度隨時間t變化的關(guān)系圖

圖4 圓環(huán)滾動過程中νA、νC隨時間t變化的關(guān)系圖

由式(11)、式(14)、式(18)和式(19)，表演者表演的總計回滾時間為:

圖5 總回滾時間t表達式中的函數(shù)隨參數(shù)k變化曲線

算例

取木質(zhì)圈與薄地毯場地間的摩擦系數(shù)μ=0.5，設(shè)有2個圈，小圈和大圈的直徑分別為80 cm，90 cm，初速度的取值范圍是5.42 m/s≤ν0≤6.26 m/s。考慮回滾條件，取 ω0=1.5ν0/R，由式(8)得 3 m ≤ x≤4 m。［3］

3 推廣

本文結(jié)論對于其他圓形均質(zhì)物體，如圓盤、球等物體，也有類似結(jié)論。設(shè)圓形均質(zhì)物體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為I，令，經(jīng)計算得到:第Ⅱ階段的持續(xù)時間:

第Ⅲ階段向左的角速度:

表演的總回滾時間:

以上結(jié)果當p=1時，結(jié)果對應于圓圈時的結(jié)論，即式(11)、式(14)和式(20)。

4 結(jié)論

1)圈的3個特殊狀態(tài)(如圖1、圖2所示)對于分析圈的回滾具有重要意義。

2)地面摩擦力在第Ⅰ階段阻礙了圈的向右平移，而在第Ⅱ階段則起到加速向左平移的作用。此過程質(zhì)心速度變化情況與常見的彈簧振子相類似。

3)圈的回滾要求ν0＜Rω0，若不滿足，建議可通過在右側(cè)某位置設(shè)置受壓縮的彈簧，圈向右運動到彈簧時，受力后變?yōu)橄蜃筮\動。

4)由圈的回滾可設(shè)計類似的表演。如準備一個直徑足夠大的鋼圈，提前使其具有一定的轉(zhuǎn)動角速度，表演者從高處斜跳，恰好跳到處于滾動圈的開槽處，從而使圈具有水平速度和轉(zhuǎn)動的角速度，并使圈回滾。具體的參數(shù)需另文計算。

［1］朱照宣，周起劍，殷金生.理論力學［M］.北京:北京大學出版社，1982:65-66.

［2］姜凱.圓環(huán)回滾為何因［J］.技術(shù)物理教學，2005，13(3):36.

［3］唐永光.趣談體育運動中球和圈的回滾［J］.力學與實踐，2011，33(2):114-116.