王麗梅，董桉吉

(沈陽工業(yè)大學 電氣工程學院，沈陽 110870)

0 引言

超磁致伸縮材料(GMM)在磁場作用下產(chǎn)生磁致伸縮效應，具有磁致伸縮系數(shù)大、響應速度快、磁-機械耦合系數(shù)大、輸出力大和能力密度大等優(yōu)點，可實現(xiàn)準確定位、提高輸出功率，在精密工程領域具有獨特的應用前景。

然而在實際應用中，致動器的輸入電流與輸出位移呈現(xiàn)顯著的非線性以及材料固有特性決定的滯回性［1］。為了消除這些非線性因素給定位系統(tǒng)帶來的影響，利用神經(jīng)網(wǎng)絡的非線性映射能力與自學習優(yōu)點，在線設計了一個神經(jīng)網(wǎng)絡PID 控制器對致動器的磁滯進行補償。要進行較為精準的補償和控制，選擇合適的磁滯模型是必要的。Restorff 和Clark等首先根據(jù)鐵質(zhì)物質(zhì)的現(xiàn)象學磁滯模型提出了超磁致伸縮材料的Preisach 磁滯模型，該模型非線性預測能力強、通用性好，缺點是只反映輸入輸出間的特性［2］。Calkins 等采用Jiles-Atherton 模型和二次疇轉磁致伸縮模型，建立了超磁致伸縮致動器的物理磁滯模型，該模型為低階微分方程，物理思想清晰、計算量少，在應用中容易實現(xiàn)［3］。對致動器的位移定位控制主要有:PID 控制是工業(yè)控制中應用最廣泛的一種基本控制規(guī)律，雖然也能減少致動器的磁滯，但其控制效果不理想，而且調(diào)整參數(shù)使其滿足要求往往需要豐富的經(jīng)驗和反復的嘗試，工作量大卻未必能達到目的［4］;對致動器實施自適應滑模變結構控制，趨近滑模面，減小抖陣，但對于高頻情況，對定位影響較大［5］;利用Jiles-Atherton 的反向運動時磁化強度變化與磁場強度變化的對于關系，給定反向起始點迭代初值，實現(xiàn)磁滯補償?shù)姆椒ǎ枰聞悠鞯木_模型與磁滯環(huán)的寬度［6］;在迭代補償?shù)幕A上設計了重復控制補償器，這種基于復合前饋補償?shù)腜ID 控制方法提高GMA 精度，避免直接求求Preisach 逆模型，高頻下建模精度受影響大［7］。

本文基于Jiles-Atherton 磁滯模型，依據(jù)GMM 材料的非線性壓磁方程、致動器的結構力學原理，建立超磁致伸縮致動器的動態(tài)模型［8］。運用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡PID 整定原理，設計了增量式PID 控制器，加快了神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的學習速度并對致動器進行有效補償，有效抑制擾動對系統(tǒng)的影響。

1 致動器系統(tǒng)的動態(tài)模型

1.1 超磁致伸縮系統(tǒng)的磁滯非線性動態(tài)模型

基于Jiles-Atherton 模型，分五步建立外加磁場H與磁化強度M 的關系:①確定材料的有效磁場He;②依據(jù)Boltzman，確定無磁滯磁化強度Man(Man是磁疇轉動產(chǎn)生的，是完全可逆的);③確定疇壁位移產(chǎn)生的不可逆磁化強度Mirr;④確定疇壁彎曲產(chǎn)生的可逆磁化強度Mrev;⑤總磁化強度M 為Mirr和Mrev之和。具體表達式如下:

式中，H 為外加磁場，其值為激勵線圈上通入的電流I產(chǎn)生的驅(qū)動磁場Hd= nI(n 為單位線圈長度的匝數(shù))和永磁鐵產(chǎn)生的偏置磁場Hb之和;αM 為材料磁疇間相互作用產(chǎn)生的磁場;Hσ為預應力σ0引發(fā)的磁場，其計算式為Hσ= 9λsσ0M (2μ0Ms2)。參數(shù)α～ ≡α +9λsσ0(2μ0Ms2);μ0為真空中的磁導率，μ0= 4π ×10-7H/m;當H 減少時，參數(shù)δ ≡-1。α、a、k、c 和Ms分別為疇壁相互作用系數(shù)、無磁滯磁化強度形狀系數(shù)、可逆系數(shù)和飽和磁化強度。

在一定應力作用下，各向同性材料的磁致伸縮λ與磁化強度M 的近似關系為基于能量基礎的二次疇轉模型:

式中，M 和Ms定義同上，λs為飽和磁致伸縮。

1.2 致動器的動力學模型

致動器建模的關鍵是建立超磁致伸縮棒的數(shù)學模型，其目標是建立輸入電流和輸出位移之間的關系。為實現(xiàn)對超磁致伸縮致動器的動力學模型，作如下假設:①Terfenol-D 棒和線圈同長，棒內(nèi)部磁場強度H、磁感應強度B、應變ε 和應力σ 均勻，棒輸出位移y = εlr，輸出力F = σA，lr、Ar分別為Terfenol-D 棒的長度、橫截面積;②超磁致伸縮致動器在長度方向上認為單自由度的分離元件彈簧、阻尼器、質(zhì)量組成;③考慮施壓連接剛度，認為負載是一個質(zhì)量——彈簧——阻尼負載;④在整個過程中，Terfenol-D 棒一段位移為0，另一端始終與負載有相同的位移y、速度和加速度¨y;⑤永久磁鐵與彈簧線圈等效成與負載并聯(lián)的形式，并且與負載的移動一致［9］。基于上述假設，圖1 是將致動器的動力學過程簡化為等效單自由度力學模型。

圖1 致動器的等效力學模型

其中N、ls、I 分別為激勵線圈匝數(shù)、長度、和輸入電流;d、lr、ρ、Ar、CD則分別為Terfenol-D 棒的直徑、長度、質(zhì)量密度、內(nèi)部阻尼系數(shù)，Kr、Cr、Mr分別為D 棒的等效阻尼剛度系數(shù)、等效阻尼系數(shù)、等效質(zhì)量;Kl、Cl、Ml分別為等效剛度系數(shù)、等效阻尼系數(shù)、等效質(zhì)量;Mt、Kt、Ct分別為致動器的永久磁鐵與線圈等效的質(zhì)量、等效的剛度系數(shù)、等效的阻尼系數(shù);Ks為負載與Mt等效作用系數(shù)，取值大小為10。F、y、σ0分別為Terfenol-D 棒的輸出力、位移和受到的預應力，F(xiàn)l為負載對Terfenol-D 棒的作用力。

考慮Terfenol-D 棒質(zhì)量與阻尼方程可寫為:

基于第四個假設，可知負載對Terfenol-D 的作用力為Fl= (Ml¨y + Cl+ Kly)+ (KsMt¨y + KsCt+KsKty)，根據(jù)牛頓第二定律，則Terfenol-D 棒的輸出力F = - Fl，即:

其中:

對(9)式進行拉式變換，得到致動器的輸出位移:

其中s 為Laplace 算子。

根據(jù)Jiles-Atherton 模型式(1)～(5)、二次疇轉磁致伸縮模型(6)式、位移動態(tài)模型(11)式，得到致動器的磁滯非線性動態(tài)模型。應用此模型，可以求出在外加磁場H = Hb+Hd作用下，致動器的輸出位移。外加磁場H 為激勵線圈上通入的電流產(chǎn)生的驅(qū)動磁場和偏置線圈產(chǎn)生的磁場之和，可以確定致動器的輸入電流與輸出位移的關系。

2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡整定PID 控制致動器

2.1 控制系統(tǒng)的結構圖

神經(jīng)網(wǎng)絡控制器通過對傳統(tǒng)控制器輸出進行學習，在線調(diào)整網(wǎng)絡的權值，使輸出能夠跟蹤給定的輸入。其中GMA 是驅(qū)動機構，yd是給定的參考輸入信號，u 是GMA 輸入電流，y 是GMA 輸出位移，ym是神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出，e 為參考輸入信號與GMA 輸出位移的偏差，em是y 與ym的偏差，見圖2。

2.2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡整定的PID 控制

RBF 網(wǎng)絡結構簡單(圖3)，是最優(yōu)的非線性函數(shù)逼近器，是一種具有單隱含層的三層前向網(wǎng)絡，包含輸入層、單隱層和輸出層。輸入層只起信號傳輸作用，從輸入層到隱含層的網(wǎng)絡權值固定為1，隱層節(jié)點的激活函數(shù)采用高斯徑向基函數(shù);由輸入到輸出的映射是非線性的，而隱含層空間到輸出空間的映射是線性的，從而大大加快了學習速度并避免局部極小問題。

圖2 RBF 網(wǎng)絡整定PID 控制框圖

圖3 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡結構

在RBF 網(wǎng)絡結構中，x =［x1，x2，…，xn］T為網(wǎng)絡的輸入向量。設RBF 網(wǎng)絡的徑向基向量h = ［h1，h2，…，hm］T，其中hj為高斯基函數(shù):

其中網(wǎng)絡的第j 個節(jié)點的中心矢量為Cj= ［cj1，cj2…cji…cjn］T，i = 1，2，…，n。

設網(wǎng)絡的基寬向量為:

bj為節(jié)點j 的基寬度參數(shù)，且為大于零的數(shù)。網(wǎng)絡的權向量為:

辨識的網(wǎng)絡輸出為:

取RBF 網(wǎng)絡逼近的性能指標為:

根據(jù)梯度下降法，輸出權、節(jié)點中心及節(jié)點中心矢量的迭代算法如下:

上式中，η 為學習速率，α 為動量因子。

對象的輸出對控制輸入變化的靈敏度信息的算法為:

其中x1= Δu(k)。

采用增量式PID 控制器，控制誤差為:

PID 三項輸入為:

控制算法為:

神經(jīng)網(wǎng)絡整定指標為:

kp，ki，kd的調(diào)整采用梯度下降法:

3 仿真結果及分析

根據(jù)建立的致動器的磁滯模型和動力學模型，結合輸入電流與輸出位移的關系，根據(jù)文獻［10］給出的數(shù)據(jù)進行仿真實驗:在預應力σ0= - 6.69 ×106N/m2，交流頻率1Hz 時，Ms= 7.65 ×105A/m，a =7012A/m，k = 3283A/m，α = 0.032，c = 0.18。Terfenol-D 棒的d = 12.7mm，lr= 115mm;激勵線圈N = 1200 匝;負載Ml= 0.5kg，= 3 ×1010N/m2。Mr= 0.045kg，kr= 3 × 107N/m，Cr= 3.307 ×103Ns/m，彈簧的剛度系數(shù)kl= 5.67 × 105Ns/m，CD= 3 ×106Ns/m2，阻尼系數(shù)Cl= 1 ×103Ns/m。選取參數(shù)η = 0.65，α = 0.057，cji=［0 0.02 0.01 0 0.01 0;0 0 0.01 0 0.01 0.02;0 0 0 0 0 0.01］，bj= ［1 1 1 1 1 1］T。

當輸入電流I = sin(2πt)時，圖4 是致動器輸出的位移曲線，從圖4 中可以看出當電流為0 時，其位移并不是0，存在著明顯的磁滯。

針對致動器存在的磁滯，運用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡PID整定理論設計控制器，給定系統(tǒng)的參考輸入yd為50μm，使輸出跟蹤參考輸入。

為了驗證PID 整定的致動器的優(yōu)越性，取輸入信號為1A，則輸入X = ［1，y］，網(wǎng)絡的初始權值取隨機值。

圖4 GMA 輸出位移曲線(輸入為正弦信號)

圖5 和圖6 分別表示未加入RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡PID整定與加入RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡PID 整定的系統(tǒng)響應曲線，實線代表給定輸入曲線，虛線代表系統(tǒng)輸出曲線即跟蹤曲線。當給系統(tǒng)分別加入相同的擾動后，可以明顯地看出:圖5 中的跟蹤曲線在0.1s前有明顯的超調(diào)，大約在0.35s時與給定輸入曲線重合;圖6 中系統(tǒng)的輸出在0.1s 前可以較快的跟蹤致動器的輸入，跟蹤效果好，超調(diào)量較小，經(jīng)RBF 整定的PID 控制有效地對致動器的磁滯進行補償，而且根據(jù)式(29)可以自整定最優(yōu)參數(shù)值。

圖5 未整定的PID控制響應

圖6 RBF 整定PID控制響應

若考慮Terfenol-D 棒振動對致動器帶來的干擾影響G，則致動器的輸出變?yōu)?

為驗證RBF 整定PID 控制的抗干擾能力，在仿真t = 0.1s 時(G = 100N)對兩種控制方式加入干擾。圖7 是未加入整定的PID 控制方式下加入干擾時的仿真曲線，0.1s 后曲線經(jīng)大約0.5s 的時間跟蹤到輸入信號;圖8 是加入整定的PID 控制方式下加入干擾后的仿真曲線，0.1s 加入干擾后可快速自調(diào)整，抑制干擾能力明顯提高。

圖7 在PID 控制下有干擾的響應

圖8 RBF 整定下有干擾的響應

為進一步試驗所設計的控制器對位移的控制效果，輸入位移r = 35 +25sin(2πt)μm。

圖9 中實線軌跡為輸入的參考位移，虛線軌跡為增加前饋補償控制器后的輸出位移，可以看到致動器的輸出能夠跟蹤給定的輸入，達到了控制目的，從而實現(xiàn)了位移的精密定位控制。

圖9 輸入與輸出信號跟蹤

4 結束語

本文通過建立超磁致伸縮致動器的Jiles-Atherton 磁滯模型和系統(tǒng)動力學模型，設計了基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡整定的PID 控制器，實現(xiàn)了對致動器輸出的補償控制，提高了輸出對參考輸入的位移跟蹤速度，而且RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡整定的PID 三個參數(shù)能夠自整定，且該控制方法能夠兼顧跟蹤能力和抑制干擾能力，有效減小了磁滯非線性的影響，控制效果理想。

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