摘 要：本文從一個(gè)普通的數(shù)學(xué)教材習(xí)題出發(fā)，嘗試從不同角度探究拓展，通過動(dòng)手操作、觀察思考、猜想推理、探求證明習(xí)題解答，發(fā)掘教材的深層價(jià)值，從而優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究精神.

關(guān)鍵詞：探究；拓展；思維

題目：（高中數(shù)學(xué)蘇教版必修二第63頁(yè)19題，探究·拓展）用硬紙剪一個(gè)三邊均不等的銳角三角形AOB，然后以AB邊上的高OO′為折痕，折得兩個(gè)直角三角形，使之直立于桌面上（如圖1），那么∠AO′B就是∠AOB在桌面上的射影. 轉(zhuǎn)動(dòng)其中一個(gè)直角三角形，觀察∠AOB與∠AO′B的大小關(guān)系，是否存在某個(gè)位置，使∠AOB=∠AO′B？

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圖1

《課本一道操作題的探索》《一道課本習(xí)題引起的思考》兩文作者通過對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)其中一個(gè)直角三角形的變化過程進(jìn)行分析和理性思考，借助函數(shù)的連續(xù)性，得出問題結(jié)論. 其中《課本一道操作題的探索》還利用三面角公式研究并證明了三個(gè)結(jié)論. （1）一定存在某個(gè)位置， 使∠AOB=∠AO′B（∠AOB=∠AO′B=α，α∈0，■）；（2）當(dāng)0<∠AO′B<α?xí)r，∠AO′B<∠AOB；（3）當(dāng)∠AO′B>α?xí)r， ∠AO′B>∠AOB. 《也談教材“那道”操作題》的作者從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，借助余弦定理，利用分析法證明了《課本一道操作題的探索》的三個(gè)結(jié)論，減小了運(yùn)算量. 總的說來，這三種方法都有利于優(yōu)化學(xué)生思維的發(fā)展，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力和理性思維能力.

但筆者經(jīng)過進(jìn)一步思考，發(fā)現(xiàn)本題還可以加以拓展，從如下幾個(gè)不同角度進(jìn)行分析探究.

■探究一 讓點(diǎn)A，B“飛”

轉(zhuǎn)換視角，將△OO′B繞OO′旋轉(zhuǎn)，則∠AO′B∈（0，π）. 點(diǎn)A，B分別在射線OA0，OB0上運(yùn)動(dòng)（如圖2），若A，B同時(shí)趨向于點(diǎn)O′，則∠AOB→0；若A→+∞，B→O或A→O，B→+∞，則∠AOB→■，因此∠AOB∈0，■.

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圖2

（1）若∠AO′B∈■，π，則∠AO′B>∠AOB；（2）若∠AO′B∈0，■并固定某一位置，由于∠AOB在0，■內(nèi)任意變化時(shí)其射影角始終是∠AO′B，則在調(diào)整點(diǎn)A，B位置（對(duì)應(yīng)題目條件轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)直角三角形）的變化過程中∠AO′B>∠AOB，∠AO′B=∠AOB，∠AO′B<∠AOB三種情況均可能出現(xiàn).

■探究二 將∠AO′B，∠AOB“分”

（1）條件加強(qiáng)，當(dāng)0<∠O′AB≤■且0<∠O′BA≤■，即保證在平面AO′B內(nèi)過點(diǎn)O′作O′D⊥AB，所作垂足D一定落在線段AB上（如圖3）時(shí)，則在Rt△AO′D和Rt△AOD中，sin∠AO′D=■，sin∠AOD=■. 而在Rt△AO′O中，AO′sin∠AOD，所以∠AO′D>∠AOD，同理∠BO′D>∠BOD，兩式相加得∠AO′B>∠AOB.

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圖3

（2）如圖4，若所作垂足D落在AB的延長(zhǎng)線上，這正是題目條件“在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中”的一個(gè)情形，而此時(shí)則需要兩式相減，因此分割法就顯得捉襟見肘，需另辟蹊徑.

■探究三 使空間圖形平面“化”

如圖5，將△AOB沿邊AB折轉(zhuǎn)到平面AO′B中成為∠ACB，則問題就轉(zhuǎn)化為在平面中比較∠ACB與∠AO′B的大小.

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圖5

（1）由探究二（1）可知，當(dāng)0<∠O′AB≤■且0<∠O′BA≤■時(shí)，∠AO′B>∠ACB；

（2）考慮∠O′AB，∠O′BA中有一個(gè)為鈍角的情況，不妨假設(shè)∠O′BA>■. 作O′D⊥AB延長(zhǎng)線于D，連接CD，則CD⊥AB，又CD>O′D，所以C在線段DO′延長(zhǎng)線上. 作△ABO′的外接圓，交DO′延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（如圖6），由米勒問題（數(shù)學(xué)中的一個(gè)經(jīng)典問題）可知，當(dāng)C點(diǎn)在O′，E之間時(shí)，∠ACB>∠AO′B，當(dāng)C點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，∠ACB=∠AO′B，當(dāng)C點(diǎn)在DE延長(zhǎng)線時(shí)，∠ACB<∠AO′B.

■探究四 用代數(shù)對(duì)幾何進(jìn)行“量”

令O′B=a，O′A=b（b≠a），AB=c，O′O=h，則由余弦定理得

cos∠AO′B=■，cos∠AOB=■，

作差可得

cos∠AOB-cos∠AO′B=■.

由于ab-■■<0，因此

（1）當(dāng)a2+b2-c2≤0，即∠AO′B為直角或鈍角時(shí)，有cos∠AOB-cos∠AO′B>0，所以∠AOB<∠AO′B；

（2）當(dāng)a2+b2-c2>0，即∠AO′B為銳角時(shí)，cos∠AOB-cos∠AO′B的符號(hào)無(wú)法確定，因此∠AOB，∠AO′B大小不定. 選取不同的a，b，c，h值，可使其符號(hào)為正、零、負(fù).

進(jìn)一步探究

（1）本問題條件中加銳角三角形主要還是為了敘述方便，若是直角三角形或者鈍角三角形，只要以斜邊或最長(zhǎng)邊上的高為折痕，問題就可轉(zhuǎn)化為上述情況分析，其他情形在本問題情境下無(wú)研究意義.

（2）本問題條件中加三邊均不等屬條件強(qiáng)化，其實(shí)只需兩邊不等，即旋轉(zhuǎn)后形成的兩個(gè)小直角三角形的斜邊不等. 例如當(dāng)△AOB是等腰三角形（底邊為AB）時(shí)，不存在某個(gè)位置使∠AOB=∠AO′B，但換個(gè)位置，以腰上的高為轉(zhuǎn)軸，問題就可轉(zhuǎn)化為上述情況. 用兩張圖簡(jiǎn)述之，本文不再贅述.

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數(shù)學(xué)的海洋總是蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，同時(shí)也隱藏著無(wú)限的簡(jiǎn)潔美、奇異美. 從普通的數(shù)學(xué)教材習(xí)題出發(fā)，嘗試從不同角度探究課本習(xí)題，不僅能夠發(fā)掘教材的深層價(jià)值，更重要的是優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，通過動(dòng)手操作、觀察思考、猜想推理、探求證明，不斷培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究精神，以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的頑強(qiáng)毅力提升解決問題的能力.