數(shù)及其運(yùn)算是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容.在小學(xué)里同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會(huì)了自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算.本章是在小學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，借助對(duì)具有相反意義的量的討論，引入負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值等一系列概念.本章的知識(shí)和思想方法是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，為使同學(xué)們真正理解和掌握有理數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)運(yùn)算能力，增強(qiáng)數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，有必要對(duì)有理數(shù)這一章的核心概念作進(jìn)一步解讀.

一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

1.對(duì)正數(shù)和負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)

生活中經(jīng)常遇到零上與零下、向左與向右、前進(jìn)與后退、上升與下降、收入與支出等許多具有相反意義的量，為了在數(shù)學(xué)上正確表示這些相反意義的量，我們引入正數(shù)和負(fù)數(shù).

引入負(fù)數(shù)是實(shí)際的需要，也是數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)發(fā)展的需要.同學(xué)們可以從學(xué)習(xí)過(guò)程中體會(huì)根據(jù)實(shí)際和數(shù)學(xué)發(fā)展需要引入新數(shù)的好處.

用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示現(xiàn)實(shí)生活中具有相反意義的量，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)用的廣泛性，更重要的是引入負(fù)數(shù)可以使小學(xué)討論的問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，例如我們把“少5個(gè)”理解成“多-5個(gè)”，就可以將小學(xué)討論盈虧問(wèn)題時(shí)“盈盈”“盈虧”“虧虧”3種情況統(tǒng)一成一種情況.

2.對(duì)正數(shù)和負(fù)數(shù)概念的理解

正數(shù)：像+1.6、+20、+130、+80%等帶“+”號(hào)的數(shù)叫做正數(shù)，正數(shù)加上“+”號(hào)表示強(qiáng)調(diào)，也可以省略不寫(xiě).

負(fù)數(shù)：像-12、-326、-60、-0.8、-68%等帶有“-”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù).而負(fù)數(shù)的“-”號(hào)不能省略.

零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn).

對(duì)于正數(shù)與負(fù)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地理解為：帶“+”號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“-”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù).例如-a不一定是負(fù)數(shù)，因?yàn)樽帜竌代表任何一個(gè)有理數(shù).當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a是0時(shí)，-a是0；當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù).正數(shù)與負(fù)數(shù)能表示相反意義的量，習(xí)慣上把增加、盈利等規(guī)定為正，它們相反意義的量規(guī)定為負(fù)，正、負(fù)是相對(duì)而言的.

二、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)

1.對(duì)有理數(shù)概念的理解

我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式■（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù)，整數(shù)、有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都能化為分?jǐn)?shù)的形式，它們是有理數(shù).整數(shù)包括三類：正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù).分?jǐn)?shù)包括兩類：正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù).

引入負(fù)數(shù)后，數(shù)的范圍擴(kuò)大為有理數(shù)，奇數(shù)和偶數(shù)的外延也由自然數(shù)擴(kuò)大為整數(shù).整數(shù)也可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，如…-6，-4，-2，0，2，4，6…；不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)，如…-5，-3，-1，1，3，5….

有理數(shù)可以按兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類：（1）按整數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類；（2）按正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的關(guān)系分類.

2.對(duì)無(wú)理數(shù)概念的理解

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)■的形式.

（1）無(wú)理數(shù)應(yīng)滿足的條件：①是小數(shù)；②是無(wú)限小數(shù)；③是不循環(huán)小數(shù).

（2）本章無(wú)理數(shù)的表現(xiàn)類型：①π型，如0.6π、3π等；②小數(shù)型，如0.101 001 000 1…，2.383 883 888 388 88…；③描述型，如面積為2的正方形的邊長(zhǎng)a等.

3.有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的主要區(qū)別

有理數(shù)包括有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，而無(wú)理數(shù)則是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).所有的有理數(shù)都能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)），而無(wú)理數(shù)則不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式.

三、數(shù)軸

1.對(duì)數(shù)軸的認(rèn)識(shí)

數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的畫(huà)法：①畫(huà)一條水平的直線；②在直線的適當(dāng)位置選取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，并用0表示這點(diǎn)；③確定向右為正方向，用箭頭表示出來(lái)；④選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次為1，2，3，…；從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次為-1，-2，-3，….如圖1所示.

2.對(duì)數(shù)軸的理解

概念的理解：①數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無(wú)限延伸；②數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，三者缺一不可；③原點(diǎn)的位置、正方向的取向、單位長(zhǎng)度的大小都是根據(jù)實(shí)際需要而定的.

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物.用數(shù)軸上的點(diǎn)可以直觀地表示有理數(shù)，為我們理解相反數(shù)和絕對(duì)值提供了直觀工具，同時(shí)為學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算法則作了準(zhǔn)備.我們借助圖形能直觀地確認(rèn)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示，數(shù)軸上的點(diǎn)都表示一個(gè)有理數(shù)或一個(gè)無(wú)理數(shù)，從而使我們了解數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)和無(wú)理數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并為有理數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值的學(xué)習(xí)做了鋪墊.

四、絕對(duì)值和相反數(shù)

1.對(duì)絕對(duì)值的認(rèn)識(shí)和理解

絕對(duì)值的幾何定義：在數(shù)軸上，表示一個(gè)數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值，記作a.

絕對(duì)值的代數(shù)定義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.

絕對(duì)值的概念是借助距離的概念加以描述的.在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)由方向和距離（長(zhǎng)度）確定；相應(yīng)地，一個(gè)數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值確定.這里“方向”和“符號(hào)”對(duì)應(yīng)，“距離”和“絕對(duì)值”對(duì)應(yīng)，又一次體現(xiàn)了數(shù)形的結(jié)合、轉(zhuǎn)化.所以，絕對(duì)值的概念既可以促進(jìn)對(duì)數(shù)軸概念的理解，也可以進(jìn)行數(shù)的大小比較，同時(shí)也是數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ).

注意：（1）絕對(duì)值的求法：先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)定義去掉絕對(duì)值符號(hào)；（2）絕對(duì)值的非負(fù)性：無(wú)論是絕對(duì)值的幾何定義，還是絕對(duì)值的代數(shù)定義都揭示了絕對(duì)值的重要性質(zhì)——非負(fù)性.也就是說(shuō)，任何一個(gè)有理數(shù)或一個(gè)無(wú)理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即a≥0.

2.對(duì)相反數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解

相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).規(guī)定零的相反數(shù)是零.

從數(shù)軸上看，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，分別位于原點(diǎn)的兩側(cè)（零除外，零和它的相反數(shù)都在原點(diǎn)），且與原點(diǎn)的距離相等.如圖1，4與-4互為相反數(shù).

相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，如+3與-3互為相反數(shù)，說(shuō)明+3的相反數(shù)是-3，-3的相反數(shù)是+3，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說(shuō)相反數(shù)；“只有”的含義說(shuō)明像+2與-3這樣的兩個(gè)數(shù)不是互為相反數(shù).

引入相反數(shù)，一方面可以加深對(duì)相反意義的量的認(rèn)識(shí)，另一方面可以為學(xué)習(xí)絕對(duì)值和有理數(shù)的運(yùn)算做準(zhǔn)備.

五、非負(fù)數(shù)和非正數(shù)

若數(shù)a≥0，則稱a為非負(fù)數(shù).

非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：任何非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)；如果幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0.例如：若m、n滿足m-3+（n+2）2=0，則m-3=0，n+2=0，即m=3，n=

-2.

與其相對(duì)應(yīng)的還有非正數(shù)，若數(shù)a≤0，則稱a為非正數(shù).

六、倒數(shù)

乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù).

倒數(shù)的求法：求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，直接可以把這個(gè)數(shù)作為分母、作為分子，寫(xiě)成分?jǐn)?shù)；求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母顛倒即可；求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再將分子、分母顛倒；求一個(gè)小數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后再求倒數(shù).

只有零沒(méi)有倒數(shù)，其他任何數(shù)都有倒數(shù).正數(shù)的倒數(shù)為正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)為負(fù)數(shù)，求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)不改變它的符號(hào).

七、數(shù)的大小的比較

利用數(shù)軸比較大?。簲?shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，故有：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).例如：圖1中表示2的點(diǎn)在表示-3的點(diǎn)的右邊，則2>-3；也可由2是正數(shù)，-3是負(fù)數(shù)判斷出2>-3.

任意數(shù)大小的比較法則：正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.例如：比較兩個(gè)負(fù)數(shù)-3.6和-2.8的大小的步驟是：首先分別求出兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值-3.6=3.6，-2.8=2.8；再比較兩個(gè)絕對(duì)值的大小3.6>2.8；最后根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做出正確判斷：-3.6<-2.8.

以上是“有理數(shù)”這一單元中的一些重要的核心概念，它們是奠定整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ).希望同學(xué)們要認(rèn)真學(xué)習(xí)、正確理解、靈活運(yùn)用，為自己今后的發(fā)展奠定厚實(shí)的基礎(chǔ).