摘 要：本文以一次摸底考試為契機(jī)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合中出現(xiàn)的問題，以此為依托，對教學(xué)方法以及教學(xué)內(nèi)容展開了探討，希望以此來提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

關(guān)鍵詞：考試；高中數(shù)學(xué)；排列組合

■引言

排列組合作為代數(shù)課中一個分支內(nèi)容，與其他教學(xué)模塊有著十分緊密的聯(lián)系，然而對于高中學(xué)生來說這卻一直是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，教師也普遍反映在教學(xué)排列組合的時候很難用簡潔明了的語言把要點(diǎn)闡釋清楚，因此學(xué)生在考試的時候往往會失分很多. 學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時遇到的學(xué)習(xí)障礙不僅在這一模塊失分，還會嚴(yán)重影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. 因此教師必須對學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合時遇到的各種問題加以整理，并針對性提出解決策略，幫助學(xué)生克服這一學(xué)習(xí)難點(diǎn).

■契機(jī)

筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)調(diào)研組為了解學(xué)生對排列組合的學(xué)習(xí)掌握情況進(jìn)行了一次摸底考試，此次考試的內(nèi)容包含了高中階段排列組合的所有知識點(diǎn)和題型，尤其是將各班數(shù)學(xué)教師整理出來的錯誤率較高的題目類型包含在內(nèi). 為了節(jié)省學(xué)生們的時間，此次摸底考試，學(xué)校力求以最少的題目囊括最多的題型和知識點(diǎn). 由于此次摸底考試主要考查學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合中遇到的思維性問題或知識性問題，故考試題型全部設(shè)定為應(yīng)用題，要求學(xué)生把解題過程都明確寫明.

經(jīng)過任課教師和調(diào)研組教師再三商討，最終此次摸底考試共設(shè)置9個題目. 題目的背景和學(xué)生們?nèi)粘Ｉ疃季o密關(guān)聯(lián)，例如獻(xiàn)血問題、排隊(duì)問題、分書問題等等. 這幾個題目盡可能多包含了排列組合中知識點(diǎn)，例如對于特殊元素和位置的排列問題、元素相鄰（或不相鄰）問題、某些元素固定排列問題、正難則反問題等等. 對這次摸底考試答題結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，我們看到了學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時出現(xiàn)的一些集中性問題.

■問題

對學(xué)生答題結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)以后我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生產(chǎn)生錯誤的地方相對集中.

例如：“班上某小組共有5位男生和3位女生，現(xiàn)在要求對他們進(jìn)行排序，要求男生A不能站在隊(duì)首，男生B不能站在隊(duì)尾，請問一共有多少種方法.” 此次摸底考試中該題的正確率只有39.9%. 這題的答題結(jié)果能清楚反映出學(xué)生對排列組合中關(guān)于特殊元素和特殊位置的這一類型的問題掌握力度還不夠.

在深入對學(xué)生錯誤進(jìn)行分析以后，我們發(fā)現(xiàn)，做錯該題的原因有多種.

1. 這其中有一部分學(xué)生是因?yàn)闆]有正確理解題目的意思，所以在解題的時候根本無法下手，答題區(qū)域沒有涂涂改改，甚至一片空白，沒有任何解題頭緒. 這反映出學(xué)生們的數(shù)學(xué)閱讀理解能力較差，缺乏信心，不敢作答.

2. 有38%的學(xué)生沒有答對是因?yàn)闆]有正確的列式. 這其中一部分學(xué)生是因?yàn)檫^于粗心，沒有認(rèn)真仔細(xì)讀題就將數(shù)學(xué)公式帶入計(jì)算；除了粗心以外絕大部分學(xué)生是對這一類特殊元素和特殊位置的題目缺乏正確的解題思路. 有的學(xué)生簡單地認(rèn)為A同學(xué)不站在隊(duì)首共有7種情況，B同學(xué)不站在隊(duì)尾也有7種情況，除去A、B兩位同學(xué)以后，只要將剩下6位同學(xué)進(jìn)行排列組合看看共有多少種排列方法即可. 這樣做的學(xué)生不在少數(shù)，原因是他們僅僅考慮了一種A不在隊(duì)首的站法，而事實(shí)上，A同學(xué)不站在隊(duì)首必須分為在隊(duì)尾和不在隊(duì)尾兩種情況，如果A同學(xué)站在隊(duì)尾，那么B同學(xué)就可以有7種站法；如果A同學(xué)沒有站在隊(duì)尾，那么B同學(xué)就有6種站法. 這兩種情況的計(jì)算結(jié)果是不一樣的，絕大多數(shù)的學(xué)生都沒有考慮到這一特殊情況，說明對特殊元素和特殊位置題目掌握還不夠好.

3. 從一部分學(xué)生的答題結(jié)果來看，他們有基本的解題思路也考慮到了應(yīng)該將A同學(xué)的情況進(jìn)行分類，但是卻在分類的時候陷入了混亂. 有的學(xué)生不知道應(yīng)該按照什么標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行分類. 有的學(xué)生在分類的時候出現(xiàn)了遺漏和重復(fù)的現(xiàn)象，例如某位學(xué)生把該事件分為三類：分別是①B站在隊(duì)首，A站在隊(duì)尾；②B站在隊(duì)首，A在中間；③B站在中間，A站在隊(duì)尾. 這樣的分類方法得出來結(jié)果必然是不完整的，他沒有考慮當(dāng)B站在中間的時候A既可以站在隊(duì)尾，也可以站在中間的情況. 這一錯誤原因反映出來學(xué)生們在考慮這一類型題目的時候還不夠全面細(xì)致.

除了上述這一小題存在問題以外，類似的問題還存在于“將9本書平均分成3組”這樣的平均分配問題；“將6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目進(jìn)行排列，要求任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰”這樣的元素不相鄰問題；“8本中文書和2本英語書任選5本，要求至少有一本英語書”這樣的“至少”或“至多”的排列組合問題.從此次摸底考試的結(jié)果分析中，我們可以總結(jié)出學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時遇到的問題.

首先是對題目概念理解存在障礙，很多學(xué)生還不能明確區(qū)分排列和組合以及分配這三個完全不同的概念. 在實(shí)際做題的時候有的學(xué)生往往把要求排列的問題當(dāng)做是組合問題去解決，把組合問題當(dāng)做是分配問題去解決.

其次是有的學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀理解上存在障礙. 由于高中排列組合問題與生活都有一定的關(guān)系，學(xué)習(xí)排列組合實(shí)際上就是讓學(xué)生們運(yùn)用所學(xué)知識去解決實(shí)際問題. 因此，在排列組合中往往會遇到很多問題情境，有的學(xué)生對這些問題情境如果較為陌生，就會產(chǎn)生數(shù)學(xué)閱讀理解障礙. 高中生的數(shù)學(xué)閱讀理解障礙主要表現(xiàn)為對題目的意思無法理解從而不會列式或是隨意列式，也有些學(xué)生不會正確使用排列組合的符號. 這些問題都說明了學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力還十分低.

在排列組合中學(xué)生最常見的問題是無法找到正確的解題方法. 排列組合的題目是十分靈活的，題型也十分豐富，很多學(xué)生面對變幻復(fù)雜的題目找不到正確的解決策略，區(qū)分不了有序排列、無序組合，也不了解分類用加、分步用乘這一基本問題. 這必定導(dǎo)致學(xué)生無法正確選擇解決方法或是在解決方法的運(yùn)用上存在明顯錯誤.

運(yùn)算的錯誤在排列組合中表現(xiàn)得也較為集中，一部分學(xué)生是因?yàn)樵谶\(yùn)用公式進(jìn)行運(yùn)算的時候出現(xiàn)錯誤，另一部分學(xué)生是用排列組合公式化簡的時候出現(xiàn)錯誤.

以上這幾類問題，是高中生在學(xué)習(xí)排列組合時最常見的問題，因此必須采用有效的策略加以解決.

■反思

針對上述問題，筆者及時采用正確的解決策略來提高對排列組合理解和掌握程度.

1. 深化學(xué)生對概念的理解

對題目中所涉及的概念加以理解是解題的首要步驟，也是正確解答的根本保證. 因此筆者在復(fù)習(xí)加強(qiáng)課上首要就是幫助學(xué)生加深對概念的理解. 筆者為了消減學(xué)生對概念的陌生感，將一些日常生活中常見的情境引入了課堂教學(xué)當(dāng)中，例如，在復(fù)習(xí)課上給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了下列情境：“某列火車從本市出發(fā)，目的為北京，途經(jīng)多站”，然后再把排列組合的問題添加進(jìn)去. 這樣的情境練習(xí)可以幫助學(xué)生深入理解排列組合的意義，避免死記硬背. 在深化概念的過程中，筆者還增設(shè)了易混淆問題的辨析教學(xué).例如分組問題和分配問題，筆者就進(jìn)行了這樣的題目訓(xùn)練：“將6個蘋果分給三個同學(xué)，第一個同學(xué)有3個蘋果，第二個同學(xué)有2個，第三個同學(xué)有1個”讓學(xué)生明確這樣的問題就是分組問題，而“將3個蘋果分給A同學(xué)，將2個蘋果分給B同學(xué)，將1個蘋果分給C同學(xué)”這樣的問題就是分配問題.

2. 重視學(xué)生思維訓(xùn)練

排列組合問題解決除了要對概念進(jìn)行正確理解之外，同時還要求學(xué)生有較強(qiáng)的思維能力. 筆者在以后教學(xué)中要求學(xué)生在解題的時候要有清晰的解題步驟，在每一步都要思考“我為什么要這么做”、“我這樣做符合題意么”、“我這樣的分類完整嗎”，讓學(xué)生自己用這樣引導(dǎo)性的問題訓(xùn)練自己的思維，在解題過程中及時找到正確的解題思路，克服自己思維的不嚴(yán)謹(jǐn)，提高自己的邏輯水平. 因?yàn)榕帕薪M合題是一種思維的組合，這類題通常與實(shí)際生活相關(guān)，所以在排列組合的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該注重學(xué)生思維的訓(xùn)練，將生活問題抽象為排列組合數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用排列組合知識去解答.

3. 進(jìn)行科學(xué)的專題訓(xùn)練

排列組合問題雖然靈活多變，但是有著基本的題目類型和解題套路. 如果學(xué)生扎實(shí)掌握這些題目類型，則能大大提高自己的解題能力. 這些基本題目類型包括“分類與分布問題”. 分類問題要用分類計(jì)數(shù)原理，而分布問題要用分布計(jì)數(shù)原理；“特殊元素與特殊位置問題”應(yīng)當(dāng)以元素分析為主，全面考慮特殊元素的位置，在此基礎(chǔ)上再處理其他元素；“元素相鄰問題”可用捆綁法進(jìn)行，將若干元素當(dāng)做一個整體來進(jìn)行排列；“相離問題”的主要做法是先解決其他元素，再把題目要求不能相鄰的元素進(jìn)行排列. 此外，還有“正難則反”問題、“定序問題”等等.

■小結(jié)

從目前的高考試卷來看，排列組合是每年高考的必考題型，這類題型變化多樣，而且從分值來看，一般在10分以上，可以說，這是教學(xué)的重點(diǎn)，因此在教學(xué)中應(yīng)該要求學(xué)生，完全掌握排列組合知識. 有人認(rèn)為，單純多做練習(xí)題可以讓學(xué)生把握該知識點(diǎn)，但是筆者認(rèn)為，學(xué)習(xí)排列組合需要學(xué)生理解，只有理解，才能夠正確應(yīng)用該知識. 因?yàn)轭}是活的，知識是“死”的，只有把握了排列組合的內(nèi)之要點(diǎn)，才能保證在高考中不至于失分.

總之，排列組合作為高中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，教師和學(xué)生都應(yīng)該引起高度的重視. 教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生樹立好學(xué)習(xí)排列組合的信心，引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念，掌握基本題型的解題套路，鼓勵學(xué)生以認(rèn)真踏實(shí)的態(tài)度進(jìn)行學(xué)習(xí).