摘 要：本文通過探求競賽試題和高考試題中的題設和結論得出：當有心圓錐曲線的兩個半徑垂直時，半徑平方的倒數(shù)之和或差為定值的命題，并對有心曲線方程的二次項系數(shù)進行分類討論，并對每種類型所用的結論進行簡單的分析.

關鍵詞：圓錐曲線；半徑；垂直；定值

在高中數(shù)學競賽和高考中，圓錐曲線的半徑理論是一個?？嫉闹匾獌?nèi)容.下面是兩道考試題：

試題1 （2009年全國聯(lián)賽一試）橢圓■+■=1（a>b>0）上任意兩點P，Q，若使得OP⊥OQ（O為坐標原點），則乘積OP·OQ的最小值為_______.

試題2 （2012年高考真題上海理科考題第3小題）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2-y2=1. 設橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值.

解以上兩題的關鍵均是探求半徑的平方的倒數(shù)和為常數(shù)這一特性. 本文對此性質作進一步探討，得到如下定理.

定理 設線段OP1、OP2分別是圓錐曲線C1：mx2+ny2=1和C2：px2+qy2=1的半徑，O是圓錐曲線的中心，P1∈C1，P2∈C2，記OP1=r1，OP2=r2，且OP1⊥OP2.

（?。┤鬾+p=m+q>0，則■+■為定值，且定值為n+p；

（ⅱ）若n-p=m-q，則■-■為定值，且定值為n-p.

證明：因為OP1⊥OP2，所以可設∠xOP1=θ，∠xOP2=θ+■，由題意得P1（r1cosθ，r1sinθ），P2（-r2sinθ，r2cosθ）. 將點P1代入橢圓方程得

m（r1cosθ）2+n（r1sinθ）2=1，得

■=mcos2θ+nsin2θ.？搖（1）

同理，將點P2代入橢圓方程得

■=psin2θ+qcos2θ.？搖（2）

（?。┊攏+p=m+q>0時，由（1）+（2）得■+■=（n+p）sin2θ+（m+q）cos2θ=n+p為定值；（ⅱ）當n-p=m-q時，由（1）-（2）得■-■=n-p為定值. 定理證畢.

因為，我們在實際做題目時遇到的圓錐曲線都是具體到圓、橢圓、雙曲線、或橢圓與雙曲線組合的情形，如試題1和試題2，所以為了能夠更好的應用本定理快速有效的解題，下面我們將對滿足定理條件的圓錐曲線的二次項系數(shù)進行分類討論，并畫出此時滿足定理條件所對應的圖形，使定理使用起來更為直觀便捷.

下面對滿足定理條件的圓錐曲線的二次項系數(shù)進行分類討論.

（一）當正數(shù)m，n，p，q滿足m=n，p=q時，曲線C1和C2表示圓：

（1）當m=p時，兩圓退化為一個圓，如圖1；（2）當m≠p時，曲線C1和C2表示兩不同的同心圓，如圖2. 此時定理的結論是顯然成立的.

（二）當正數(shù)m，n，p，q滿足m≠n且p≠q時，曲線C1和C2表示橢圓，

（1）當m=p且n=q時，如圖3和圖4所示，兩橢圓退化為一個橢圓，可以考慮用定理（?。┲械慕Y論來解決問題. 例如圖3的情形符合本文開頭的試題1中的條件，所以可以使用本定理得到■+■=n+p，從而可知r1·r2≥■. 因為n=■，p=■，所以試題1的答案為■.

（2）當m≠p，n≠q，且兩橢圓的焦點在同一坐標軸上時，如圖5至圖6，可以考慮用定理（?。┲械慕Y論來解決問題.

當兩橢圓的焦點不在同一坐標軸上時，如圖7所示，可以考慮用定理（ⅱ）中的結論來解決問題.

（三）當mn<0且pq<0時，兩曲線C1和C2表示雙曲線.

（1）在雙曲線C1和C2中，當m=p且n=q時，兩雙曲線退化為一條雙曲線，為了滿足OP1⊥OP2，需實軸長小于虛軸長，如圖8和圖9所示. 此時，可以考慮用定理（?。┲械慕Y論來解決問題.

■

（2）當m，p同號，m≠p和n≠q至少有一個成立，兩雙曲線的焦點在同一坐標軸上時，如圖10和圖11所示，為滿足OP1⊥OP2，需arctan■+arctan■>■，可以考慮用定理（?。┲械慕Y論來解決問題.

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當m，p異號時，兩雙曲線的焦點不在同一坐標軸上，為圖12的情況，可以考慮用定理（ⅱ）中的結論來解決問題.

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？搖（四）當正數(shù)m、n滿足m≠n且pq<0時，曲線C1表示橢圓，C2表示雙曲線.

？搖（1）當m，n>0，m≠n，pq<0，且兩曲線的焦點不在同一坐標軸上時，如圖13至圖14所示. 在此情況下，橢圓的短軸長小于雙曲線的實軸長，可以考慮用定理（ⅰ）中的結論來解決問題. 如文章開頭的試題2是圖14的情況，可以利用定理（?。┲械慕Y論和三角形的面積相等的知識進行求解.

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（2）當m，n>0，m≠n，pq<0，且兩曲線的焦點在同一坐標軸上時，如圖15至圖16所示，可以考慮用定理（ⅱ）中的結論來解決問題.

■

綜上，在解決有心圓錐曲線中的半徑的垂直問題時，如果合理地利用上述定理，取出已知條件中蘊藏的特點，只要合理的設出半徑與曲線交點的坐標，就可以從很大程度上簡化解題過程和步驟.