摘 要：在數(shù)學(xué)公式的教學(xué)中關(guān)注和講究“慢”教學(xué)，是針對(duì)當(dāng)下數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀的一種理性反思，也是教育本質(zhì)回歸的追求；“慢”不是目的，不是“快”的簡(jiǎn)單反義詞，更不是低效率磨洋工的代名詞，它強(qiáng)調(diào)的是對(duì)公式生成過程的態(tài)度、崇尚回顧舊知的追求、有效優(yōu)質(zhì)的教學(xué)和多元智能的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)公式；理性反思；生成；數(shù)學(xué)對(duì)象

數(shù)學(xué)公式反映的是數(shù)學(xué)對(duì)象屬性間的關(guān)系，公式中的字母是數(shù)學(xué)對(duì)象高度概括的具體表征. 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解程度決定了其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的達(dá)成度.在當(dāng)下“高速度”、“快節(jié)奏”的現(xiàn)代生活中，教育作為現(xiàn)代生活的一部分，為了進(jìn)度，為了高考，教師盲目追求高速度、快節(jié)奏的現(xiàn)象比比皆是. 一些教師在數(shù)學(xué)公式的教學(xué)中，直拋公式，大量訓(xùn)練，不注重公式的推導(dǎo)或推導(dǎo)不到位，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)公式的理解處于“饑餓”、“吃?shī)A生飯”的狀態(tài)，更別提靈活的應(yīng)用.很多學(xué)生感嘆數(shù)學(xué)課上“聽起來頭頭是道，做起來莫名其妙”.

面對(duì)高速度，快節(jié)奏帶來的問題，人們提出“慢”生活. 在數(shù)學(xué)公式的教學(xué)中關(guān)注和講究“慢”教學(xué)，是針對(duì)當(dāng)下數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀的一種理性反思，也是教育本質(zhì)回歸的追求；“慢”不是目的，不是“快”的簡(jiǎn)單反義詞，更不是低效率磨洋工的代名詞，它強(qiáng)調(diào)的是對(duì)公式生成過程的態(tài)度、崇尚回顧舊知的追求、有效優(yōu)質(zhì)的教學(xué)和多元智能的發(fā)展.

本文就結(jié)合“點(diǎn)到直線距離公式”教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剶?shù)學(xué)公式教學(xué)在“慢”中關(guān)注公式的發(fā)生、發(fā)展；在“慢”中強(qiáng)化知識(shí)的應(yīng)用；在“慢”中發(fā)展學(xué)生的多元智能.

已知點(diǎn)P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0，證點(diǎn)P到直線l的距離d=■.

？搖？搖

■“慢”中蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)方法，提高計(jì)算能力

分析：過點(diǎn)P作l1⊥l，垂足為Q，則|PQ|就是點(diǎn)P到直線l的距離，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解. 依題意l1：Bx-Ay-Bx0+Ay0=0.

Q（x，y）滿足：Ax+By+C=0，Bx-Ay-Bx0+Ay0=0 ？圯Q■，■.

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得：

PQ2=■-x0■+■-y0■

=■■+■■

=■+■=■，

所以d=PQ=■.

數(shù)學(xué)知識(shí)的解讀需要一個(gè)“慢”過程. 這種“慢”推導(dǎo)的優(yōu)點(diǎn)在于證明思路簡(jiǎn)單，想法貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，容易被學(xué)生理解和接受；但這對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求頗高，特別是字母運(yùn)算，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說是困難的. 學(xué)生在處理過程中所品嘗到的“挫敗感”，使學(xué)生感受到加強(qiáng)計(jì)算能力的重要性，提高計(jì)算能力的必要性. 同時(shí)讓他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得到一次很好的鍛煉.

■“慢”中展示學(xué)生風(fēng)采，培養(yǎng)思維能力

分析：點(diǎn)P到直線l上任意一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)P到直線l的距離.根據(jù)我們學(xué)過的知識(shí)，還有沒其他的方法來證明點(diǎn)到直線距離公式呢？

以下是學(xué)生給出的證明.

法1：過點(diǎn)P作PQ⊥l，垂足為Q，過P點(diǎn)分別作x軸、y軸的平行線，交直線l于點(diǎn)S（x1，y0），R（x0，y2），則由Ax1+By0+C=0，Ax0+By2+C=0 得x1=■，y2=■.

PS=x0-x1=■，PR=y0-y2=■，

RS=■=■Ax0+By0+C，

d=PQ=■=■.

法2：對(duì)（一）中的l1和l，換個(gè)角度思考，重新構(gòu)造方程. Q（x，y）滿足：

Ax+By+C=0，Bx-Ay-Bx0+Ay0=0 ？圯A（x-x0）+B（y-y0）=？搖-Ax0-By0-C？搖……①B（x-x0）–A（y-y0）=0？搖……②.

由①2+②2得：（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]=（Ax0+By0+C）2，

即：d=PQ=■=■.

法3：l上任一點(diǎn)Q（x，y），則PQ2=（x-x0）2+（y-y0）2=（x-x0）2+-■-y0■=■x2-■x+x■+y■+■

利用二次函數(shù)的最值公式得：

PQ■■=■=■=■，

即：d=PQmin=■=■.

法1學(xué)生通過預(yù)習(xí)和分析借助幾何直觀，減少了計(jì)算量，使學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”思維得到發(fā)展. 法2通過拼湊，體現(xiàn)“設(shè)而不求”的思維過程，達(dá)到證明的目的. 法3就是通過一般的二次函數(shù)最值問題，使學(xué)生對(duì)二次函數(shù)有了更深的理解和應(yīng)用上的深度認(rèn)識(shí). 在做的過程中學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)思維的神往；結(jié)束后，學(xué)生感嘆“數(shù)學(xué)真神！”

數(shù)學(xué)問題的解決過程是一個(gè)“慢”過程. 教學(xué)中要確立學(xué)生的主體地位，就必須讓學(xué)生參與解決問題的過程來，教師要舍得花時(shí)間“慢”下來，使學(xué)生充分展示自己的才華，張揚(yáng)自己的個(gè)性，發(fā)展自己的思維，享受思維帶給她們的樂趣和成就感.

■“慢”中體驗(yàn)數(shù)學(xué)情感，強(qiáng)化探究能力

分析：平面解析幾何要注重點(diǎn)線在坐標(biāo)內(nèi)的位置關(guān)系，結(jié)合我們前面學(xué)習(xí)的傾斜角和斜率，不妨想一想，畫一畫，說一說，寫一寫.

想一想：點(diǎn)到直線的距離，就是點(diǎn)到直線的垂線段長(zhǎng)，這里有垂直；通過P點(diǎn)作x軸、y軸的垂線與直線l相交，這里有直角三角形……

畫一畫：

說一說：在△PRQ中，PR長(zhǎng)可求，角α與直線的傾斜角θ相等或互補(bǔ)，PQ=PRcosα.

寫一寫：Rx0，■，PR=■；

θ>90°時(shí)，α=π-θ（如圖2）；θ<90°時(shí)，α=θ（如圖3）.

兩種情況均有tan2α=tan2θ=■，cosα=■=■，PQ=PRcosα=■·■=■；得證.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感養(yǎng)成是一個(gè)“慢”過程.通過操作、探究，學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)解決問題的方法. 學(xué)生在成功與失敗、正確與錯(cuò)誤的矛盾沖突中不斷的深入，積極地探究；思維的碰撞激起強(qiáng)大的個(gè)體創(chuàng)造力. 讓學(xué)生在“慢”操作中享受愉悅、積極的情感體驗(yàn)，最終在理解公式的同時(shí)飽嘗成就感和幸福感.

■“慢”中拓展數(shù)學(xué)視野，鍛煉創(chuàng)新能力

分析：在《必修5》“基本不等式”中我們對(duì)柯西不等式進(jìn)行了補(bǔ)充和拓展，“柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）>=（ac+bd）2，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號(hào)成立”，柯西不等式對(duì)這個(gè)公式的證明有沒有什么借鑒價(jià)值呢？

由PQ2=（x-x0）2+（？搖y-y0）2，Ax+By+C=0來構(gòu)造柯西不等式：

（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]≥[A（x-x0）+B（y-y0）]2=（Ax0+By0+C）2？搖

所以■≥■，

當(dāng)且僅當(dāng)A（y-y0）=B（x-x0）時(shí)取等號(hào)，即最小值就是d=■. 數(shù)學(xué)感知發(fā)現(xiàn)的過程是一個(gè)“慢”過程. 應(yīng)用不同的知識(shí)解決問題，所表現(xiàn)出來的機(jī)智和靈活性是大不同的，這就要求我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注重分析，要弄清知識(shí)的來龍去脈，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，“慢”工出細(xì)活，以此來提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，鍛煉自己的創(chuàng)新能力. 在享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所帶來的樂趣同時(shí)，拓寬思路，讓自己更喜歡數(shù)學(xué)，更會(huì)學(xué)數(shù)學(xué).

■“慢”中感受數(shù)學(xué)魅力，升華應(yīng)用能力

分析：在《必修4》的學(xué)習(xí)中，我們分析了第二章向量“空間”均為三角函數(shù)問題的第一章和第三章；我們知道向量作為工具，在高中的數(shù)學(xué)推理論證中的作用舉足重輕. 向量作為工具對(duì)于點(diǎn)到直線距離公式的證明也不例外，把向量的學(xué)習(xí)放在解析幾何之前，就為證明鋪好路. 如何用向量來證明點(diǎn)到直線距離公式呢？

取直線l：Ax+By+C=0的方向向量v=（B，-A），直線上任意一點(diǎn)T（x，y），直線l的法向量為γ=（A，B），向量■=（x-x■，y-y■）在γ上的投影為■·■.

■·■=■=■=■，d=■·■？搖=■.

數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)是一個(gè)“慢”過程. 在“慢”中讓學(xué)生感受如何將已學(xué)知識(shí)與新知識(shí)聯(lián)系，如何讓舊知識(shí)服務(wù)新知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將已有知識(shí)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力. 教師要?jiǎng)?chuàng)造條件，讓學(xué)生積極參與到分析的過程中來，在探索、發(fā)現(xiàn)中，體驗(yàn)成功的樂趣，感受數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的美好感情.

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要的是一個(gè)自己分析，或在他人正向引導(dǎo)下的分析、探究、理解和反思的“慢”過程. 不應(yīng)當(dāng)是被動(dòng)的，“趕”著吸收書本的現(xiàn)成結(jié)論，而需要的是一個(gè)親自參與的充滿豐富思維活動(dòng)的分析、實(shí)踐、創(chuàng)新的過程. 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)決不能只關(guān)心結(jié)果，死記硬背定理、法則、公式，而忽視其發(fā)生、發(fā)展、形成的過程. 數(shù)學(xué)公式教學(xué)“慢”下來，符合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，符合數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律的形成，符合生態(tài)教學(xué)的精神.