摘 要：教師要做有心人，精心選擇具有典型性的競(jìng)賽題，充分挖掘其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，指導(dǎo)學(xué)生探索研究，注重培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法. 教師展示給學(xué)生的解題方法要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生看得懂，學(xué)得會(huì)，用得上，讓學(xué)生不斷增加解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的成功體驗(yàn).

關(guān)鍵詞：競(jìng)賽題；教學(xué)思考

一直以來(lái)，由于各種類(lèi)型的數(shù)學(xué)競(jìng)賽大都具有較強(qiáng)的選拔功能，以及數(shù)學(xué)競(jìng)賽題往往難度較大，讓大多數(shù)學(xué)生敬而遠(yuǎn)之，聞之色變，漸漸地，數(shù)學(xué)競(jìng)賽似乎成為一小部分?jǐn)?shù)學(xué)尖子的“智力游戲”；社會(huì)上各級(jí)各類(lèi)的所謂“奧數(shù)”培訓(xùn)班，更是加深了人們對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的誤解，認(rèn)為數(shù)學(xué)競(jìng)賽題就是偏、難、怪. 上述種種現(xiàn)象，不得不引起數(shù)學(xué)教育工作者的深思：數(shù)學(xué)競(jìng)賽究竟有沒(méi)有存在的價(jià)值？競(jìng)賽數(shù)學(xué)和常規(guī)數(shù)學(xué)到底是什么關(guān)系？是相互對(duì)立還是相輔相成？一道好的競(jìng)賽題的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

筆者以為，數(shù)學(xué)競(jìng)賽題要堅(jiān)決摒棄偏、難、怪，應(yīng)源于課本又高于課本，讓大部分學(xué)生“跳一跳，夠得著”，對(duì)學(xué)生不能求全責(zé)備，搞“一刀切”，要讓學(xué)有余力的學(xué)生通過(guò)競(jìng)賽得到拓展和提高. 《新課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確指出，“數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”. 這說(shuō)明了數(shù)學(xué)競(jìng)賽是完全必要的，競(jìng)賽數(shù)學(xué)和常規(guī)數(shù)學(xué)是相輔相成的. 在日常教學(xué)工作中，教師要做有心人，精心選擇具有典型性的競(jìng)賽題，充分挖掘其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索研究，注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，從解題中感受到數(shù)學(xué)之美，品味競(jìng)賽題的魅力，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，促進(jìn)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的成功體驗(yàn)是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的最好方法，作為教師，展示給學(xué)生的解題方法要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生看得懂，學(xué)得會(huì)，用得上. 同一道題目，不同的解法產(chǎn)生的效果各不相同，下面筆者以一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題為例加以說(shuō)明.

【原題】 （2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則方程x2-2[x]-3=0 的解的個(gè)數(shù)為

（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解法一：由原方程x2-2[x]-3=0變形為[x]=■，根據(jù)x-1<[x]≤x，得x-1<■≤x. 整理，得x2-2x-3≤0，x2-2x-1>0.

解這個(gè)不等式組，得-1≤x<1-■或1+■

當(dāng)-1≤x<1-■時(shí)，[x]=-1. 代入原方程，得x2-1=0，解得x=±1（正值舍去）.

當(dāng)1+■

將[x]=2代入原方程，得x2-7=0，解得x=±■（負(fù)值舍去）；

將[x]=3代入原方程，得x2-9=0，解得x=±3（負(fù)值舍去）.

綜上所述，原方程有三個(gè)解：-1，■，3，故選C.

解法二：記{x}=x-[x]，則0≤{x}<1，且[x]=x-{x}，

代入原方程，得x2-2（x-{x}）-3=0，變形，得{x}=-■.

因?yàn)?≤{x}<1，所以0≤-■<1，

整理，得x2-2x-3≤0，x2-2x-1>0.（下同解法一）

解法三：由原方程x2-2[x]-3=0，變形為x2-3=2[x].

因?yàn)閇x]≤x，所以x2-3≤2x，

變形，得x2-3≤2x，解得-1≤x≤3，

從而[x]只可能取值-1，0，1，2，3.

當(dāng)[x]=-1時(shí)，x2=1，解得x=-1；

當(dāng)[x]=0時(shí)，x2=3，沒(méi)有符合條件的解；

當(dāng)[x]=1時(shí)，x2=5，沒(méi)有符合條件的解；

當(dāng)[x]=2時(shí)，x2=7，解得x=■；

當(dāng)[x]=3時(shí)，x2=9，解得x=3；

綜上所述， 原方程有三個(gè)解：-1，■，3，故選C.

評(píng)析：上述三種解法見(jiàn)《一道含有高斯符號(hào)[x]方程的三種解法》（文[1]），運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式（組），從而解決問(wèn)題，但從學(xué)生的角度看來(lái)，解一元二次不等式（組）是高中知識(shí)，完全忽視初中生的實(shí)際情況，超出了初中生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，不符合初中生的認(rèn)知規(guī)律，有不看對(duì)象自彈自唱之嫌. 即使從教師的角度看來(lái)，雖然理論上是可行的，但是解題技巧性太強(qiáng)，實(shí)際上也不容易想到，更不用說(shuō)舉一反三了. 筆者以為，在實(shí)際教學(xué)中，這三種解法必然讓學(xué)生感到這道題很難，難以激發(fā)大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因此均不理想，不可取.

解法四：令y1=x2-3，y2=2[x]，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y1和y2的圖象（原圖如此）. 由圖象知y1與y2共有三個(gè)交點(diǎn)，所以方程x2-2[x]-3=0共有三解.應(yīng)選C.

■

圖1

評(píng)析：此解法見(jiàn)《對(duì)一道含高斯符號(hào)方程的另類(lèi)思考》（文[2]），這來(lái)自于一名初中生的智慧，令筆者由衷贊嘆. 該解法不但運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，而且運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，把方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題. 它用的是九年級(jí)的基礎(chǔ)知識(shí)，選擇的是學(xué)習(xí)中的常用方法，利用函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，直觀簡(jiǎn)潔，易于操作，起到了“四兩撥千斤”的功效. 這不僅大多數(shù)學(xué)生看得懂，學(xué)得會(huì)，而且讓學(xué)生感受到了收獲的喜悅，更重要的是增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

筆者以為，在這名學(xué)生身上不正充分體現(xiàn)著勤于思考、敢于質(zhì)疑、勇于探索、善于反思的良好素養(yǎng)，這難道不正是數(shù)學(xué)教育所要達(dá)到的目的嗎？

令人遺憾的是，這個(gè)漂亮的解法卻遭到一位教師的全盤(pán)否定（見(jiàn)《理想不等于現(xiàn)實(shí)——〈對(duì)一道含高斯符號(hào)方程的另類(lèi)思考〉的再思考》文[3]），其理由是，不能準(zhǔn)確作圖，因此不可操作，只能從理論上來(lái)說(shuō)是可行的，如果是真正用此法來(lái)解決這道題事實(shí)上是完全行不通的. 此文的上述觀點(diǎn)，筆者完全不敢茍同. 誠(chéng)然，畫(huà)拋物線不可能十分精確，存在一定的誤差，但因此完全否定圖象法卻是走向另一個(gè)極端，筆者認(rèn)為是極其偏頗甚至是錯(cuò)誤的. 對(duì)于學(xué)習(xí)了“五點(diǎn)作圖法”畫(huà)拋物線的初中生來(lái)說(shuō)，畫(huà)二次函y1=x2-3的大致圖象又有多大困難呢？畫(huà)這種形式的函數(shù)圖象是教學(xué)目標(biāo)的基本要求，至于像（-1，-2），（3，6）這些整點(diǎn)在作出函數(shù)y2=2[x]圖象時(shí)，很容易發(fā)現(xiàn)它們也在拋物線上，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是方程x2-2[x]-3=0的解的個(gè)數(shù)，對(duì)于這道選擇題而言，圖象法是非常恰當(dāng)?shù)?，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解決問(wèn)題中的優(yōu)越性. 當(dāng)然，這種解法并非完美無(wú)缺：縱軸沒(méi)標(biāo)注符號(hào)字母y，圖象中沒(méi)有區(qū)分兩個(gè)函數(shù)，函數(shù)y2=2[x]，圖象是一組包含左端點(diǎn)不包含右端點(diǎn)、長(zhǎng)度為1且平行于x軸的平行線段，x軸上的線段缺失，x軸下方的一條線段位置錯(cuò)位. 在后文筆者將予以完善. 文[3]給出了一種自以為“既可操作又淺顯易懂而且不超范圍”的方法：

解法五：由方程x2-2[x]-3=0，得x2=2[x]+3，因?yàn)閇x]是整數(shù)，所以2[x]+3也是整數(shù)，即x2是整數(shù)，而且是非負(fù)整數(shù).所以原方程可以化為求關(guān)于x2、[x]的不定方程x2-2[x]-3=0的整數(shù)解問(wèn)題，而求不定方程的整數(shù)解通常用賦值法. （以下略）

它用了大量篇幅，依次取[x]的值為-1，0，1，2，3，4，…，再求得相應(yīng)x的值，最后根據(jù)：（1）[x]與x的符號(hào)關(guān)系：“[x]表示不大于x的最大整數(shù)，所以x與[x]的符號(hào)應(yīng)該一致（[x]為0時(shí)，x為負(fù)數(shù)），所以由[x]的符號(hào)可以確定x的符號(hào).” （2）[x]與x的大小關(guān)系：“由[x]表示不大于x的最大整數(shù)知x與[x]之間應(yīng)該滿(mǎn)足x-1<[x]≤x，”符合這兩個(gè)條件的x的值只有三個(gè)-1，■，3，而越到后面x與[x]之差越大，即遠(yuǎn)遠(yuǎn)不滿(mǎn)足-1<[x]≤x. 所以方程x2-2[x]-3=0的解只有-1，■，3，故選C.

評(píng)析：筆者認(rèn)為，這種解法同樣運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將方程的解的問(wèn)題化為求不定方程的整數(shù)解問(wèn)題，看起來(lái)似乎順理成章，實(shí)際上是不完全歸納，解題技巧性太強(qiáng)，不容易理解，不具有推廣價(jià)值，文中還存在一處錯(cuò)誤和兩處疑問(wèn)：

錯(cuò)誤：“[x]為0時(shí)，x為負(fù)數(shù)”應(yīng)改為“[x]為0時(shí)，x為負(fù)數(shù)或0”

疑問(wèn)1：為什么[x]的取值最小為-1；

疑問(wèn)2：為什么越到后面x與[x]之差越大，即遠(yuǎn)遠(yuǎn)不滿(mǎn)足x-1<[x]≤x.

筆者對(duì)問(wèn)題1的解釋?zhuān)河煞匠蘹2-2[x]-3=0變形得x2=2[x]+3，x2是非負(fù)整數(shù)，從而2[x]+3≥0，[x]≥-1.5，整數(shù)[x]的取值最小為-1；

筆者對(duì)問(wèn)題2的解釋?zhuān)褐荒芡ㄟ^(guò)觀察、猜想、不完全歸納得出結(jié)論，并沒(méi)有嚴(yán)格論證.

對(duì)于一道選擇題而言，文[1]和文[3]的解法都有小題大做之嫌，與文[1]相比，文[3]解法相對(duì)容易被學(xué)生接受，筆者對(duì)文[2]做一些補(bǔ)充說(shuō)明，圖象做一些改進(jìn)，顯得更完整更直觀，也回答了文[3]的疑問(wèn)：

解法六：當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，[x]=x，原方程x2-2[x]-3=0變形為x2-2x-3=0，解得x=-1或3，函數(shù)y1=x2-3和y2=2[x]的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)（-1，-2）、（3，6）；而函數(shù)y2=2[x]的圖象是一組包含左端點(diǎn)不包含右端點(diǎn)、長(zhǎng)度為1且平行于x軸的平行線段，左端點(diǎn)都在函數(shù)y=2x的圖象上，右端點(diǎn)都在函數(shù)y=2x-2的圖象上，兩條直線相互平行，如圖2，第三個(gè)交點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)是4，由x2-3=4，得相應(yīng)橫坐標(biāo)是■ ，原方程x2-2[x]-3=0有三個(gè)解-1，■，3，故選C.

■

圖2

在解法六中，運(yùn)用了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，展示了這道選擇題的價(jià)值，真正揭示了問(wèn)題的本質(zhì)，在解題中提升了學(xué)生的思維品質(zhì).

華羅庚先生說(shuō)得好“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”. 我們作為一線的數(shù)學(xué)老師，在解決問(wèn)題時(shí)，要充分挖掘其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，不能僅僅滿(mǎn)足于做出答案，還要不斷反思，不斷優(yōu)化解題方法，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的效果. 但愿我們通過(guò)自己的創(chuàng)造性工作，讓學(xué)生更多地品嘗到解競(jìng)賽題的樂(lè)趣，更多地關(guān)注競(jìng)賽題的簡(jiǎn)易解法，從而更好地普及競(jìng)賽知識(shí)，傳遞數(shù)學(xué)帶來(lái)的快樂(lè)和幸福！