楊 超，李彥蘭，徐兵祥，趙慶兵

(1. 中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院，北京100083; 2. 中海油研究總院，北京100027; 3. 中國(guó)石化西北石油局，新疆烏魯木齊830011)

油水相對(duì)滲透率曲線受巖石孔隙結(jié)構(gòu)、油水性質(zhì)及相互作用的影響。目前主要確定方法有:實(shí)驗(yàn)室測(cè)定(穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài))、經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算、礦場(chǎng)資料計(jì)算等，而多以實(shí)驗(yàn)室測(cè)定為主［1-5］。然而，實(shí)驗(yàn)室測(cè)得的相對(duì)滲透率只能代表取心位置處流動(dòng)特征，并不能反映油藏的整體滲流特征;經(jīng)驗(yàn)公式和礦場(chǎng)資料計(jì)算沒有考慮高含水后期經(jīng)過長(zhǎng)期注水沖刷后油藏和原油物性的變化，因此難以與生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配。目前已有許多學(xué)者采用統(tǒng)計(jì)分析、優(yōu)化等理論綜合利用生產(chǎn)數(shù)據(jù)建立了相對(duì)滲透率曲線計(jì)算方法，但是目前求取油水相對(duì)滲透率曲線方法存在如下個(gè)方面局限性:1)統(tǒng)計(jì)分析方法［6-7］只適合某一特定區(qū)塊，只針對(duì)某一特殊類型油藏進(jìn)行相對(duì)滲透率曲線的修正;2)非線性回歸方法［8-10］計(jì)算的相對(duì)滲透率曲線存在一定誤差，相對(duì)滲透率曲線形態(tài)常出現(xiàn)上凸型，分形幾何方法［11］可以較好地描述相對(duì)滲透率曲線形態(tài)，但仍不可避免出現(xiàn)相對(duì)滲透率曲線的上凸段;3)方法計(jì)算過程復(fù)雜不利于礦場(chǎng)計(jì)算［12-14］。

本文基于生產(chǎn)和巖心驅(qū)替數(shù)據(jù)，采用水驅(qū)特征曲線和兩相對(duì)滲透率流理論，提出了一種基于非線性優(yōu)化算法和新約束條件的油水相對(duì)滲透率曲線校正方法，給出了具體的求解步驟，并采用吐哈油田溫西3 區(qū)塊單井生產(chǎn)數(shù)據(jù)和區(qū)塊歷史擬合后的平均相對(duì)滲透率曲線對(duì)本文方法進(jìn)行了驗(yàn)證。本文提出的相對(duì)滲透率曲線校正新方法為研究高含水老油田改善水驅(qū)［15］、提高采收率［16］的滲流規(guī)律提供了方法和依據(jù)。

1 理論含水率-采出程度曲線計(jì)算

對(duì)于注水開發(fā)油藏來說，原油采出程度取決于注入水體積波及系數(shù)和注入水在孔道中排驅(qū)原油的程度。大量現(xiàn)場(chǎng)資料表明，原油采出程度受儲(chǔ)層的非均質(zhì)性、原油粘度、潤(rùn)濕性、毛管力、井網(wǎng)密度、注水方式和油井工作制度等多種地質(zhì)和開發(fā)因素的影響［3］。采出程度計(jì)算公式為驅(qū)油效率與體積波及系數(shù)的乘積。驅(qū)油效率從微觀上表征原油被注入水清洗的程度，可以采用相對(duì)滲透率曲線計(jì)算;體積波及系數(shù)表征注入水在油層中的波及程度，一般由宏觀的注采井網(wǎng)和橫向、縱向砂體的連通性決定。

利用相對(duì)滲透率曲線可以計(jì)算驅(qū)油效率Ed為:

體積波及系數(shù)計(jì)算有多種方法，如統(tǒng)計(jì)關(guān)系圖版法［6，17］、經(jīng)驗(yàn)公式方法［18］和水驅(qū)特征曲線方法［1，18］等?？紤]到體積波及系數(shù)是隨時(shí)間或含水率變化的量，丙型水驅(qū)特征曲線體現(xiàn)了儲(chǔ)層和流體非均質(zhì)性對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的綜合反映，因此本文采用丙型水驅(qū)特征曲線計(jì)算體積波及系數(shù)。

眾所周知，丙型水驅(qū)特征曲線為:

式中:Lp和Np分別為累積產(chǎn)液量、累積產(chǎn)油量，m3/d;β 和γ 為待定參數(shù)，需要通過生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合得到。經(jīng)過簡(jiǎn)單推導(dǎo)得到體積波及系數(shù)Ev為:

聯(lián)合式(1)和式(3)可以得到采出程度R 的理論計(jì)算公式為:

利用相對(duì)滲透率曲線可以計(jì)算油藏含水率fw為:

式中:qo和qw分別為日產(chǎn)油量和日產(chǎn)水量，m3;Kro和Krw分別為油相和水相的相對(duì)滲透率，小數(shù);μo和μw分別為油相和水相的粘度，mPa·s。

由相對(duì)滲透率曲線和式(4)、式(5)可以確定理論含水率-采出程度曲線。

2 相對(duì)滲透率曲線校正方法

通過生產(chǎn)數(shù)據(jù)確定理論含水率-采出程度曲線之后，可通過與實(shí)際曲線擬合，校正相對(duì)滲透率曲線。相對(duì)滲透率為平均含水飽和度的函數(shù)，目前有許多作者提出了相對(duì)滲透率曲線與含水飽和度的定量表達(dá)式［1］。通過對(duì)比分析，最終確定采用如下公式求解不同含水飽和度的相對(duì)滲透率:

式中:Sor為殘余油飽和度，小數(shù);m 和n 分別為水相和油相的相對(duì)滲透率曲線指數(shù)，與儲(chǔ)層巖石結(jié)構(gòu)和潤(rùn)濕性有關(guān)，依照一般經(jīng)驗(yàn)為2～4;α1為殘余油飽和度下水相的相對(duì)滲透率，即Krw(Sor);α2為束縛水飽和度下油相的相對(duì)滲透率，即Kro(Swi)。

上述公式為Willhite 編著的經(jīng)典教材《Waterflooding》中關(guān)于油水兩相的相對(duì)滲透率計(jì)算廣泛采用的公式［1］，表明該公式具有較強(qiáng)的適用性。

值得注意的有兩點(diǎn):①公式中規(guī)定了參數(shù)m 和n的一般經(jīng)驗(yàn)為2～4，該限定范圍通過實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到，Willhite 在應(yīng)用該公式時(shí)也是用于相對(duì)滲透率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合回歸，而本文則是在考慮宏觀的油藏生產(chǎn)數(shù)據(jù)的情況下對(duì)相對(duì)滲透率曲線進(jìn)行自動(dòng)擬合，因此不排除存在參數(shù)m 和n 超出該限定范圍的可能性;②盡管公式規(guī)定參數(shù)α1和α2為端點(diǎn)處的相對(duì)滲透率(對(duì)于給定的相對(duì)滲透率數(shù)據(jù)，為固定值)，但正如數(shù)值模擬歷史擬合過程中也常通過微調(diào)相對(duì)滲透率曲線端點(diǎn)處的相對(duì)滲透率來擬合含水率，本文考慮高含水后期油藏和原油物性的變化以及生產(chǎn)數(shù)據(jù)后，應(yīng)當(dāng)將參數(shù)α1和α2作為可變參數(shù)處理，而不將其設(shè)置為固定的端點(diǎn)相對(duì)滲透率透率值。

綜上所述，相對(duì)滲透率曲線表達(dá)式(6)、式(7)中存在4 個(gè)可變參數(shù)，這些參數(shù)與儲(chǔ)層微觀孔隙結(jié)構(gòu)及宏觀生產(chǎn)動(dòng)態(tài)特征有關(guān)。只要確定了參數(shù)m，n，α1，α2就可通過式(6)和式(7)計(jì)算相對(duì)滲透率曲線。為此，提出了相對(duì)滲透率曲線的校正步驟為:①根據(jù)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)及水驅(qū)特征曲線，得到實(shí)際含水-采出程度曲線;②根據(jù)式(6)、式(7)，結(jié)合初始相對(duì)滲透率曲線，得到初始m，n，α1，α2;③根據(jù)式(5)計(jì)算含水率，根據(jù)式(4)計(jì)算理論采收率，作出理論含水-采出程度曲線;④將理論含水率-采出程度曲線與實(shí)際含水率-采出程度曲線進(jìn)行對(duì)比，誤差大時(shí)調(diào)整參數(shù)m，n，α1，α2，重復(fù)式(3)-(4);直至達(dá)到允許誤差范圍內(nèi)，得到擬合后的m，n，α1，α2;⑤根據(jù)擬合得到的m，n，α1，α2及式(6)、式(7)計(jì)算得到校正后的相對(duì)滲透率曲線。

下面通過非線性優(yōu)化方法得到上述4 個(gè)參數(shù)。

3 有約束的非線性優(yōu)化求解方法

給定含水飽和度分布Swk，問題可以描述為:

約束條件為:

式中:fwcal和fw分別表示理論計(jì)算和實(shí)際的含水率，小數(shù);Swk表示含水飽和度的第k 個(gè)節(jié)點(diǎn);參數(shù)m，n，α1，α2為待確定參數(shù)。

為了準(zhǔn)確地描述相對(duì)滲透率曲線的形態(tài)，引入如下的新的約束條件:

式中:a 和b 為待定參數(shù)，需要通過擬合實(shí)測(cè)相對(duì)滲透率曲線得到。

式(13)兩邊取對(duì)數(shù)得到:

該問題的約束條件為非線性的冪函數(shù)，因此式(9)—式(14)構(gòu)成的是有約束的非線性規(guī)劃問題?？赏ㄟ^迭代求解目標(biāo)函數(shù)最小值，即使得理論計(jì)算的含水率與實(shí)際含水率誤差最小，從而得到所求待定參數(shù):α1，α2，m 和n。

采用著名的廣義既約梯度(GRG，Generalized Reduced Gradient Method)算法求解，該方法是由Abadie和Carpentier 成功地把Wolfe 既約梯度法推廣于求解帶非線性等式約束的情形而得出。數(shù)值實(shí)例表明，GRG 法是目前求解約束非線性最優(yōu)化問題的最有效的方法之一。詳細(xì)請(qǐng)參見文獻(xiàn)［19］，這里列出其基本求解步驟。

GRG 主要是通過將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題求解。首先將非線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)用非基變量來表示基變量，獲得只包含非基變量的簡(jiǎn)約數(shù)學(xué)模型(Economic Mathematical Model)，其迭代格式為:

采用如同梯度法相同的搜索方向進(jìn)行搜索:

迭代開始后，通過反復(fù)求解線性代數(shù)方程組(15)，直到滿足某一給定的精度要求為止。

4 應(yīng)用實(shí)例

吐哈溫西3 區(qū)塊是一個(gè)地層傾角7°～16°的斷背斜構(gòu)造，目的層位為中侏羅統(tǒng)三間房組，埋藏深度為2 300～2 600 m，主要為辮狀河三角洲沉積，儲(chǔ)層平均孔隙度15.9%，平均滲透率51 ×10-3μm2，屬于中孔低滲儲(chǔ)層，非均質(zhì)性嚴(yán)重。原油屬弱揮發(fā)輕質(zhì)原油，原油地下粘度為0.626～0.681 mPa·s，油水粘度比接近1。區(qū)塊主體采用強(qiáng)化注采的五點(diǎn)法井網(wǎng)開采，井網(wǎng)密度為40 口/km2。通過生產(chǎn)數(shù)據(jù)回歸，得丙型特征曲線中的待定常數(shù)β=0.575。

該區(qū)塊油水粘度比低，導(dǎo)致水驅(qū)油過程近似活塞式驅(qū)替，絕大多數(shù)產(chǎn)量都在低含水階段采出，一旦見水油井水淹嚴(yán)重，產(chǎn)量急劇下降。因此相對(duì)滲透率曲線等滲點(diǎn)之前的低含水采出階段的數(shù)據(jù)對(duì)于反映該類型油藏的滲流特征是至關(guān)重要的，然而從該區(qū)塊相對(duì)滲透率曲線特征來看，束縛水飽和度與等滲點(diǎn)飽和度之間的相對(duì)滲透率數(shù)據(jù)點(diǎn)較少(圖1)，而且利用相對(duì)滲透率曲線計(jì)算的理論采出程度與實(shí)際采出程度差異較大，導(dǎo)致油藏工程計(jì)算結(jié)果可靠性低。

下面分別從單井和區(qū)塊角度入手，驗(yàn)證本文方法計(jì)算油水相對(duì)滲透率曲線的可靠性。

圖1 巖心實(shí)驗(yàn)測(cè)得油水相對(duì)滲透率曲線Fig.1 Oil-water relative permeability curves from core experiments

4.1 單井相對(duì)滲透率曲線驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)室測(cè)得某巖心的束縛水飽和度0.334 4，殘余油飽和度為0.349 7，油水相對(duì)滲透率曲線如圖1 所示。從圖1 中可以看出:原始相對(duì)滲透率曲線束縛水飽和度和等滲點(diǎn)飽和度(Sw=0.48)之間的數(shù)據(jù)點(diǎn)缺失，對(duì)低含水流動(dòng)階段的描述能力較差，而輕質(zhì)油油藏絕大多數(shù)的產(chǎn)量在無水采油期或低含水階段采出，采用原始的相對(duì)滲透率曲線勢(shì)必會(huì)造成與生產(chǎn)特征不符。

運(yùn)用本文的非線性優(yōu)化方法對(duì)該井段的生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合，得到待定參數(shù):

通過公式(6)—公式(8)得到油水相對(duì)滲透率曲線表達(dá)式為:

圖2 校正后油水相對(duì)滲透率曲線Fig.2 Oil-water relative permeability curves after correction

圖3 原始相對(duì)滲透率和校正后相對(duì)滲透率生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合效果對(duì)比Fig.3 Comparison of production history fitting effects between the original and corrected oil-water relative permeability

圖2 為通過本文非線性優(yōu)化方法對(duì)生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合后得到的油水相對(duì)滲透率曲線。從圖中可以看出，校正后的相對(duì)滲透率曲線可以反映整個(gè)流動(dòng)階段的特征，有效降低了線性插值的誤差，提高了數(shù)值模擬計(jì)算的收斂速度。

為了驗(yàn)證求得相對(duì)滲透率曲線的可靠性，分別采用原始相對(duì)滲透率曲線和校正后相對(duì)滲透率曲線計(jì)算含水率-采出程度關(guān)系與生產(chǎn)數(shù)據(jù)對(duì)比(圖3)。圖3中原始相對(duì)滲透率曲線與生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合較差，由于早期的數(shù)據(jù)點(diǎn)缺失，理論計(jì)算fw-R 曲線在采出程度36%之前沒有數(shù)據(jù)點(diǎn)，開發(fā)后期含水率也與實(shí)際情況存在較大差距;校正后的相對(duì)滲透率曲線反映了整個(gè)流動(dòng)階段的特征，尤其在采出程度22%之前的低含水采出階段與生產(chǎn)數(shù)據(jù)符合程度較高，雖然個(gè)別數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差較大，但都在允許的誤差范圍內(nèi)，偏離的數(shù)據(jù)點(diǎn)可能是由于人為措施造成的含水率波動(dòng)。

4.2 區(qū)塊平均相對(duì)滲透率曲線驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的可靠性，選取溫西3區(qū)塊統(tǒng)計(jì)關(guān)系式確定原始平均油水相對(duì)滲透率曲線和數(shù)值模擬歷史擬合調(diào)整后的油水相對(duì)滲透率曲線作為參考，與本文確定出的油水相對(duì)滲透率曲線進(jìn)行對(duì)比。

溫西3 區(qū)塊采用非穩(wěn)態(tài)法測(cè)定儲(chǔ)油層的油水相對(duì)滲透率曲線，綜合巖樣的孔隙結(jié)構(gòu)、油藏巖石的表面潤(rùn)濕性及油水性質(zhì)等，對(duì)獲得的油水相對(duì)滲透率曲線進(jìn)行篩選，選擇7 塊代表性較好的巖樣，獲得了相應(yīng)油藏的平均油水相對(duì)滲透率曲線。

圖4 為本文計(jì)算相對(duì)滲透率曲線(優(yōu)化Krw和優(yōu)化Kro)與原始平均相對(duì)滲透率曲線(初始Krw和初始Kro)和歷史擬合相對(duì)滲透率曲線(simu-w 和simu-o)的對(duì)比圖。

圖4 不同方法獲得的油水相對(duì)滲透率曲線對(duì)比Fig.4 Oil-water relative permeability curves from different methods

圖5 采用校正后油水相對(duì)滲透率曲線計(jì)算無因次采液和采油指數(shù)曲線Fig.5 Dimensionless oil and liquid production index curves calculated by using new corrected oil-water relative permeability curves

從圖中可以看出，原始平均相對(duì)滲透率曲線中水相對(duì)滲透率透率偏低，與生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的低采出程度下即達(dá)到高含水的事實(shí)不符;通過對(duì)該區(qū)塊20年生產(chǎn)歷史的擬合校正后，水相對(duì)滲透率透率曲線整體提高，殘余油飽和度對(duì)應(yīng)的水相對(duì)滲透率透率從初始的0.349 8 提高到0.5;本文計(jì)算的相對(duì)滲透率曲線水相對(duì)滲透率透率曲線與歷史擬合較符合，驗(yàn)證了本文方法的可靠性。

圖5 為采用校正后的相對(duì)滲透率曲線計(jì)算了該區(qū)塊的無因次采油和采液指數(shù)［20-24］隨含水率變化。從圖中可以看出，含水率小于20%低含水階段無因次采液、采油指數(shù)快速下降，含水率達(dá)到20%中含水階段，無因次采液指數(shù)下降幅度不大，而無因次采油指數(shù)仍以較快速度下降;開采后期高含水后期含水率達(dá)到90%時(shí)，無因次采液指數(shù)有所回升，但上升幅度不大，此時(shí)無因次采油指數(shù)非常低，反映了輕質(zhì)油藏開發(fā)后期產(chǎn)液量低、產(chǎn)油量低的特點(diǎn)。

5 結(jié)論

1)提出了一種利用生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)校正油藏相對(duì)滲透率曲線的新方法，通過吐哈溫西3 區(qū)塊單井和區(qū)塊驗(yàn)證表明該方法是可靠的，可以用于缺乏實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)對(duì)相對(duì)滲透率曲線進(jìn)行估算，也可用作在歷史擬合前對(duì)相對(duì)滲透率曲線進(jìn)行預(yù)處理。

2)該方法具有4 個(gè)方面的優(yōu)勢(shì):彌補(bǔ)實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)缺失的不足，降低數(shù)值模擬對(duì)相對(duì)滲透率曲線進(jìn)行線性插值的誤差;需要數(shù)據(jù)量少，僅使用生產(chǎn)產(chǎn)量數(shù)據(jù);可以反映高含水后期物性參數(shù)的變化對(duì)開發(fā)動(dòng)態(tài)的影響;計(jì)算的油水相對(duì)滲透率曲線形態(tài)良好，克服了曲線上凸。

3)相對(duì)滲透率曲線涉及因素較多，實(shí)際生產(chǎn)過程含水率中可能包含了其他因素造成的產(chǎn)水量，例如鄰近的注采井網(wǎng)、加密井和井網(wǎng)驅(qū)替面積變化等，這些影響尚未體現(xiàn)在本文校正方法中，需要進(jìn)一步對(duì)這些因素進(jìn)行研究。

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