齊建軍，譚 林，郭 波，雷洪濤

1)國防科學技術大學信息系統(tǒng)與管理學院，長沙410073;2)國防科學技術大學人文與社會科學學院，長沙410073

串聯可修系統(tǒng)在多階段任務系統(tǒng)中最為常見，但采用解析計算其任務可靠性卻非常困難. 從軍事行動的決策方式來看，裝備的任務可靠性評估往往是眾多決策依據之一，與一般的任務可靠性評估有所差別. 任務可靠性的評估方法必須滿足一定精確性要求，但評估結果的細微誤差并不會在較大程度上對決策有所影響. 若任務可靠性評估結果的真實值是0.98 或0.981，這對決策影響大致相同. 評估必須簡捷，這是戰(zhàn)場瞬息萬變的需要，耗費大量時間和精力評估任務可靠性往往錯失戰(zhàn)機.

現有研究大多集中于對可修系統(tǒng)多階段任務可靠性的精確評估，主要方法有:故障樹分析方法［1］、馬爾科夫模型［2］、二元決策圖方法［3］和Petri網模型［4-6］等. 文獻［7-9］研究不同維修保障以及備件條件下多階段任務成功概率模型;文獻［10-11］采用仿真方法研究可修系統(tǒng)任務可靠性評估;文獻［12-13］研究復雜武器系統(tǒng)的任務可靠性評估方法;文獻［14］將戰(zhàn)斗機飛行任務劃分為多個任務剖面評估任務可靠性. 現有的可靠性評估方法都集中于評估結果的精確性，但用于部隊裝備的任務可靠性評估過于繁瑣，難以滿足部隊實戰(zhàn)需求.

本研究結合實戰(zhàn)需求，針對串聯可修多階段任務的特點，采用解析法對任務可靠性進行快速近似評估，分析近似計算法的誤差，采用計算機仿真驗證近似計算結果，并通過示例驗證本研究方法能夠滿足裝備任務可靠性評估的精度要求，且簡便快捷，可操作性強，具有實用價值.

1 串聯可修系統(tǒng)的多階段任務分析

串聯可修系統(tǒng)的多階段任務是指系統(tǒng)任務可以分成多個階段，每個階段都需要不同的部件參與工作，且對應特定的階段任務工作時間，若任一部件發(fā)生故障，則系統(tǒng)必須停止工作，立即展開維修，直至故障修復后系統(tǒng)方可繼續(xù)工作. 串聯可修系統(tǒng)的多階段任務可靠度則可定義為系統(tǒng)完成全部任務階段工作所需總時間小于任務完成時間上限的概率.

串聯可修系統(tǒng)的多階段任務在生活中極為常見，其部件的故障率不變，修復率也不變，變化的僅是部件的串聯方式，例如，靶場打靶包括行軍、展開和打靶等子任務，每個子任務需要不同的子系統(tǒng)參與工作. 如圖1 為一個具體的多階段任務系統(tǒng)，任務要求:A、B、C 3 個子系統(tǒng)在階段1 串聯工作時長;A、B 子系統(tǒng)在階段2 串聯工作時長;B、C 子系統(tǒng)在階段3 串聯工作時長. 只要各階段任務分別完成各自工作量所需時間的總和小于任務要求的時間上限，即可視為任務成功.

圖1 多階段任務示意圖Fig.1 Sketch map of the multi-phased-mission

軍事領域的可修系統(tǒng)往往與裝備的保障水平以及裝備特性相關，具有鮮明的軍事特點. 伴隨裝備技術水平及保障水平的不斷提升，裝備故障往往可以快速定位，在大部分情況下都可以采用快速搶修或更換備件的方式完成裝備維修. 在這種情況下，裝備系統(tǒng)中各部件的故障維修水平差別不大，可以視為修復率相同或相近.

本研究在解決串聯可修系統(tǒng)多階段任務可靠性評估問題過程中，參照現有維修理論及軍事背景的實際需求做出如下假設:①所有部件在單個任務階段的故障率、修復率均服從指數分布;②設備發(fā)生的故障能夠修復如新;③所有部件在不同任務階段的修復率差別不大.

2 可修系統(tǒng)的多階段任務評估模型

串聯可修系統(tǒng)多階段任務可靠性評估模型可以依照串聯可修系統(tǒng)的特點逐層化解，最終將其簡化為串聯可修系統(tǒng)的單階段任務可靠性評估模型.

2.1 串聯可修系統(tǒng)的多階段任務簡化

設系統(tǒng)任務的完成時間上限為S，任務分為k個階段，各階段要求的工作時間分別為T1，T2，…，Tk，每個任務階段中所需的故障維修時間分別記為t1，t2，…，tk，系統(tǒng)中的部件分別記為a1，a2，…，an，且在每個任務階段中，參與該階段任務的所有部件均串聯連接. 部件aj(j = 1，2，…，n)的故障率為λi，修復率為μi，在第i(i = 1，2，…，k)任務階段的工作時間為Tij，所需的故障維修時間記為tij，則

對單個部件j(i=1，2，…，n)而言，其完成所有階段任務所需故障維修時間的概率密度分布函數為

系統(tǒng)多階段任務的成功概率為

定理 部件a 故障率為λ1，修復率為μ1，工作T1時間部件b 修復率為μ1，工作時間為T2，故障率為λ1T1/ T2，則兩者所需故障維修時間的概率分布函數相同.

2.2 串聯可修系統(tǒng)任務可靠性的快速近似評估

則平均修復率為

真實的單次故障修復時間的概率分布函數為

串聯系統(tǒng)任務成功概率為T 時間內發(fā)生的故障次數小于等于t = S -T 時間內發(fā)生的修復次數概率P(T，t)，其可視為部件工作T 時間所需要的累積維修時間小于t 的概率，因此可得

當i = 0 時，P(T，t)= e-λt即為系統(tǒng)不發(fā)生故障連續(xù)工作T 時間的概率.

2.3 串聯可修系統(tǒng)任務可靠性的快速近似評估

【證】

式(12)中，不等式變換可采用數學歸納法證明，過程如下:

當i = 1 時，

則命題成立.

設i = k 時，命題成立，則

式(13)可簡化為

Nk(P'2(t1))- Mk(P'1(t1))≤k × ER1_max.

當i = k +1 時，有

利用i = k 時的結論，則

由于函數P2(t)和P1(t)均為關于時間的概率密度分布函數，則Mk(P'2(t -t1))≤1，P1(t)≤1，P2(t)≤1.因此

即當i = k +1 時，命題成立.

以上說明，采用近似計算法可快速評估串聯系統(tǒng)多階段任務的可靠性，且近似計算的誤差量是可以預計的.

2.4 串聯系統(tǒng)多階段任務成功概率評估方法

串聯可修系統(tǒng)多階段任務的快速近似計算可遵循以下步驟:

1)統(tǒng)計單個部件a1，a2，…，an的工作總時間

3)根據2.2 節(jié)中結論，將所有串聯部件等效為單個部件Q，且計算其相關故障率和修復率;

4)預計單次故障修復時間的最大誤差為

5)預計等效計算結果的最大可能誤差為

若誤差在可接受范圍，則進行下一步，否則不適宜采用該方法;

6)利用單個部件維修時間分布函數公式，計算串聯系統(tǒng)多階段任務完成的時間概率分布函數.

3 示例研究

研究文獻［11］實例，將靶場打靶分解為行軍、展開、打靶、撤收和行軍5 個階段任務，如表1.

文獻［11］中，系統(tǒng)任務的5 個階段只有第1 和第5 階段允許維修，本研究將其中所有不可修任務階段更改為允許修理，并追加1 個條件，要求系統(tǒng)累積任務完成時間低于6 h. 某裝備的組成單元故障率和修復率數據如表2.

根據2.3 步驟快速評估該多階段任務可靠性:

表1 多階段任務數據Table 1 Data of the multi-phase mission

表2 實際的裝備故障率數據Table 2 Failure rate data of the equipments

3)將串系統(tǒng)多階段任務等效為單個部件S 的單個階段任務，S 的故障率為0.129 h-1，修復率為1.446 9 h-1;

4)預計單次故障修復時間的最大可能誤差，令μ1= 2.2，μ2= 1，λ1= 0.002，λ2= 0.001 091，則可采用2.3 節(jié)方法繪制單次故障修復時間的概率密度函數誤差曲線，求得ER1_max= 0.03，如圖2;

表3 等效裝備故障率數據Table 3 Equivalent failure rate data of the equipments

圖2 單次故障修復時間的概率密度函數誤差Fig.2 Probable error of the density probability function with one failure time

5)預計等效計算結果的最大可能誤差，ER =λT × ER1_max= 0.021 2，這個誤差是可接受的;

6)計算S 的任務完成時間概率分布函數，即打靶任務的完成時間概率分布函數為

驗證等效計算準確性的最有效方法是對“打靶”任務進行仿真，并分繪制和等效計算的任務可靠性曲線，如圖3. 其中，曲線1 為等效近似計算評估曲線，曲線2 為依據實際情況仿真的評估曲線(仿真100 000 次). 曲線1 和曲線2 形狀相同，在起始點和終止點的數值基本一致，中間段數值存在差別，誤差量最大值為0.019 45，并且誤差量在預計范圍內(小于ER). 圖4 為等效計算方法的任務成功概率誤差曲線圖.

圖3 任務成功時間概率分布函數Fig.3 probability of the mission time

圖4 等效計算方法的任務成功概率曲線的誤差Fig.4 Probable error of the equivalent method

結 語

本研究針對串聯系統(tǒng)多階段任務的成功概率問題，提出在部件的故障率和修復率服從指數分布情況下，采用近似計算的方法快速近似評估串聯系統(tǒng)多階段任務可靠性，并對近似計算結果誤差進行預計. 此方法有別于運用馬爾科夫過程分析可修系統(tǒng)的各項參數指標，大大簡化計算過程，解決了串聯系統(tǒng)多階段任務的可靠性評估問題. 特別是在部隊采取戰(zhàn)場搶修情況下，故障能迅速診斷并排除，使各部件的修復率差別不大，方法近似評估結果的精度能達到較理想的效果，適合部隊裝備部門在作戰(zhàn)任務前對裝備的任務可靠性進行快速評估. 當多階段任務系統(tǒng)組成復雜，同時包含串聯和并聯時，本方法不再適用. 因此，如何用這種近似算法求解更加復雜的多節(jié)段任務系統(tǒng)任務可靠性評估將是下一步研究的重點.

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