摘要：該文分析了CORDIC算法為作為硬件實現(xiàn)基本的運算的方法，實現(xiàn)了開方、正弦、余弦、乘法、除法、正切、反正切，和一些雙曲函數(shù)的實現(xiàn)。提供了一種基于流線設(shè)計的CORDIC算法的實現(xiàn)，在每層流水線上都可實現(xiàn)6種計算，共用一個加法器。減少了硬件內(nèi)部資源的使用。通過是實現(xiàn)的結(jié)果可以看到計算結(jié)果在水線級數(shù)STAGE+3 個CLK信號后實現(xiàn)了連續(xù)的實時計算結(jié)果。

關(guān)鍵詞：CORDIC；流水線設(shè)計；共用；基本運算

中圖分類號：TP301 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2013）04-0841-03

The Analysis and Implementation of CORDIC Algorithm Based on FPGA

LIU Wei-liang

（Chongqing University of Posts and Telecommunications， Chongqing 400065， China）

Abstract： This paper analyzed the CORDIC algorithm for hardware implementation of basic operation method， realized the root， sine， cosine， multiplication， division， tangent， inverse tangent， and some hyperbolic function. Provide a method based on pipeline design CORDIC algorithm， each line can be realized 6 kinds of calculation， sharing one adder. Reducing the hardware resource use. Is to achieve the results you can see through calculation results in line series STAGE+3 CLK signal after achieving a continuous real-time calculation results.

Key words： CORDIC； pipeline design； share； basic operations

1 概述

隨著現(xiàn)代數(shù)字電路中工作頻率的不斷提高，計算結(jié)果要求隨時按工作要求實時計算，然而在實際工作中軟件語言實現(xiàn)的算法實時性不高，在硬件中計算數(shù)據(jù)只有加法和位移的操作。因此一種需要資源耗費小，實時性高的算法來實現(xiàn)工作中的基本運算。該文首先分析了CORDIC算法的基本原理，然后分別研究了幾種基本運算的實現(xiàn)方法，幾種運算的共用，最后進行了仿真和實現(xiàn)結(jié)果的分析。

2 CORDIC算法原理

CORDIC[1]是基于坐標旋轉(zhuǎn)的數(shù)字計算方法，通過加法，位移和查找表的計算實現(xiàn)開方、正弦、余弦、乘法、除法、正切、反正切，和一些雙曲函數(shù)。下式用極坐標分別表示了一個直角坐標系中的一個模長為[r]，相角為[?]的向量，和此向量旋轉(zhuǎn)[ψ]角后的另一個向量。

[x0=rcos（?）y0=rsin（?）] （1）

[x1=rcos（?+ψ）y1=rsin（?+ψ）] （2）

（2）式經(jīng)過和差化積公式變換可得（3）式為

[x1=rcos（?）cos（ψ）-rsin（?）sin（ψ）y1=rsin（?）cos（ψ）+rcos（?）sin（ψ）] （3）

聯(lián)合（1）式和（3）式可知

[x1y1=cos（ψ）-sin（ψ）sin（ψ）cos（ψ）x0y0] （4）

提取公因式[cos（ψ）]后得到

[x1y1=cos（ψ）1-tan（ψ）tan（ψ）1x0y0] （5）

現(xiàn)在假定旋轉(zhuǎn)的角度[ψ]是經(jīng)過多次旋轉(zhuǎn)得到的，每次旋轉(zhuǎn)的角度為[ψi]=[snarctan（2-n）]（n= 0，1，2，……），[sn]={-1，+1}經(jīng)過這樣的假設(shè)后[tan（ψ）]變換為2-n，可見經(jīng)過這樣的變換之后乘法運算就變成為位移操作。則（5）式可以變換下式：

[x1y1=（i=0ncos（ψi）1-tan（ψi）tan（ψi）1）x0y0] （6）

上式中[ψi]和[ψ]的關(guān)系為[ψ]=[i=0nψi]。將上式分成n次迭代動作完成，則迭代的第i次為：

[xi+1yi+1=cos（ψi）1-tan（ψi）tan（ψi）1xiyi] （7）

又根據(jù)[ψi]=[snarctan（2-n）] 可得下式：[xi+1yi+1=cos（ψi）1-si（1/2）isi（1/2）i1xiyi] （8）

式（8）中cos（[ψi]）=cos（arctan（2-i））= [11+2-2i]，經(jīng)過多次累乘后得到的值收斂于一個值K，

[K=11+2-2i=0.607253] （9）

通過（6），（8），（9）可得：[x1y1=K（i=0n1-sn（2-i）sn（2-i）1）x0y0] （10）

經(jīng)過足夠多的迭代后可知原向量變?yōu)樾D(zhuǎn)后的向量假設(shè)Z為旋轉(zhuǎn)角度，則最后輸出為：

[xyz=（1/K）（xcos（ψ）-ysin（ψ））（1/K）（ycos（ψ）+xsin（ψ））0] （11）

可知當輸入x=K，y=0，z=[?]時。輸出為x=[cos（?）]，y=[sin（?）]。

可知只要選取適當?shù)姆椒梢允筞經(jīng)過迭代足夠次數(shù)后趨近到0。故選取下面的方法：

[Zi+1=Zi-Siarctan（2-i）] （12）

當[Zi]>0時，[Si]=1；[Zi]<0時，[Si]= -1。

可見此方法中旋轉(zhuǎn)的是Z角，逐漸改變x，y。另一種結(jié)構(gòu)是逐漸旋轉(zhuǎn)y。改變x，z。可得到另一組結(jié)果：

[x=Xy=Yz=0] => [x=X2+Y2y=0z=arctan（Y/X）] （13）

通過以上的分析方法可以在線性系統(tǒng)和雙曲系統(tǒng)中建立相關(guān)旋轉(zhuǎn)。通過觀察相互之間的關(guān)系可建立如下的通用方程[2]

[xi+1=xi-μδi（2-iyi）yi+1=yi+δi（2-ixi）zi+1=zi-δietai] （14）

圓系統(tǒng)：[μ]=1；[etai=arctan（2-i）]；

線性系統(tǒng)：[μ=0]；[etai=2-i]；

雙曲系統(tǒng)：[μ=-1]；[etai=atanh（2-i）]；

其中輸入輸出關(guān)系可建立表1[3]。

式子（14）表明計算中一個迭代過程只需3次加法，2次位移，和一次查找表。這樣解算在FPGA中實現(xiàn)是可行的，而且節(jié)省了乘法器的使用，在每次迭代的過程中可以共用一個加法器來實現(xiàn)6種函數(shù)的計算，減少硬件資源的的消耗。所有的迭代過程可以通過流線設(shè)計連接，可以大量節(jié)省計算的時間。單級水線結(jié)構(gòu)如下圖所示：

圖1中Fun_mode控制選擇函數(shù)系統(tǒng)為圓系統(tǒng)，線性系統(tǒng)和雙曲系統(tǒng)，Rot_vec控制選擇旋轉(zhuǎn)坐標為極坐標和直角坐標。

本設(shè)計采用alter公司FPGA芯片，使用verilog HDL語言實現(xiàn)電路描述，在Quartus ii 9.0 上編譯仿真。

[＼&Sin＼&Cos＼&[x2+y2]＼&Atan＼&Mul＼&Div＼&Sinh＼&Cosh＼&[x2-y2]＼&atanh＼&計算＼&0.7081＼&0.7081＼&587.82＼&0.54＼&250＼&0.6015＼&0.2608＼&1.0336＼&400.89＼&0.6948＼&理論＼&0.7071＼&0.7071＼&583.0952＼&0.5404＼&256＼&0.6＼&0.2582＼&1.0328＼&400＼&0.6931＼&]

仿真結(jié)果表明在誤差允許范圍內(nèi)，該方案可行。

4 結(jié)束語

此算法經(jīng)過修改后，成功應用在衛(wèi)星信號的跟蹤模塊中實現(xiàn)了信號相位的精確計算，并且該算法具有一定的通用性，在共用一個加法器的情況下，成功的設(shè)計出了上述幾種函數(shù)的計算方法，設(shè)計中采用流水線設(shè)計方法，在水線級數(shù)stage+3clk 個時鐘后可連續(xù)輸出計算結(jié)果，并且可以實現(xiàn)不同的函數(shù)。

參考文獻：

[1] 楊宏，李國輝，劉立新.基于FPGA的CORDIC算法的實現(xiàn)[J].西安郵電學院學報，2008（1）.

[2] Xiaobo Hu.Expanding the Range of Convergence of the CORDIC Algorithm[J].IEEE TRANSACTIONS ON COMPUTERS，1991，40（1）.

[3] 耿丹.CORDIC算法的研究與實現(xiàn)[J].遙測遙控，2007（S1）.

[4] 王金明.數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計與Verilog HDL[M].北京：電子工業(yè)出版社，2010.