一、本課題教學(xué)的背景

我有幸獲得開課任務(wù)，上課內(nèi)容是《勾股定理》第一課時(shí)。經(jīng)歷了一次試上，一次正式上課和兩次反思，這次案例教學(xué)活動(dòng)使我的教學(xué)觀念受到了極大的沖擊。以前我自認(rèn)為有本科學(xué)歷，又有一定的教學(xué)能力，擔(dān)任初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)沒有任何問題?！豆垂啥ɡ怼愤@堂課至少上過五遍，基本上都是按照書上的方法引導(dǎo)學(xué)生去想，并且證明給學(xué)生看。這是第一次嘗試尋找一種能讓學(xué)生自己“發(fā)現(xiàn)”并自己證明勾股定理的方法。經(jīng)過反思，我深切地體會到教學(xué)理念的重要性，必須以教學(xué)理念的提升指導(dǎo)和改進(jìn)教學(xué)方法，規(guī)范課堂教學(xué)。

二、“勾股定理”教學(xué)設(shè)計(jì)說明

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生的知識不應(yīng)只是通過教師單純地講解與學(xué)生的簡單模仿獲得，而是通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生渴望新知識，經(jīng)歷知識的形成過程，體驗(yàn)應(yīng)用知識的快樂，從而使學(xué)生變被動(dòng)接受為主動(dòng)探究，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。為此，本節(jié)課主要設(shè)計(jì)了三個(gè)活動(dòng)。

活動(dòng)一：喚起學(xué)生對新知識的渴望。

學(xué)生為了解決現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)樸實(shí)、可親、有趣的問題，不斷碰到困難，并不斷在發(fā)現(xiàn)中解決，思維探究活躍，好奇心和探索欲望被激起。

活動(dòng)二：學(xué)生在探索中體驗(yàn)快樂。

探索“勾股定理”是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在整個(gè)探索過程中教師只是一個(gè)引導(dǎo)者、啟發(fā)者，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、觀察、思考、實(shí)驗(yàn)、探索與交流；學(xué)生在整個(gè)活動(dòng)中切身體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的快樂。從而培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神和合作交流能力。

活動(dòng)三：學(xué)生在問題設(shè)計(jì)中鞏固勾股定理。

本節(jié)課是勾股定理的第一課，知識的應(yīng)用比較簡單，學(xué)生設(shè)計(jì)問題有一定的可行性。引導(dǎo)學(xué)生在掌握勾股定理的基礎(chǔ)上自己設(shè)計(jì)問題，完善問題，并從老師的高度進(jìn)行變題，學(xué)生的主體性得到了充分的體現(xiàn)。

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)遵循“重視預(yù)設(shè)、期待生成”的原則。

三、教學(xué)過程與反思

1.第一次試上，由我獨(dú)立備課，從開始備課到上課結(jié)束，始終有兩個(gè)疑問沒有得到很好解決。

一是如何引出勾股定理。教學(xué)過程是讓學(xué)生在正方形網(wǎng)格上畫一個(gè)兩條直角邊a、b分別是3厘米和4厘米的直角三角形，量一下斜邊長c是多少？緊接著讓學(xué)生觀察直角三角形的三條邊在大小上有什么關(guān)系。事實(shí)上，由于缺乏足夠的材料，而且量得的結(jié)果可能不一定是整數(shù)，因此很難得出正確的結(jié)論。另外，也有學(xué)生在探究時(shí)，根據(jù)兩邊和大于第三邊得出a+b>c這個(gè)結(jié)論，認(rèn)為這也是直角三角形三條邊之間的關(guān)系，這便偏離了教師預(yù)先設(shè)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

二是勾股定理的證明。解決的方案：采用教材提供的方法，即教參上所說的數(shù)形結(jié)合的方法。通過恒等變形（a+b）■=4×■ab+c■，在教師的引導(dǎo)下作出聯(lián)想，將四個(gè)全等的直角三角形拼在邊長為（a+b）的正方形當(dāng)中，中間又是一個(gè)正方形，而它的面積正好是c■，從而得出a■+b■=c■。其中的難點(diǎn)在于，讓學(xué)生自己很自然地想到用拼圖證明，對于大多數(shù)學(xué)生來講，做到這一點(diǎn)幾乎是不可能的。教師只能帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行變形、聯(lián)想、拼圖等一系列的教學(xué)活動(dòng)。教師的講授時(shí)間明顯多于學(xué)生的探究時(shí)間，盡管教師一直在講，但是其中的來龍去脈還是很難交代清楚。

第一次反思：

（1）教師的講授時(shí)間多于學(xué)生的探究時(shí)間原因在于：憑學(xué)生已有的知識尚無能力探究這個(gè)問題，學(xué)生“一路走來”只能回答“是”“對”，思維屢屢受阻，心智活動(dòng)暴露在無所依托的危機(jī)之中。

（2）備課時(shí)，教師就發(fā)現(xiàn)了難點(diǎn)所在，但直到具體實(shí)施時(shí)仍束手無策，心有余而力不足，無法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義的自主探究，這與教師自身的經(jīng)驗(yàn)不足有很大關(guān)系。

（3）教師不僅要抓住教學(xué)中的難點(diǎn)，更要找到化解難點(diǎn)的辦法。為學(xué)生向既定的探究目標(biāo)邁進(jìn)鋪設(shè)適當(dāng)?shù)闹R階梯，當(dāng)憑自己的能力無法做到時(shí)，應(yīng)向?qū)＜艺埥?，及時(shí)有效地解決教學(xué)中存在的問題，使自己在教法上能有所改進(jìn)。

2.第二次上課通過集體備課，大家集思廣益，針對前面兩個(gè)難點(diǎn)重點(diǎn)設(shè)計(jì)，基本上解決了原有的問題。

設(shè)計(jì)方案是：將整個(gè)教學(xué)過程分成八節(jié)，每一節(jié)都清晰地展現(xiàn)在學(xué)生面前。

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)疑鋪墊。情景展示：小強(qiáng)家正在裝修新房，周日，小強(qiáng)家買了一批邊長為2.1米的正方形木板，想搬進(jìn)寬1.5米，高2米的大門，小強(qiáng)橫著放，豎著放都沒能將木板搬進(jìn)屋內(nèi)，你能幫他解決這個(gè)問題嗎？

（2）以1955年發(fā)行的畢達(dá)哥拉斯紀(jì)念郵票為背景，觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？并說說你的理由。

圖一 圖二

（3）以小方格背景，任意畫一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的直角三角形，并分別以這個(gè)直角三角形的各邊為一邊向外作正方形，剛才你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？其中斜放的正方形面積如何求，由學(xué)生探討。（介紹割與補(bǔ)的方法）（圖一）

（4）如圖二，任意直角三角形ABC為邊向外作正方形，上面的猜想仍成立嗎？用四個(gè)全等的直角三角形拼圖驗(yàn)證。

（5）介紹一些有關(guān)勾股定理的史料（趙爽的弦圖、世界數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)、華羅庚建議用“勾股定理”的圖作為與外星人聯(lián)系的信號等），讓學(xué)生感受到勾股定理的歷史之悠久，激起學(xué)生的民族自豪感。

（6）應(yīng)用新知，解決問題。

①解決剛才“門”的問題，前后呼應(yīng)；

②直角三角形兩邊為3和4，則第三邊長是？搖 ？搖。

例：一塊長約120步，寬約50步的長方形草地，被不自覺的學(xué)生沿對角線踏出了一條斜路，類似的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，請問同學(xué)們回答：①走“斜路”的客觀原因是什么？為什么？②“斜路”比正路近多少？這么幾步近路，值得用我們的聲譽(yù)作為代價(jià)換取嗎？

（7）設(shè)計(jì)問題，揭示本質(zhì)。請學(xué)生概括用上述勾股定理解決問題的實(shí)質(zhì)：已知兩邊求第三邊長，并請學(xué)生設(shè)計(jì)能用勾股定理解決的簡單問題。

（8）感情收獲，鞏固拓展。

①本節(jié)課你有哪些收獲？

②本節(jié)課你最感興趣的是什么地方？

③你還想進(jìn)一步研究什么問題？

說明：（1）通過具體的生活情景，激起了學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)興趣，使他們急于想知道直角三角形的三邊到底存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，激發(fā)了他們的好奇心和求知欲。

（2）學(xué)會了在小方格的背景下，用割補(bǔ)法求出郵票中斜放的正方形R的面積，同時(shí)為勾股定理的引出做好了充分的準(zhǔn)備，為學(xué)生進(jìn)行有意義的探究做好了鋪墊。

（3）證明方法可以說已經(jīng)擺在這里，但由于前面的教學(xué)中計(jì)算強(qiáng)調(diào)過多，而忽略了計(jì)算原理，致使撤去小方格背景時(shí)，學(xué)生在證明時(shí)出現(xiàn)障礙，想不到補(bǔ)4個(gè)直角三角形，或割成四個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形計(jì)算斜放的正方形面積。為了解決這個(gè)問題，本節(jié)課在定理證明時(shí)有意用拼圖的方法再次驗(yàn)證勾股定理。

（4）由于是勾股定理的第一課，應(yīng)用較簡單，學(xué)生設(shè)計(jì)具有一定的可行。引導(dǎo)學(xué)生在掌握定理的基礎(chǔ)上自己設(shè)計(jì)問題，完善問題，并從老師的高度變題，學(xué)生的主體性得到了最好的發(fā)揮。

第二次反思：

（1）當(dāng)猜想出直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系時(shí)，是不足以讓學(xué)生信服的，因?yàn)椴孪霑r(shí)直角三角形的三邊均為整數(shù)，學(xué)生可能還存在疑慮：當(dāng)直角邊的長不是整數(shù)時(shí)，情況又如何呢？所以讓學(xué)生從理性上確信這個(gè)猜想是必不可少的環(huán)節(jié)。為此，設(shè)計(jì)了任意三邊的直角三角形是否存在這個(gè)問題。

（2）去掉背景和具體數(shù)值，在證明字母為邊的直角三角形的勾股定理時(shí)，主要是沒有了正方形網(wǎng)格作背景，學(xué)生不能快速產(chǎn)生正確的思維遷移，不易想到用割補(bǔ)法證勾股定理。但是前面有了郵票問題做鋪墊，學(xué)生很自然地會聯(lián)想到用割或補(bǔ)的方法計(jì)算以斜邊為邊長的正方形的面積，從而得出了一般的直角三角形的情況，獲得了勾股定理。

如此設(shè)計(jì)，對于執(zhí)教者來講，最大的好處在于可以使學(xué)生的思維過程顯性化，有利于教師對學(xué)生進(jìn)行過程性評價(jià)，有利于及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生在思維過程中存在的細(xì)節(jié)問題，還有利于教師進(jìn)行教學(xué)過程的改進(jìn)。

（3）在做勾股定理練習(xí)時(shí)，采用開放式教學(xué)法，由學(xué)生自己出題自己解決，既鞏固新知識，又提高他們的學(xué)習(xí)興趣。但由于學(xué)生在已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊時(shí)，不知道一個(gè)數(shù)開平方這一知識，會出現(xiàn)第三邊不會算的情況。關(guān)于這點(diǎn)，我課前早有預(yù)料：如果有這種情況出現(xiàn)，就為下堂課做好鋪墊；如果沒出現(xiàn)這種情況，老師上課時(shí)也不提。

（4）在課堂小結(jié)時(shí)一改先前一貫做法，三個(gè)問題結(jié)束本節(jié)課。特別是后兩個(gè)問題，當(dāng)時(shí)學(xué)生是這么回答的：我最感興趣的地方是割補(bǔ)法證明勾股定理；畢達(dá)哥拉斯怎么會從地磚上發(fā)現(xiàn)勾股定理的，我們平時(shí)也要多觀察生活；我想知道勾股定理還有/vYXfasfKs571Lfm2DIfIQ==哪些證明方法；我想知道我的這副三角板中，如果已知一條邊，能不能求出另外兩條邊。聽課的老師們深深地被學(xué)生的這些問題感染了，情不自禁地給予了贊揚(yáng)。這樣的總結(jié)設(shè)計(jì)，把所學(xué)的知識形成了一個(gè)知識鏈，為每位學(xué)生都創(chuàng)造了獲得成功體驗(yàn)的機(jī)會，并為不同程度的學(xué)生提供了充分展示自己的機(jī)會，尊重了學(xué)生的個(gè)體差異，滿足了學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需要。特別是最后一個(gè)問題，把本課知識從課內(nèi)延伸到了課外，真正使不同的人得到了不同的發(fā)展。

（5）學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中舊問題解決，而新問題產(chǎn)生，使我真正認(rèn)識到上好勾股定理這一堂課是不容易的。課改幾年來雖然理念上有所轉(zhuǎn)變，但要真正在課堂上能運(yùn)用自如，還需要不斷實(shí)踐。

幾個(gè)問題間的過渡語言，也是不斷地修改，甚至一個(gè)問題要怎么問，問了后學(xué)生可能會出現(xiàn)哪些想法都做好了預(yù)設(shè)準(zhǔn)備，更制定了應(yīng)急方案。

四、教學(xué)理念的升華

開設(shè)一堂公開課，對我來說是提升教學(xué)水平的極好機(jī)會，也可以說是完成了一次認(rèn)識的飛躍。

1.問題情境的創(chuàng)設(shè)，是引起學(xué)生興趣的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)源于問題，源于實(shí)際問題解決的需要，學(xué)習(xí)也是如此。正如張奠宙先生所言：“沒有問題的數(shù)學(xué)教學(xué)，不會有火熱的思考。”問題是思維的起點(diǎn)，任何有效的數(shù)學(xué)教學(xué)必須以問題為起點(diǎn)，以問題為驅(qū)動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。

2.探究式學(xué)習(xí)是教學(xué)的最高境界。

傳統(tǒng)的教學(xué)方法是灌輸，是牽著學(xué)生的鼻子走。民族創(chuàng)新精神的形成，就要從青少年抓起。從這點(diǎn)上說，讓學(xué)生自己學(xué)會探究知識的方法，養(yǎng)成探究的習(xí)慣，關(guān)系重大，教育者責(zé)任重大。

3.學(xué)會鋪墊是教學(xué)藝術(shù)的精華所在。

對學(xué)生而言，學(xué)習(xí)是不斷地從已知到未知的過程。從已知到未知之間存在一個(gè)“潛在距離”，如何把握這個(gè)“潛在距離”，并且為學(xué)生走過這個(gè)距離設(shè)置合適的階梯，讓學(xué)生“跳一跳”就能摘到“果子”，這是教學(xué)藝術(shù)的精華所在。本堂課“郵票中正方形的面積的計(jì)算”這一情境設(shè)計(jì)，就是十分成功的鋪墊。

4.教學(xué)工作是一項(xiàng)創(chuàng)造性勞動(dòng)。

要讓學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，首先教師要有對教材的再創(chuàng)造意識。在第一次上課時(shí)，我雖然努力“吃透教材”“緊扣教材”，但仍然上得很別扭，很吃力。在以后的開課中，我對教材作了大膽的變革，上課一次比一次順手，效果一次比一次好。在今后教學(xué)中，我們要牢記以學(xué)生發(fā)展為本，關(guān)注學(xué)生能力的提高，在學(xué)生促進(jìn)發(fā)展的同時(shí)也實(shí)現(xiàn)教師自身的發(fā)展。