摘 要：《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》的基本理念指出：學生的數(shù)學學習活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應(yīng)倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式. 這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程. 而數(shù)學實驗為學生提供了主體參與、積極探索、大膽實踐、勇于創(chuàng)新的學習機會，運用數(shù)學實驗開展教學是提高數(shù)學課堂效率的有效途徑.

關(guān)鍵詞：數(shù)學實驗；課堂教學

■何為數(shù)學實驗教學

數(shù)學實驗是指為獲得某種數(shù)學理論，檢驗?zāi)撤N數(shù)學思想，實驗者運用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學思維活動的幫助下，在特定的實驗環(huán)境中所進行的探索、研究活動. 簡言之，數(shù)學實驗是為了探究數(shù)學知識、檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設(shè)）而進行的某種操作和思維活動.

數(shù)學實驗教學則是指教師根據(jù)數(shù)學思想發(fā)展脈絡(luò)，充分利用實驗手段尤其是運用現(xiàn)代教育技術(shù)，創(chuàng)設(shè)數(shù)學教學情景，設(shè)計系列問題增加輔助環(huán)節(jié)，引導學生通過操作、實踐、試驗，探索數(shù)學定理的證明、數(shù)學問題的解決，讓學生親自體驗數(shù)學建構(gòu)的過程.

■開展數(shù)學實驗教學的背景

傳統(tǒng)的數(shù)學教學常常把數(shù)學過分形式化，忽視了探索數(shù)學知識形成過程的實踐活動，制約了學生的發(fā)展. 數(shù)學實驗教學是再現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程的有效途徑，通過數(shù)學實驗，可以創(chuàng)設(shè)學生自主學習的問題情境，打破沉寂的課堂教學氛圍，激發(fā)學生的探索精神，使學生親歷數(shù)學知識的建構(gòu)過程，逐步掌握認識事物、發(fā)現(xiàn)真理的方式方法，變被動的接受學習為主動建構(gòu)的過程，充分發(fā)揮學生的主體地位. 因此數(shù)學實驗教學是符合新課程要求的新的教學模式.

■開展數(shù)學實驗教學的步驟

數(shù)學實驗教學模式的基本思路是：從問題情境（實際問題或數(shù)學問題）出發(fā)，學生在教師的指導下，設(shè)計研究步驟，進行探索性實驗，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想、進行證明或驗證. 根據(jù)這一思路，教學設(shè)計一般包含以下五個步驟：

（一）創(chuàng)設(shè)情境. 創(chuàng)設(shè)情境是數(shù)學實驗教學過程的前提和條件，其目的是為學生創(chuàng)設(shè)思維場景，激發(fā)學生的學習興趣. 問題情境的創(chuàng)設(shè)要精心設(shè)計，要有助于喚起學生的積極思維.

（二）活動與實驗. 這是這種教學模式的主體部分和核心環(huán)節(jié). 教師根據(jù)具體情況組織適當?shù)幕顒雍蛯嶒?；?shù)學活動形式可根據(jù)具體情況而定，最好是以2-4人為一組的小組形式進行，也可以是個人探索，或全班進行. 這一環(huán)節(jié)對創(chuàng)設(shè)情境和提出猜想兩大環(huán)節(jié)起承上啟下的作用.

（三）討論與交流. 這是開展數(shù)學實驗必不可少的環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)合作精神、進行數(shù)學交流的重要環(huán)節(jié). 讓學生積極主動地參與到數(shù)學實驗活動中去，對知識的掌握，思維能力的發(fā)展，學業(yè)成績的提高以及學習興趣、態(tài)度、意志品質(zhì)都具有積極的意義.

（四）歸納與猜想. 歸納與猜想這一環(huán)節(jié)和活動與實驗、討論與交流密不可分，常常相互交融在一起，有時甚至是先提出猜想，再通過實驗驗證. 提出猜想是數(shù)學實驗過程中的重要環(huán)節(jié)，是實驗的高潮階段；根據(jù)實驗觀察到的現(xiàn)象進行數(shù)據(jù)分析，尋找規(guī)律，通過合情推理、直覺猜想，得到結(jié)論是數(shù)學實驗的教學目標實現(xiàn)程度的體現(xiàn)，是實驗?zāi)芊癯晒Φ年P(guān)鍵環(huán)節(jié).

（五）驗證與數(shù)學化. 提出猜想得出結(jié)論，并不代表實驗結(jié)束，還需要驗證，通常有實驗法、演繹法和反例法.

■數(shù)學實驗教學作用與舉例

（一）通過數(shù)學實驗教學能化抽象為具體，讓學生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程

在傳統(tǒng)教學模式下，數(shù)學教學往往過分強調(diào)形式化的邏輯推導和形式化的結(jié)果，而對數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程的展示和數(shù)學直觀性的背景注意很少，從而給學生數(shù)學學習帶來困難，導致學生越來越害怕學習數(shù)學，使學生喪失了學習數(shù)學的興趣. 而數(shù)學實驗教學通過學生的動手操作、觀察比較、體驗數(shù)學的直觀性，給學生創(chuàng)造了大膽提出自己的猜想和發(fā)現(xiàn)的機會.

案例1 直線與平面垂直判定定理的探究

實驗用品：一張三角形的紙片.

實驗步驟：

①過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

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圖1

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圖2

②提出問題：

Ⅰ. 折痕AD與桌面垂直嗎？

Ⅱ. 如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

Ⅲ. 如果不過頂點A，有沒有其他的翻折方法可以保證翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）使得折痕與桌面所在平面垂直？學生翻折出了如下的情形（圖3），

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圖3

討論與交流：

①圖2、圖3的折痕AD、DE是如何得到的？（學生：是通過翻折DB與DC重合得到的）

②圖2、3翻折后，都能使折痕與桌面所在的平面垂直，那么兩者必定存在共同的本質(zhì)特征，你認為兩者共同的特征是什么？（學生：折痕都是垂直于DB與DC）

猜想歸納：然后教師引導學生通過這兩個特例的類比，歸納出兩種情形的共同本質(zhì)特征. 進一步，讓學生概括直線與平面垂直的判定定理.

評析：由于新課程中必修2中不要求嚴格證明直線與平面垂直的判定定理，只要求直觀感知、操作確認，注重合情推理，因此實驗的重點是判定定理的探究上. 通過以上實驗，讓學生在觀察、類比和反思中，較快地對這個抽象的數(shù)學定理有了直觀、感性的認識.

（二）通過數(shù)學實驗教學，能有效地突破教學難點

許多的數(shù)學規(guī)則具有嚴謹性和抽象性，不容易理解和掌握. 在數(shù)學規(guī)則的學習中，可以根據(jù)情況創(chuàng)設(shè)數(shù)學實驗，通過學生的動手操作來發(fā)現(xiàn)規(guī)則，理解規(guī)則，掌握規(guī)則，會取得較好的教學效果.

案例2 零點存在性的判斷

因為f（a）·f（b）<0且圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點的充分而非必要條件，學生在這點的理解比較困難.

實驗設(shè)計：給學生一條直線和一條細線，并記細線的兩個端點為A和B，讓學生動手，觀察在什么樣的情況下一定能夠保證這條細線和給定的直線一定有交點？

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圖4

學生可以發(fā)現(xiàn)當點A和B在直線的兩側(cè)時一定能滿足題意，而當點A和B位于直線的同側(cè)時，有可能有交點，也可能沒有交點，故不一定有交點了. 引導學生從數(shù)的角度來分析得到f（a）·f（b）<0的結(jié)論.

教師繼續(xù)問，在剛才的情況下（A和B在直線的兩側(cè)時）細線與給定直線已經(jīng)有交點了. 請問你能設(shè)計出方案使得它們沒有交點嗎？

學生會有兩種方案：

①將點A和B移到直線的同側(cè)（進一步說明了f（a）·f（b）<0的必要性）；

②把細線剪斷（說明函數(shù)圖象必須是連續(xù)的）.

通過上述探究，讓學生自己概括出零點存在性定理.

評析：實驗的設(shè)計簡單明了，通過學生的操作，讓學生直觀感受到了函數(shù)零點存在定理各條件的作用，從實驗的解決中領(lǐng)悟了定理本質(zhì).學生也就自然會得出函數(shù)f（x）圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的前提下：

若f（a）·f（b）<0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上至少有一個零點；

若f（a）·f（b）>0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上也可能有零點；

函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點不一定有f（a）·f（b）<0等一些結(jié)論.

（三）通過數(shù)學實驗教學，有助于培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力與創(chuàng)新精神

計算機（器）模擬實驗教學是數(shù)學實驗教學的一種形式之一. 計算機（器）模擬實驗教學指借助于計算機（器）的快速運算功能和圖形處理能力，模擬再現(xiàn)問題情景，引導學生自主探究數(shù)學知識、檢驗數(shù)學結(jié)論（或假設(shè)）的教學活動.

案例3 對數(shù)運算性質(zhì)的探究

1. 實驗用品：計算器

2. 實驗要求

（1）坐在前排的兩個同學把身子轉(zhuǎn)過去坐，與后排的兩個同學組成一個小組；

（2）每一個小組選出一個組長，研究結(jié)束后，請他代表小組做匯報發(fā)言；

（3）自定第一、第二行中M、N的數(shù)值，用計算器計算出各列中所指出的數(shù)值.

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（4）觀察計算結(jié)果，提出同一列中計算結(jié)果間關(guān)系的猜想（留空）.

（5）證明猜想（留空）.

（6）實驗心得（留空）.

表中，橫向M、N的數(shù)據(jù)沒有給出，學生可以自由選取；縱向也是開放的，并不限制僅僅觀察表中列出的項目，可以自己設(shè)立計算（觀察）項目.

相互協(xié)作，填寫《數(shù)學實驗》：

有的小組進行了簡單的組織：兩人一對，一人使用計算器計算，另一人填寫表格，然后交換.

匯報、交流，自我評價：

小組派代表匯報小組活動的情況，不僅匯報了數(shù)學結(jié)論發(fā)現(xiàn)的過程，還包括一些組織方式，如是否有分工合作；有無出現(xiàn)過錯誤？又是怎樣糾正的？是否還有一些有趣的事情等等. 把所填寫的表格放到視頻展示臺，投影到大屏幕上.

請其他小組的學生評價該小組的活動，也可以補充不同意見.

歸納小結(jié)，明確對數(shù)的運算性質(zhì)如下（把底數(shù)換成a）：

如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么①loga（MN）=logaM+logaN；②loga■=logaM-logaN；③logaMN=NlogaM（N∈R）.

評析：讓學生利用計算器的對數(shù)計算功能，把繁雜的計算交給計算器完成，把學習的重心放在數(shù)據(jù)之間關(guān)系的觀察、數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)上. 事實表明，計算器給了學生一個可以主動探索數(shù)學結(jié)論的工具. 學生利用它，動手、動眼、動腦，在“做數(shù)學”，成為一個實驗者、研究者. 信息技術(shù)給數(shù)學課堂教學改革帶來了新的活力.

■開展數(shù)學實驗教學要注意的問題

1. 實驗的目的、方法要明確

實驗的目的要明確，這包含兩個層面：一個層面是指教師創(chuàng)設(shè)實驗的目的要明確；另一個層面是指要讓學生明確實驗操作的目的. 學生必須知道他們在做什么，為什么要這樣做. 只有學生清楚地了解實驗的目的，實驗活動才能夠成為他們的一種自覺行為. 實驗?zāi)康拿鞔_的同時，教師還要讓學生明確實驗操作方法.

2. 實驗的過程要自主化和有創(chuàng)造性

讓學生動手操作實驗就是為了發(fā)揮學生的主體作用，通過動手操作實驗，經(jīng)歷了對事物的認識過程和問題的探究過程，就能讓學生更好地實現(xiàn)對數(shù)學知識的建構(gòu)和對規(guī)則的理解. 如果在操作實驗過程中做什么、怎么做都由教師規(guī)定，學生按教師的要求一步一步來的話，那么學生的學習仍然是被動的. 這樣的活動也不利于學生的思維發(fā)展，學生的創(chuàng)造性潛力也難以施展了.

3. 實驗的結(jié)果要內(nèi)化

如果創(chuàng)設(shè)的數(shù)學實驗始終只是停留在實際操作層面，而不能在頭腦中實際地建構(gòu)起相應(yīng)的數(shù)學對象的話，則根本不可能發(fā)展起任何真正的數(shù)學思維. 操作試驗并不能完成“主動構(gòu)建”. 相對于具體操作活動而言，我們事實上更應(yīng)強調(diào)實驗結(jié)果的內(nèi)化. 動手實驗實際上就是為了更好地發(fā)展學生的數(shù)學思維，如果忽略了內(nèi)化的過程，實驗活動本身就會失去意義. 這也是數(shù)學實驗和其他的實驗最大的區(qū)別.

總之，開展數(shù)學實驗教學能拓展學生的思維活動空間，使他們的思維更有深刻性和批判性. 同時，它不僅關(guān)心學習者“知道了多少”，更關(guān)心學習者“知道了什么”、“怎樣知道的”. 它追求的不僅僅是解決了數(shù)學問題，更重要的是理解、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，是解決問題的數(shù)學精神和樂趣. 讓我們合理運用實驗教學，充分發(fā)揮其作用，倡導學生主動參與、交流、合作、探究等多種學習方式，改進學習，使學生真正成為學習的主人.