摘 要: 數(shù)學(xué)方法和物理有著不解之緣.用數(shù)學(xué)方法去解物理問題似乎理所當(dāng)然(因?yàn)閿?shù)學(xué)是工具),但是反過來用物理方法去解數(shù)學(xué)問題(它有時(shí)巧妙與簡潔),也許不太為人們所重視.本文談?wù)勎锢矸椒ㄔ诮鈹?shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.
關(guān)鍵詞: 物理方法 數(shù)學(xué)問題 應(yīng)用
早在兩千多年以前,古希臘學(xué)者阿基米德就曾用物體的平衡定律解一些幾何問題,數(shù)學(xué)家龐加萊也說過:物理學(xué)不僅給數(shù)學(xué)工作者一個(gè)解題的機(jī)會(huì),而且?guī)椭覀儼l(fā)現(xiàn)解題的方法,其方式有二:它引導(dǎo)我們預(yù)測解答及提示適合的論證方法.
我們首先來看物理方法在解幾何問題上的應(yīng)用.
例1:如圖,G是△ABC的重心,l是△ABC外一直線,若自A﹑B﹑C﹑G各向l作垂線,垂足分別是A′﹑B′﹑C′﹑G′,則AA′+BB′+CC′=3GG′.
這個(gè)問題直接用幾何方法可以證明,只是稍嫌麻煩(還要作輔助線),但若從力學(xué)的角度考慮,結(jié)論幾乎是顯然的.
證明:今在A﹑B﹑C各置一個(gè)單位質(zhì)點(diǎn),則整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量為3單位,且重心恰好在G.
若重力方向視為與l垂直方向,則質(zhì)點(diǎn)組{A,B,C}對l的力矩為:l·AA′+l·BB′+l·CC′,它恰好等于質(zhì)心G(質(zhì)量為3個(gè)單位)對于l的力矩,而這個(gè)力矩正好是3GG′.
例2:三個(gè)鄉(xiāng)村要聯(lián)合辦一所小學(xué),其中甲村有50名,乙村莊有學(xué)生70名,丙村有學(xué)生90名.問這所學(xué)校辦在什么地方可以使學(xué)生所走路程總和最???
這個(gè)問題從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)屬于求函數(shù)的極值問題,現(xiàn)在我們用物理的方法來解決.
解:如圖,在一塊木板上畫好三個(gè)村位置,然后在標(biāo)有三村位置的點(diǎn)處各鉆一孔,再把三條系在一起的繩子分別穿過三個(gè)孔,繩子下段各掛有重量比是5:7:9的三個(gè)重物,當(dāng)它們平衡時(shí),繩子結(jié)點(diǎn)所在位置,即為所求學(xué)校的位置.(利用位能最小原理)
最后我們來看一個(gè)求三角函數(shù)的例子.
例3:求sin18°的值.
還有許多物理方法可用來解某些數(shù)學(xué)問題,這方面的例子我們就不一一舉了,讀者若有興趣可參考.