王 燕

王燕/鎮(zhèn)江高等職業(yè)技術學校中學一級教師（江蘇鎮(zhèn)江212000）。

公元前200年左右，古希臘數學家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中把二次曲線作為正圓錐面的截線來研究。公元4世紀，帕波斯在《數學匯編》中記載了射影幾何學的一些基本概念，如對合、非調和比（即交比）等，還得到“帕波斯定理”。文藝復興時期，意大利數學家阿爾貝蒂于1435年發(fā)表《論繪畫》一書，闡述了最早的數學透視法思想，他引入投影線和截景概念，提出在同一投影線下和景物的情況下，任意兩個截景間有何種數學關系或何種共同的數學性質等問題，這些問題是射影幾何發(fā)展的起點。意大利學者、藝術巨匠達·芬奇 （1452－1519）在《繪畫專論》（1651年出版）中堅信，數學的透視法可以將實物精確地體現在一幅畫中，它是繪畫的舵輪和準繩。意大利另一位畫家、數學家弗蘭切斯卡約于1478年著有《透視畫法論》，推進了阿爾貝蒂的投影線和截景的思想，把透視法的數學原理以相當完整的形式表述出來。

17世紀數學家們重新研究古希臘的圓錐面截線問題和文藝復興時期的透視法原理，積累了射影幾何的原始素材，同時開始進行系統的綜合整理工作。1604年德國天文學家、數學家開普勒在 《天文學的光學部分》中提出平行線的無窮遠點概念。1636——1639年法國數學家德扎格先后出版《論透視截線》的小冊子和《圓錐曲線論稿》。德扎格論述了“德扎格定理”，即如果兩個三角形對應頂點的連線共點，則它們對應邊的交點共線，反之亦然，這已成為射影幾何學的基本定理。法國數學家彭色列在復興射影幾何方面做出了杰出貢獻，他構思的巨著《論圖形的射影性質》是幾何學上的一個里程碑，給射影幾何的研究以巨大的動力，開創(chuàng)了射影幾何史上的黃金時代。同時以彭色列為首的一大批幾何學家的共同努力，迎來了19世紀射影幾何蓬勃發(fā)展的春天。射影幾何以其直觀優(yōu)美、宏偉深刻的新姿獨領風騷，一朵頹萎了200多年的蓓蕾終于開出了艷麗之花！

一、透視對應(中心射影)

定義1.1以下三種對應稱為一維基本形的透視對應

推論1.1

(1)透視對應是兩個一維基本形之間的一個一一對應,保持任意四對對應元素的交比不變.

(2)連續(xù)兩次透視對應的結果顯然不一定仍是透視對應 .透視對應不滿足“傳遞性”，所以透視對應不是一維基本形之間的等價關系.

二、一維射影對應的綜合法定義

1.Poncelet定義

設[π],[π']為兩個一維基本形.若存在n個一維基本形

[πi](i=1,2,…,n), 使得

則稱由此決定的[π]到[π']的一一對應為一個射影對應,記作

推論2.1

（1）透視對應是射影對應，反之不一定成立.

（2）射影對應是一維基本形集合上的一個等價關系.

（3）射影對應是雙射，且保持任意四對對應元素的交比不變.

2.Steiner定義

如果兩個一維基本形之間的一個對應φ:[π]-〉[π']滿足

(1)φ為一個雙射；

(2)φ使得任意四對對應元素的交比相等；

則稱 φ 為[π]到[π']的一個射影對應,記作[π]∧=[π']

定理2.1

Poncelet定義?Steiner定義.

定理2.2

兩個一維基本形間的射影對應可由已知相異的三雙對應元素唯一確定.

三、射影對應成為透視對應的條件

定理3.1

兩個同類的一維基本形之間的射影對應成為透視對應?公共元素自對應.

定理3.2(Pappus定理)

在共面的相異二直線li上各取相異三點Ai,Bi,Ci(i=1,2).設

B1C2×B2C1=L

C1A2×C2A1=M，則 L，M，N 三點共線.

A1B2×A2B1=N

四、射影對應的代數定義

定義4.1

設在兩個點列上各取定齊次坐標系.稱由非奇異線性對應

決定的兩點列間的對應為射影對應.其中(x1,x2)與(x1',x2')為任一對對應點的齊次坐標,ρ為非零比例常數.

定理4.1

代數定義?Steiner定義.

五、一維射影變換

1.定義5.1

兩個重疊的一維基本形之間的射影對應稱為一維射影變換.

2.代數表示

(1)坐標表示

設φ稱為一維基本形[π]上的一個射影變換，(x1,x2)與(x1',x2')為任一對對應點的齊次坐標.則

其中對應點的坐標是關于一維基本形[π]上的同一坐標系取得的.

(2)參數表示

定義 形如 axx′+bx+cx′+d=0 (ad-bc≠0)的方程稱為關于x,x'的雙線性方程.

定理5.1

一維基本形上的一個變換為射影變換?其對應元素的參數λ,λ'滿足一個雙線性方程

3.一維射影變換的分類

設有射影變換

若存在 λ0∈,使 aλ20+(b+c)λ0+d=0,則稱 A+λ0B 為 φ 的一個不變元素.

定理5.2

在實復射影平面上,任一個一維射影變換至少有一個不變元素.非恒同的一維射影變換至多有兩個相異的不變元素.證明.在(2.13)中,令λ=λ'.則有一維射影變換的不變元方程

立刻可得結論.據此可得一維射影變換的分類：

(1)雙曲型、橢圓型射影變換

定理5.3

對于雙曲、橢圓型射影變換,任一對相異的對應元素與兩個不變元素的交比為常數.稱此為射影變換的特征不變量.

證明.設X,Y為兩個不變元,P≠P'為任一對相異的對應元.設X,Y,P,P'的坐標依次為x,y,x+y,x+μy.則這四點的參數依次為0,∞,1,μ.于是

(2)拋物型射影變換

定理5.4

拋物型射影變換的不變元參數α與任一對相異的對應元素的參數λ,λ'滿足

[1]方德植,陳奕培.射影幾何[M].北京：高等教育出版社，1983

[2]周興和.高等幾何[M].北京：科學出版社，2003