摘 要：橢圓、雙曲線和拋物線方程一直是高考的熱點(diǎn)，本文就如何在極坐標(biāo)系中使橢圓、雙曲線、拋物線方程達(dá)到統(tǒng)一，提出自己的觀點(diǎn).

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)；橢圓；雙曲線；拋物線方程；統(tǒng)一

《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》（中等教育）2013年4期發(fā)表的郭新祝老師的論文《在極坐標(biāo)系中橢圓、雙曲線、拋物線方程的統(tǒng)一》中探究的教材（蘇教版選修4-4）中，給出的圓錐曲線極坐標(biāo)方程僅僅是極點(diǎn)建立在橢圓的左焦點(diǎn)（雙曲線的右焦點(diǎn)）情況下的方程，而對(duì)于另外三種形態(tài)，即極點(diǎn)分別建立在橢圓的右、上、下焦點(diǎn)的情況，則沒(méi)有探究，下面筆者就帶領(lǐng)大家一起去進(jìn)一步探討挖掘！

（一）如圖1，當(dāng)極點(diǎn)建立在橢圓的右焦點(diǎn)（雙曲線的左焦點(diǎn)）時(shí)，

ρ=■（Ⅱ）

當(dāng)0

當(dāng)e=1時(shí)，方程（Ⅱ）表示開(kāi)口向左的拋物線，定點(diǎn)F是該拋物線的焦點(diǎn)，定直線l是該拋物線的準(zhǔn)線；此時(shí)，ρ=■，拋物線焦點(diǎn)極坐標(biāo)為（0，0），頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，0；拋物線準(zhǔn)線方程為ρcosθ=p.

當(dāng)e>1時(shí)，方程（Ⅱ）表示雙曲線，定點(diǎn)F是該雙曲線的左焦點(diǎn)，定直線l是該雙曲線的左準(zhǔn)線. 與方程（Ⅰ）情形相同，對(duì)于雙曲線中的a，b，c結(jié)果也不變，即a=■，b=■，c=■，即雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為■，虛軸長(zhǎng)為■，焦距為■，此時(shí)，雙曲線中心極坐標(biāo)為■，0；雙曲線的左焦點(diǎn)極坐標(biāo)為（0，0），右焦點(diǎn)極坐標(biāo)為■，0；雙曲線的左頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，0，雙曲線右頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，0；雙曲線的左準(zhǔn)線方程為ρcosθ=p，右準(zhǔn)線方程為ρcosθ=■；

綜上所述，對(duì)于方程ρ=■，當(dāng)e≠1即方程不表示拋物線時(shí)，

有結(jié)論（?。゛=■，c=■，b=■；

？搖？搖？搖（ⅱ）橢圓或雙曲線的中心極坐標(biāo)為■，0；

？搖？搖？搖（ⅲ）橢圓的左（雙曲線的右）焦點(diǎn)極坐標(biāo)為■，0，橢圓的右（雙曲線的左）焦點(diǎn)極坐標(biāo)為（0，0）；

（ⅳ）橢圓的左（雙曲線的右）頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，0，橢圓的右（雙曲線的左）頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，0；

（ⅴ）橢圓的左（雙曲線的右）準(zhǔn)線方程為ρcosθ=■，橢圓的右（雙曲線的左）準(zhǔn)線方程為ρcosθ=p.

（二）如圖2，當(dāng)極點(diǎn)建立在橢圓的上焦點(diǎn)（雙曲線的下焦點(diǎn)）時(shí)，如圖3，

ρ=■（Ⅲ）

■

圖2

當(dāng)0

當(dāng)e=1時(shí)，方程（Ⅲ）表示開(kāi)口向下的拋物線，定點(diǎn)F是該拋物線的焦點(diǎn)，定直線l是該拋物線的準(zhǔn)線；此時(shí)，ρ=■，拋物線焦點(diǎn)極坐標(biāo)為（0，0），頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■；

拋物線準(zhǔn)線方程為ρsinθ=p.

當(dāng)e>1時(shí)，方程（Ⅲ）表示雙曲線，定點(diǎn)F是該雙曲線的下焦點(diǎn)，定直線l是該雙曲線的下準(zhǔn)線，此時(shí)，a=■，b=■，c=■；雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為■，虛軸長(zhǎng)為■，焦距為■；此時(shí)，雙曲線中心極坐標(biāo)為■，■；雙曲線的上焦點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■，下焦點(diǎn)極坐標(biāo)為（0，0）；雙曲線的上頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■，雙曲線下頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■；雙曲線的上準(zhǔn)線方程為ρsinθ=■，下準(zhǔn)線方程為ρsinθ=p；

綜上所述，對(duì)于方程ρ=■，當(dāng)e≠1即方程不表示拋物線時(shí)，

有結(jié)論（?。゛=■，c=■，b=■；

？搖？搖？搖（ⅱ）橢圓或雙曲線的中心極坐標(biāo)為■，■；

（ⅲ）橢圓的上（雙曲線的下）焦點(diǎn)極坐標(biāo)為（0，0），橢圓的下（雙曲線的上）焦點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■；

（ⅳ）橢圓的上（雙曲線的下）頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■，橢圓的下（雙曲線的上）頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■；

（ⅴ）橢圓的上（雙曲線的下）準(zhǔn)線方程為ρsinθ=p，橢圓的下（雙曲線的上）準(zhǔn)線方程為ρsinθ=■.

（三）如圖3，當(dāng)極點(diǎn)建立在橢圓的下焦點(diǎn)（雙曲線的上焦點(diǎn)）時(shí)，？搖

ρ=■（Ⅳ）

當(dāng)0

當(dāng)e=1時(shí)，方程（Ⅳ）表示開(kāi)口向上的拋物線，定點(diǎn)F是該拋物線的焦點(diǎn)，定直線l是該拋物線的準(zhǔn)線；此時(shí)，ρ=■；

拋物線焦點(diǎn)極坐標(biāo)為（0，0），頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■；拋物線準(zhǔn)線方程為ρsinθ=-p.

當(dāng)e>1時(shí)，方程（Ⅳ）表示雙曲線，定點(diǎn)F是該雙曲線的上焦點(diǎn)，定直線l是該雙曲線的上準(zhǔn)線. 此時(shí)，a=■，b=■，c=■，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為■，虛軸長(zhǎng)為■，焦距為■，此時(shí)，雙曲線中心極坐標(biāo)為■，■或■，■，雙曲線的上焦點(diǎn)極坐標(biāo)為（0，0），下焦點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■或■，■，雙曲線的上頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■，雙曲線下頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■或■，■；雙曲線的上準(zhǔn)線方程為ρsinθ=-p，下準(zhǔn)線方程為ρsinθ=■；

綜上所述，對(duì)于方程ρ=■，當(dāng)e≠1即方程不表示拋物線時(shí)，

有結(jié)論（?。゛=■，c=■，b=■；

（ⅱ）橢圓或雙曲線的中心極坐標(biāo)為■，■；

（ⅲ）橢圓的上（雙曲線的下）焦點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■，橢圓的下（雙曲線的上）焦點(diǎn)極坐標(biāo)為（0，0）；

（ⅳ）橢圓的上（雙曲線的下）頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■，橢圓的下（雙曲線的上）頂點(diǎn)極坐標(biāo)為■，■；

（ⅴ）橢圓的上（雙曲線的下）準(zhǔn)線方程為ρsinθ=■，橢圓的下（雙曲線的上）準(zhǔn)線方程為ρsinθ=-p.