摘 要：導數(shù)概念是微積分的核心概念之一，而平均變化率是學生學習導數(shù)這一章的基礎，因此顯得尤為重要. 本節(jié)課的主要教學目的是通過實例直觀感知，理性構建平均變化率的概念，從而進一步理解“以直代曲”的辯證思維.

關鍵詞：變化率；平均變化率；以直代曲

■教學目標

1. 通過對一些實例直觀感知、構建平均變化率的概念，并初步運用和加深理解平均變化率；

2. 滲透“以直代曲”的數(shù)形結合思想方法，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力；

3. 理解平均變化率的意義，為后續(xù)建立瞬時變化率和導數(shù)的數(shù)學模型提供豐富的背景；

4. 通過本節(jié)課的學習，使學生領悟到數(shù)學研究的一般方法：背景→數(shù)學→應用.

■教學重點

平均變化率的實際意義與數(shù)學意義.

■教學難點

平均變化率的理解和運用

■教學過程

（一）創(chuàng)設情境，引出研究問題

教師：同學們，相信大家一定爬過很多的樓梯，那么，爬樓梯遇到下圖的兩種不同的樓梯時你們有什么不同的感受?。?？搖

（教師在投影儀上展示兩段“陡峭程度不同”的樓梯）

學生：爬“的樓梯”要累些，爬“圖2的樓梯”要輕松些.

教師：那是什么原因呢？

學生：圖1的樓梯要陡峭些，圖2的樓梯要平緩些.

教師：那能用我們熟悉的數(shù)學概念衡量樓梯的陡峭程度嗎？

學生：可以！用坡度來衡量樓梯的陡峭，用直線斜率的知識來說明.

設計意圖：一個好的問題情境應該能吸引人并具有明確的指向性. 本節(jié)課由學生熟悉的生活背景入手導出教學內容，能一下子吸引學生，調動學生，并且將學生的思考直接引向陡峭程度，為后面的教學埋下伏筆.

（二）案例分析，學生活動與師生互動

教師：下面我們來看這樣一段閱讀材料.

蘇州市2007年4月20日最高氣溫為33.4℃，而此前的兩天，4月19日和4月18日最高氣溫分別為24.4℃和18.6℃，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8℃，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”

但是，如果我們將該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進行比較，我們發(fā)現(xiàn)兩者溫差為 15.1℃，甚至超過了14.8℃. 而人們卻不會發(fā)出上述感嘆. 這是什么原因呢？原來前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”.

教師：在上面的材料中，我們能否從數(shù)學角度來刻畫“氣溫陡峭”程度呢？

為了弄清這個問題，我們先來觀察下面的氣溫曲線圖，

■

圖3

容易看出B、C之間的曲線較A、B之間的曲線更加“陡峭”，陡峭的程度反映了氣溫變化的快與慢.

教師：如何量化陡峭程度呢？

學生：可以用直線的斜率來刻畫曲線的陡峭程度.

教師：可是上述曲線圖中并沒有直線??？

學生：分別將圖中的A、B與B、C連結起來，用這樣的直線來近似地量化兩段曲線的陡峭程度.

教師：為了進一步量化曲線的陡峭程度，我們先來計算直線AB、BC的斜率：

■=■≈0.5，■=■=7.4.

從這兩個計算結果來看，雖然點A、B之間的溫差與B、C之間的溫差幾乎相同，但是它們的比值卻相差很大. 因此，我們可以用直線斜率這個數(shù)學模型來量化曲線的陡峭程度.我們稱上述兩個比值為氣溫分別在區(qū)間[1，32]、[32，34]上的平均變化率.

注意學生活動的方向可能有：

1. 曲線上BC之間一段幾乎成了“直線”，由此聯(lián)想到如何量化直線的傾斜程度.

2. 由點B上升到C點，必須考察yC-yB的大小，但僅僅注意到y(tǒng)C-yB的大小能否精確量化BC段陡峭的程度？為什么？

3. 在考察yC-yB的同時必須考察xC- xB，函數(shù)的本質在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于（參照于）另一個量的改變.

（三）建構平均變化率的概念

1. 通過比較氣溫在區(qū)間[1，32]上的平均變化率0.5與氣溫在區(qū)間[32，34]上的平均變化率7.4，感知曲線陡悄程度的量化.

2. 一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為： ■.

3. 以上從“數(shù)”的角度得到了平均變化率的概念，我們再從“形”的角度看看平均變化率. 從下圖中，我們可以感受到：平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者反過來說，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.

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圖4

說明：平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應注意當x2-x1很小時，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”.

（四）實例講解，初步應用并加深理解平均變化率

例1 嬰兒從出生到第24個月的體重變化（如圖5），試分別計算第一年與第二年嬰兒體重的平均變化率.

引導提問：根據(jù)圖象，說出嬰兒體重在哪一年變化要快些，能判斷在哪一年嬰兒體重的平均變化率要大.

解：從出生到第12個月，嬰兒體重平均變化率為■=1.25（斤/月）

從第6個月到第12個月，嬰兒體重平均變化率為■=0.5（斤/月）

引申拓展：1. 上述結果說明了什么？其兩個平均變化率的數(shù)值不同的實際意義又是什么呢？

2. 如何解釋例1中第一年嬰兒體重平均變化率為1.25（斤/月）？

例2 水經(jīng)過虹吸管從容器甲流向容器乙（如圖6），t s后容器甲中的水的體積V（t）=5e-0.1t（單位：cm3），試計算第一個10 s內V的平均變化率.

■

圖6

解：在區(qū)間[0，10]上，體積的V的平均變化率為

■≈■=-0.3161（cm3/s）

即第一個10 s內容器甲中水的體積的平均變化率為-0.3161 cm3/s.

引申拓展：①計算第二個10 s內的平均變化率；②試比較兩個平均變化率的大小；③觀察函數(shù)圖象，比較曲線在區(qū)間[0，10]、[10，20]上的陡峭程度；④結論反映的實際意義是什么？⑤例2中V（t）=5e-0.1t是一個隨時間變化而變化的量. -0.3161（cm3/s）是否表示10 s內每一時刻容器甲中水的體積V減少的速度？

設計意圖：以上兩例讓學生經(jīng)歷一個從“形”到“數(shù)”、從“數(shù)”到“形”的過程，通過教師追問、學生探究，讓學生感受數(shù)形結合思想，從數(shù)值、圖象和代數(shù)三個方面呈現(xiàn)獲得知識的過程與結果，強調各方面意義之間的轉化，在相互解釋中進一步加深接下來要學習的導數(shù)概念的認識和理解.

例3 已知函數(shù)f（x）=x2，分別計算函數(shù)f（x）在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].

解：函數(shù)f（x）在[1，3]上的平均變化率為■=■=4，

函數(shù)f（x）在[1，2]上的平均變化率為■=■=3，

函數(shù)f（x）在[1，1.1]上的平均變化率為■=■=2.1，

函數(shù)f（x）在[1，1.001]上的平均變化率為■=■=2.001.

引申拓展：四個區(qū)間的變化導致平均變化率有怎樣的變化？這種變化的實際意義和數(shù)學意義分別是什么？①本例研究區(qū)間長度縮短時，平均變化率的變化情況；②當區(qū)間右端點靠近1時，平均變化率靠近2.

教學反思：讓學生得到一個平均變化率逼近2的結論即可，不必急于進行幾何解釋（即從割線逐漸變化到切線）.

設計意圖：拓展問題旨在培養(yǎng)學生的探究與歸納能力，讓學生直觀感知平均變化率的變化趨勢，同時為下一節(jié)課經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程教學打下伏筆.

例4 已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）= -2x，分別計算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上函數(shù)f（x）及g（x）的平均變化率.

解：函數(shù)f（x）在[-3，-1]上的平均變化率為■=■=2；

函數(shù)f（x）在[0，5]上的平均變化率為

■=2.

函數(shù)g（x）在[-3，-1]上的平均變化率為■=-2；

函數(shù)g（x）在[0，5]上的平均變化率為■=-2.

引申拓展：從例4的求解中，你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率有什么特點嗎？

設計反思：例4講完后應讓學生當堂回答課本中的思考. 這種回答可能出現(xiàn)多樣性，但能活躍課堂氣氛.

（五）課堂練習

*課本第7頁練習1、2、3. （看時間決定是否練習）

（六）回顧小結

請學生回顧本節(jié)課的教學過程，概括出教學流程圖（教師可做適當提示與補充）：生活感受→數(shù)學圖形→量化→構建數(shù)學模型→應用→提出新問題.

（1）由平均變化率的實際意義到數(shù)學意義，體現(xiàn)了實際問題數(shù)學化的過程，建立數(shù)學模型具有抽象的特征，也蘊涵著數(shù)學應用的廣闊性.

（2）由于平均變化率只是一種粗略的刻畫，從而有待進一步精確化. 隨之而來的便是新的數(shù)學模型的建立.

（七）課外作業(yè)

1. 課本第55頁練習4.

2. 課本第63頁習題3.1第1題.

■教后反思

本節(jié)課以學生親身感受的生活經(jīng)驗入手，并將其數(shù)學化，讓學生初步體會可以用已學的直線斜率知識來刻畫樓梯的陡峭程度，引導學生進行聯(lián)想類比，采用“以直代曲”的思想方法來量化氣溫曲線的陡峭程度，從而“水到渠成”地構建平均變化率這一概念. 在解決問題、探索概念的形成過程中，讓學生感受數(shù)學思想方法，包括：以直代曲、數(shù)形結合、形式化思想等. 課例中結合具體例子，從直線的傾斜程度到曲線的陡峭程度，構建平均變化率概念，將抽象的辯證法直觀地、潛移默化地展現(xiàn)了出來，化解了難點（如何量化曲線的陡峭程度）.