一、教學(xué)思路

考慮到新的數(shù)學(xué)課程標準以及當(dāng)前復(fù)數(shù)知識學(xué)習(xí)內(nèi)容的調(diào)整，這一章節(jié)的學(xué)習(xí)目標應(yīng)該主要定位在以下兩個方面：一是讓學(xué)生體驗科學(xué)的探索和發(fā)展過程，感悟數(shù)學(xué)發(fā)展的系統(tǒng)性、完整性、相關(guān)性及和諧性，作為整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最后一個章節(jié)，它也起到了畫龍點睛的功效；二是通過數(shù)系的擴充以及它的幾何意義，讓學(xué)生品味數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，從而培育和提升他們的人文素養(yǎng)。因此，我認為這一章節(jié)的學(xué)習(xí)其人文價值大于具體的解題技巧和方法。

二、教學(xué)過程

1.溫故設(shè)疑，突破傳統(tǒng)束縛。

問題1：實數(shù)系是如何構(gòu)建并發(fā)展的？請你說說它們形成和擴充的成因。

生1：數(shù)的概念來源于生活，為了計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)（他還介紹了十進制的起因）；為了表示相反意義的兩個數(shù)，有了負數(shù)；又為了解決分配中產(chǎn)生的問題，有了分數(shù)；再為了度量的需要（如邊長為1米的正方形它的對角線的長度是多少），產(chǎn)生了無理數(shù)，這樣便有了整個的實數(shù)系。

生2：數(shù)的概念的發(fā)展一方面是生產(chǎn)生活的需要，另一方面也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，例如對以下方程的求解：

方程x+2=1在自然數(shù)N內(nèi)無解，引入了負數(shù)，其在整數(shù)集Z內(nèi)便有解；

方程2x+2=5在整數(shù)Z內(nèi)無解，引入了分數(shù)，其在有理數(shù)集Q內(nèi)便有解；

方程x2+2=5在有理數(shù)Q內(nèi)無解，引入了無理數(shù)，其在實數(shù)集R內(nèi)便有解。

由此我們可以看到數(shù)的發(fā)展的因由和過程與數(shù)學(xué)問題的研究本身息息相關(guān)。

師：非常好！從數(shù)的發(fā)展過程我們可以感悟到，數(shù)是客觀存在的，也是人類智慧的結(jié)晶，它既是發(fā)現(xiàn)的，也是發(fā)明的。在這個過程中，每當(dāng)遇到新的似乎不可逾越的問題和障礙時，人類的聰明之處就在于他們會引入新的符號，開辟新的方向，從而帶來新的突破，進入新的研究領(lǐng)域。比如當(dāng)為了表示相反意義的數(shù)時，我們引進了負號“-”；當(dāng)兩 師：很好！你的質(zhì)疑是有道理的。我們知道實數(shù)之間有運算法則，那么這些運算法則在添加了i這一新的元素之后在復(fù)數(shù)域上是否仍然有效呢？這也是我們在下一節(jié)課將重點研究的。

【評注：從以上的討論中可見學(xué)生的創(chuàng)造激情和探索能力是巨大的，他們沒有受條條框框的限制，只要給他們充足的時間和空間，多一些思維的交流和碰撞，學(xué)生就會給我們太多太多的驚喜。因此，我在課堂教學(xué)中始終有這樣的想法：做學(xué)問，要學(xué)“問”，光會學(xué)，非“學(xué)問”。并努力踐行之。】

4.余音裊繞，留有思考余地。

師：這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容及收獲，請同學(xué)們交流一下。

生5：引進了虛數(shù)單位，從而將實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)域。我在這里用集合的文恩圖形象地將它們表示了出來（上黑板板書，如圖2所示）。

師：很好！同學(xué)們一起來觀察一下，這個圖形像什么？

生6：非常像一棵大樹的年輪，歲月滄桑，不斷外延，很有詩情畫意的。

生7：通過這一課的學(xué)習(xí)我進一步了解到數(shù)學(xué)知識之間是相互聯(lián)系相互遷移相互滲透的，比如對復(fù)數(shù)問題的研究，我們要善于分類，善于化歸，善于數(shù)形結(jié)合，這些基本的數(shù)學(xué)思想方法我們要好好體會和把握，很有用也很給力。

生8：我還想知道虛數(shù)到底有什么用處？我怎么還是覺得虛數(shù)有點虛無縹緲，它的應(yīng)用廣泛嗎？

……

學(xué)生們的問題一個接一個，他們的歸納也相當(dāng)有特點。其實在一節(jié)課的最后留5分鐘讓學(xué)生自己來提煉小結(jié)，這既是一節(jié)課內(nèi)容的回顧復(fù)習(xí)，也是知識有效的濃縮和升華。5分鐘很快就過去了，學(xué)生意猶未盡，教師留有余地，整節(jié)課的教學(xué)畫龍點睛。

【評注：從人文意義上看，科學(xué)作為探索真理的過程，造就了一種人文化的品格和氣質(zhì)，一種富有責(zé)任感和事業(yè)心的人文精神——不懈地探索真理，勇于堅持真理，為真理而獻身。它包含尊重事實、實事求是的求實精神，勇于懷疑、自我否定的批判精神，勇于創(chuàng)新、超越現(xiàn)狀的創(chuàng)造精神等，所有這些如果通過教育活動內(nèi)化為學(xué)生的個性品格，成為他們今后的行為規(guī)范與價值取向的話，這才真正達到了數(shù)學(xué)教育的目的?！?/p>

三、教學(xué)思考

科學(xué)在本質(zhì)上是一種充滿人類理想和激情的、與人類自身發(fā)展息息相關(guān)的社會實踐活動，它代表了一種最根本的人文精神。從人類價值追求的目標來看，科學(xué)其實不僅僅是一種技術(shù)手段，而且是人類最高價值追求——“真、善、美”的一種載體，這也正是我們的教育一再強調(diào)的人文素養(yǎng)和價值。在數(shù)學(xué)教學(xué)中將科學(xué)與人文割裂開來顯然是短見行為，當(dāng)然也是不可行的。人文精神實質(zhì)上是對人的價值肯定，把數(shù)學(xué)作為一種文化而不僅僅是一種知識或技術(shù)來教的話，就可以真正體現(xiàn)它的整體價值，即“人力價值”與“人性價值”的統(tǒng)一。因此，在教學(xué)中就必須重視數(shù)學(xué)的整體價值，把它當(dāng)做—種獨特的精神文化來教，既傳授知識，又必須涵蓋科學(xué)方法，更要突出科學(xué)文化精神的傳播與養(yǎng)成。如果說當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)方法和解題能力的傳授還算比較充分的話，那么科學(xué)精神、科學(xué)思想和科學(xué)態(tài)度的教育就相形見絀了。因此中共中央、國務(wù)院頒發(fā)的《關(guān)于加強科學(xué)技術(shù)普及工作的若干意見》提出：“在繼續(xù)做好科學(xué)知識與運用技術(shù)普及宣傳的同時，要特別重視科學(xué)思想的教育與科學(xué)方法的傳播。”這是很有針對性的。因此我們的數(shù)學(xué)教學(xué)必須打破急功近利的應(yīng)試模式，代之以科學(xué)的人文精神。同時，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容本身也必須人文化。數(shù)學(xué)教育人文化，絕不是指數(shù)學(xué)與人文的簡單相加，其內(nèi)涵是指在新的教育思想指導(dǎo)下，促使它們相互整合，構(gòu)成一個完整的有機整體。具體說來，有兩個基本的要點：一是在價值取向上，數(shù)學(xué)教育要定向于人；二是在課程及教學(xué)上，溝通數(shù)學(xué)與人文的內(nèi)在聯(lián)系。

數(shù)學(xué)能教會我們什么？除了知識技能，更重要的是對事物本質(zhì)的洞察力和理性思考的能力，這就是數(shù)學(xué)作為文化對人的發(fā)展乃至社會文明的影響。數(shù)學(xué)追求一種嚴謹，它的發(fā)展需要一種直觀的支撐和啟發(fā)，但也不能只憑直覺，更要在講清道理上下功夫。理性精神被看成人類文明的核心所在，而數(shù)學(xué)對于人類理性精神的養(yǎng)成與發(fā)展有著特別重要的意義。著名數(shù)學(xué)家M.克萊因（Morris Kline）在《西方文化中的數(shù)學(xué)》中寫道：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神。正是這種精神激發(fā)、促進、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運用到最完善的程度?！币虼藢W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能夠培養(yǎng)我們理性地思考問題的精神。尤其是概念的引入和講解過程中，疑問、觀察、思考、歸納、猜想、證明、應(yīng)用等等，這一過程所用的數(shù)學(xué)思想方法正是科學(xué)態(tài)度和理性精神的體現(xiàn)。課堂教學(xué)是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)。教師要努力營造課堂中的文化氛圍，積極提升數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的文化品位。我們常講數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，包括四個層面，即數(shù)學(xué)意識、問題解決、邏輯推理和信息交流，其中最基本的是數(shù)學(xué)的觀念、態(tài)度和通識。強化以上共識有兩條基本途徑：（1）結(jié)合教學(xué)，向?qū)W生介紹一些數(shù)學(xué)史料，古為今用，取精用弘，從中挖掘數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，提煉數(shù)學(xué)的文化價值。（2）講解算法，更要講清算理。算法是一門工具、一種手段，而算理則是一種觀念，具有更多的人文精神。我時常在想，我們不可能奢望每一個學(xué)生都成為數(shù)學(xué)家，但可以提供一種數(shù)學(xué)文化，給他們留下更多的數(shù)學(xué)意識和素養(yǎng)，從中終身受益，這也是數(shù)學(xué)人文價值的體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)不僅僅是一門工具，也是一種文化。學(xué)習(xí)一門學(xué)科，不知道它的歷史概況，不熟悉那一門學(xué)科的前輩以及他們的功績，那是不完善的。以史為鑒，這同時也是創(chuàng)設(shè)問題情境、活躍課堂氣氛、豐富教學(xué)內(nèi)容很好的素材。本節(jié)“數(shù)系的擴充”的起始課力求展示數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程和文化背景，將科學(xué)精神與人文精神的培養(yǎng)和諧地統(tǒng)一起來。

數(shù)學(xué)文化的傳播和接受都需要一個積累沉淀的過程，不能急功近利，而要讓學(xué)生充分體驗。知識是不能現(xiàn)成地傳遞的，而要回到它的經(jīng)驗狀態(tài)，通過學(xué)生的親身體驗實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。因此，本節(jié)課的教學(xué)力求成為學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)活動，其一，通過自身活動所得到的知識與能力比起旁人硬塞給他的，理解上更透徹，掌握得更靈活，使用也更得心應(yīng)手，還可以保持較長久的記憶；其二，發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，因而通過“再創(chuàng)造”來進行學(xué)習(xí)，就更能引起學(xué)生的興趣，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)具有更大的內(nèi)驅(qū)力；其三，通過“再創(chuàng)造”方式可以進一步促進并加深人們對數(shù)學(xué)教育是一種人類文化活動的看法。學(xué)生不僅僅通過語言，而且通過完整地感知現(xiàn)實來學(xué)習(xí)，對學(xué)生來說這是一種新的活動，教一個活動的最好方法是演示，學(xué)一個活動的最好方法當(dāng)然是去做。在這整個的研究活動過程中，學(xué)生處于創(chuàng)造意識積極向上的狀態(tài)，在參與中感受到發(fā)現(xiàn)的樂趣和需要，也正如朱熹所說的，讀書無疑者，須教有疑；有疑者，卻要無疑，到這里方是長進。

（作者單位：江蘇省蘇州中學(xué)）