摘 要：本文從研究正指數(shù)Sobolev空間中函數(shù)的逼近入手，用多分辨率分析構(gòu)造逼近的性能，恰當?shù)恼业搅苏笖?shù)Sobolev空間中函數(shù)的等價性的描述和模的等價形式，這一結(jié)論成為我們深入刻畫函數(shù)空間的又一有效工具。

關(guān)鍵詞：多分辨率分析 Sobolev空間 分布 模

中圖分類號：O174.4 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）02（a）-0232-02

1 引言

在我們通常所使用的函數(shù)空間中，Sobolev空間是較為經(jīng)典的一類函數(shù)空間，并且由多分辨率分析在這一空間構(gòu)造所得的相關(guān)定理和結(jié)論可以推廣到其它一些函數(shù)空間中去。鑒于此，本文作者用正交級數(shù)的分解來刻畫正指數(shù)Sobolev 空間中函數(shù)的等價形式，并有效地估計了函數(shù)的模，這一分解補充了Berstein不等式，使之更為精確地描述了Sobolev空間中函數(shù)的特征。

我們從研究正指數(shù)Sobolev空間中函數(shù)的逼近開始，先給出這個空間的定義。當時，與重合。如果，，并且它的所有的在分布意義上的導(dǎo)數(shù)也屬于，則稱。同樣也可以用<來定義，這是當，且不再是整數(shù)時的定義。

在Sobolev空間中，我們可以用多分辨率分析構(gòu)造函數(shù)的逼近的性能。設(shè)是的一個正則多分辨率分析，用表示在中的正交補，表示在上的正交投影算子，從而在上的正交投影算子不是別的，就是=-。因此等價于，進而有：

2 基本結(jié)論

利用上述分解可以對正指數(shù)的Sobolev空間進行刻畫，我們有一重要定理，結(jié)論如下：

定理2.1：設(shè)，是的一個正則多分辨率分析，0〈〈，則當且僅當，且，其中，而。此外，在中的模等價于的模與級數(shù)的模之和。

證明：充分性。若，使得，其中，則。事實上，已知包含在中，因此，只要并且，就有屬于。為討論，用表示足夠小使得成立的數(shù)，我們使用的Hilbert結(jié)構(gòu)，有：

必要性。設(shè)是一個屬于的分布，而是一個對于足夠大的滿足的試驗函數(shù)，顯然有：

設(shè)，構(gòu)造，使得，并且，最后選擇，滿足及，在此條件下有，因此

從上述定理的刻畫中，我們自然的想到，是否可以用多分辨率分析找到正指數(shù)的Sobolev空間中函數(shù)的等價性描述呢？這是個有意思的問題，答案是肯定的，主要結(jié)論如下：

定理2.2：的充分必要條件是其中，且在中的模有等價形式：

上述分解中的，和都是足夠光滑的。

由引理可知并且是次可微的，從而。根據(jù)Berstein不等式，我們有：

而由上述引理的結(jié)論及<，不難得到

因此，

接下來證明>0時，定理的充分性。由很容易看出。而當時，，從而可以得到。

下面推導(dǎo)模的等價形式。由Bessel位勢的特征及Marcinkiewicz定理易知

綜上，>0時，定理的結(jié)論得到了證明。

綜上命題得到了證明，從而找到了正指數(shù)的Sobolev空間中函數(shù)的等價性描述。這一結(jié)論進一步從理論上深化了我們對Sobolev空間的認識，并且這一刻畫方法為我們研究其它函數(shù)空間提供了有力的基礎(chǔ)，拓寬了分析空間的思路。定理作為一個新的工具以簡單的方式表達了函數(shù)和分布的性質(zhì)。

參考文獻

[1] R.K.Yong.Wavelet Theory and its Applications.Kluwer Academic Publishers，Boston，1993.

[2] Y.Meyer.Wavelets and operators. Cambridge University Press，Cambridge，1992.

[3] I.Daubechies.Ten Lectures on Wavelets，CBMS-Conference Lecture Notes，61，SIAM Philadelphia，1992.

[4] S.Mallat.Multiresolution Approximations and Wavelet Orthonormal Bases of L2（Rn）.Trans.Amer.Math.Soc.315：69-87，1989.

[5] 楊建國.小波分析及其工程應(yīng)用[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007：27-29.

[6] 關(guān)山，王龍山.小波閾值去噪技術(shù)的研究及其在信號處理中的應(yīng)用[J].計算機工程及設(shè)計，2008，29（22）：5857-5859.