摘 要：教學絕對不是一種簡單的告訴，教學應該是一種過程的經(jīng)歷，一種體驗，一種感悟.在新課程背景下，教學設計主要關注學生，以學生的學為中心.

關鍵詞：高中數(shù)學；課例研究；教學設計

杜威曾經(jīng)說過：“教學絕對不是一種簡單的告訴，教學應該是一種過程的經(jīng)歷，一種體驗，一種感悟.” 對于教師來說，我們每天所從事的編寫教案、練習題或測試題等都可以被認為是教學設計. 在傳統(tǒng)教學中，教學設計主要關注教師，以教師的教為核心.在新課程背景下，教學設計主要關注學生，以學生的學為中心.

對于新課程中的數(shù)學教學設計，筆者有如下一些思考.

■主體設計需要換位思考嗎

案例1 蘇教版高中數(shù)學必修1函數(shù)專題復習（3）一節(jié)課的教學設計片段.

例 二次函數(shù)g（t）=at2+t+1，t∈（0，2]，當a為何值時g（t）>0恒成立？

學生板演：采用了分類討論的思想.解：t=-■，a>0時，函數(shù)在（0，2]上為增函數(shù)，所以只要f（0）≥0，f（2）>0；a<0時，同理可得.

教師講述：a>0時，f（2）>0不要寫；建議高一學生少寫同理. 另外，對于a<0的情況，結合圖象知只需要g（2）>0且g（0）≥0. 此題鍛煉我們求解二次函數(shù)在規(guī)定區(qū)間上的最值問題.變式：設f（x）=lg■，如果當x∈（-∞，1]時，f（x）有意義，求實數(shù)a的取值范圍.

學生思考：本題即轉化為當x∈（-∞，1]時，1+2x+4xa>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍. 很多學生都想到令2x=t，轉化為求at2+t+1>0恒成立，其中t∈（0，2].

教師提問：二次函數(shù)能避免嗎？

學生回答：分離變量.

教師提問：若沒有想到分離變量怎么辦？

學生感到困惑.教師講述：

可令t=■■，x∈（-∞，1]，得t2+t+a>0，t∈■，+∞，轉化為g（t）=t2+t+a，t∈■，+∞恒大于0，求實數(shù)a的取值范圍. 由數(shù)形結合知，只要g■>0，求得a>-■.

教師講述：本題的第二種方法實在太妙了，它正巧利用了4x>0，我們每一項同時除以4x，不等式不改變方向. 我們在平時的學習中，一定要多想、多悟、多總結、多發(fā)現(xiàn)，有這種將問題優(yōu)化的意識. 當然，本題還有第三種方法：分離變量.1+2x+4xa>0，移項4xa>-1-2x，即a>-■-■■在（-∞，1]上恒成立. 此法避免了討論.下面只要求g（x）=-■■-■，x∈（-∞，1]的最大值. 當然，在求函數(shù)的最大值時，我們首選方法不是換元，而是函數(shù)的單調性.

教學反思：這節(jié)課雖然教師引導得很好，但還是感覺老師講得太多，學生動得偏少. 課堂的容量很大，思考的時間偏少.我們教師在設計這節(jié)課的時候，有沒有換位思考一下，如果你是學生，能在短時間內想到這三種解法嗎？再比如，講到求g（x）=-■■-■，x∈（-∞，1]的最大值時，教師說“在求函數(shù)的最大值時，我們首選方法不是換元，而是函數(shù)的單調性”. 對這一結論的得出，教師是否也可以換位思考，如果我是學生，我對于這類求函數(shù)最值得題目到底先想到什么方法？為什么得出這個結論？這結論怎么出來的？我自己要是沒有去嘗試，能得出這個結論嗎？因此筆者覺得本節(jié)課教學設計強調教師教的內容，學生主體有些弱化，教學設計的出發(fā)點是教材，是教師的主觀愿望，忽略了學生的感性經(jīng)驗和個性差異. 教學設計主觀地認為學生任何目標都能達成，對于題目的任何解讀都可以接受. 針對這些問題，筆者覺得教學設計中應增加學生的差異性教學設計、教學內容的分層次教學設計等，留給學生足夠的思考空間和時間.

■課堂需要一題多解、多題一解嗎

案例2 蘇教版高中數(shù)學不等式的一節(jié)復習課. 以下是部分內容.

例2 求解x■≥0.

學生 解：（法一）1-x2≥0，所以-1≤x≤1，

原不等式可化為■≥0，x≥0？圯0≤x≤1或■=0，所以x=±1，

所以{x0≤x≤1或x=-1}.

師生：（法二）x■>0或x■=0，所以0

教學反思：這道題貌似簡單卻很容易做錯，教師很注重選題，注重引導學生思考，從而找到解決此題的多種方法，并對形如f（x）■≥0的不等式解法進行了總結. 讓聽者不僅知其然，還知其所以然；不僅解決這一道題目，同時發(fā)現(xiàn)這一類題目的解法. 讓學生從一道題就能舉一反三，不要在同種類型題目上做重復勞動. 節(jié)約了學生的學習時間，減少了學生的負擔，效果非常好.筆者自己在平時的教學中，有時會總結但總結得還不夠. 沒有對每一道題進行嚴格的刪選，沒有對每一道題進行反復的研究. 作為教師，我們一定要為學生考慮，注重典型例題，并且引導學生總結出一類問題的解法. 我們有時總會埋怨學生怎么這么笨啊，這么簡單的題都不會，不就是我哪天講過的題型嗎. 這到底是學生真的笨還是我們自己沒有講透徹，沒有講到位呢？

？搖接著教師給出了例3：求y=x■（0≤x≤1）的最大值.

？搖和剛才的例2有點聯(lián)系. 對于函數(shù)的最值問題，學生最熟悉的莫過于二次函數(shù)了. 因為這題含有根號，所以很多學生都想到了去根號，對兩邊同時平方得：y2=x2（1-x2），從而令x2=t，t∈[0，1]，所以g（t）=t（1-t），t∈[0，1]，所以g（t）≤■. 以上是解法一. 轉化成二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題.在教師的引導下，學生又想出了其他解法.

解法二：令x=cosθ，θ∈0，■，y=cosθsinθ=cosθsinθ=■sin2θ≤■，當且僅當θ=■時函數(shù)取到最大值■.

解法三：y=■≤■=■，當且僅當x2=1-x2即x=■時，函數(shù)取到最大值■. 接著教師又給出了例3的變式.

變式1：若將x∈[0，1]，改成x∈0，■，求函數(shù)最大值.

變式2：求y=x■（0≤x≤2）的最大值.

變式3：將一根圓柱形樹干加工成截面為矩形的柱子，設已知截面圓的直徑為1，問怎樣取法可使廢棄的木料最少.

教學反思：太精彩了，一道題目竟能有這么多解法，又能產(chǎn)生這么多的變式題，而它們之間又有或多或少的聯(lián)系. 變式3不正是變式2在實際生活中的模型嗎？實在值得學習. 機會總是垂青有準備的人，作為我們青年教師，我們要注重專業(yè)知識的培養(yǎng). 我們莫做知識淺薄的“嚴師”，一味的嚴，讓學生怕你并不代表自己就是一個好老師. 應樹立新的知識觀，堅持自主學習，讀書、讀書、再讀書. 如果我們教師都能堅持認真讀書，多思考、多總結每節(jié)課的得與失、成與敗，多引導學生一題多解、多題一解，學生一定會從內心被教師感化，一定會慢慢感受到數(shù)學的神奇和美.

■問題設計需要結合學生認知嗎

最近，筆者有幸聽了“市高中數(shù)學基本功比賽獲獎選手展示課”. 幾位選手都上的是蘇教版高中數(shù)學必修4三角函數(shù)的圖象和性質第一節(jié)課，風格各異，各有所長，但也有共性，幾乎都設計了五六個母問題，從而層層推進，完成本節(jié)課.

案例3 教師從生活中的摩天輪動畫引例，提出問題1：當t=■分鐘時，求點P到平臺所在平面的相對高度h.

結合圖形和已知的角速度1弧度∕分，學生很容易知道此時h=■. 由于當天的學生并不是四星級學校學生，教師順便問若t=■呢？學生也很明確. 教師因勢利導，很自然地給出了問題2：求經(jīng)過t（t>0）分鐘后，P到平臺所在平面的相對高度h與t的關系. 由于有前面問題的鋪墊，學生也容易得出一般情況h=sint. 學生在不知不覺中，步入了正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的學習. 問題3：如何作出正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象？根據(jù)以往作函數(shù)圖象的經(jīng)驗，學生很容易知道是列表、描點、連線. 如果將定義域限制在 [0，2π]，我們怎么列表呢？自然是選取我們熟悉的特殊角. 教師讓一組學生回答了特殊角的三角函數(shù)值. 然后描點連線.在操作代數(shù)描點法的時候，我們有什么困難嗎？學生通過嘗試發(fā)現(xiàn)找點比較困難，找不準. 問題4：你能更精確地在坐標系中描出點■，sin■嗎？對于這個問題，學生比較難以回答. 教師引導學生借助單位圓，在單位圓中，怎么表示■？怎么表示sin■？學生發(fā)現(xiàn)可以等分圓找到■角，但怎樣找出橫坐標為■，縱坐標為sin■的點呢？教師讓學生回憶并觀察圖形中還有哪一個是■，學生想到弧長. 那怎樣將曲線轉化成直線呢？可以將曲線拉長. 這樣橫坐標便確定了，而縱坐標利用三角函數(shù)線再平移，學生在教師的引導下還是比較能發(fā)現(xiàn)的. 解決了問題4，也就解決了本節(jié)課的一個難點. 以下是另一個教師的教學片斷.

案例4 問題1：如何作出■的正弦線？

學生對于問題1是比較容易回答的，可以在單位圓中找到■角，利用有向線段MP.

問題2：如何作出點■，sin■？

因為當天面對的學生基礎一般，這個問題給出以后，教室有點靜. 學生靜靜思考了一會，教師讓一位學生演示，結果畫錯了. 學生將剛才問題1中單位圓與■角的終邊的交點P點的坐標寫成■，sin■. 教師也可能早有準備，慢慢引導，花了10多分鐘解決了這個難題.

教學反思：在案例3中，教師從大家生活中比較熟悉的摩天輪出發(fā)，給出問題1，問題1只要結合給出的圖，很容易就能回答，t=■時學生模仿就可得，于是很自然的問題2便不知不覺中就能被解決. 得到了正弦函數(shù)，那它的圖象是怎樣的？你能畫嗎？教師在設計這節(jié)課的時候，結合了學生的認知規(guī)律，從學生的角度來考慮問題怎么設置，所以教學時我們根本聽不出來當天學生基礎較差. 在老師的引導下，學生很容易想到并解決老師給的問題. 也許，真的沒有教不好的學生，只有不會教的老師. 教學，是需要結合學生的認知規(guī)律的，教學，是需要藝術的. 在案例4中，教師從大的問題出發(fā)，特別是問題2，學生是比較難回答的，也是本節(jié)課的難點. 教師能夠給學生足夠的思考時間，能夠靜靜地讓學生思考，給學生展示的空間，讓我們看到了真實的課堂，這點是值得學習的. 當然對于這兩個案例，兩位教師有一個共同的問題是作出點■，sin■，為什么一定要作出這個點呢？能不能不作這個點？能不能作其他點呢？應該是可以的. 案例3從實際問題引入，更貼近學生的認知，所以課進展得比較順利；案例4中教師的問題沒有太多的鋪墊，因為學生基礎不是很好，加上很多教師聽課，也許緊張，所以學生答不上也是在情理之中的. 問題2涉及以下幾個問題：（1）怎么表示一個點？必須先有平面直角坐標系.（2）橫坐標為■怎么表示？■角怎么得到？這個確實很難辦到，將曲線化成直線的思想我們教師講得輕松，實際上學生真的不容易想到，具體操作其實我們也很難畫準確. （3）縱坐標為sin■點怎么表示等等. 因此要回答出問題2真的挺難.

■總結設計能夠推陳出新嗎

案例5 接上述案例3，教師在小結歸納時問：你能總結這節(jié)課學到哪些知識嗎？

教學反思：筆者承認案例3中老師的課上得很好，但每次聽課，上課教師好像都是這么總結的. 小結，可以說是一堂課的點睛之筆. 千篇一律的方法也不能說一定不好，但總覺乏味. 一堂課，我們能否有點創(chuàng)新之處，是否可以出現(xiàn)一個亮點，哪怕它并不璀璨. 筆者經(jīng)常在想，我們能不能想到其他一些總結的方式？當然，不能教師自己總結，得體現(xiàn)學生的主體地位，讓學生來完成這件事.比如是否可以這樣設計：

請你列舉本節(jié)課主要的重難點以及你采用何種方法解決這些重難點內容，你掌握的程度怎樣？

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（備注：本文為江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃課題“中學數(shù)學片斷教學的自然設計研究”的相關成果.）