李學鋒，楊薇娜

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

破產理論是風險理論的主要研究內容，而風險模型則是風險理論的主要研究對象，其中破產概率是度量風險的重要指標，因此，對破產概率的研究是保險風險模型的重要研究課題.最早的經典風險模型是由Cramer于1930年提出來的.后來，許多學者通過在經典模型中引入一些對模型有影響的因素，比如在文獻[1，2]中考慮了利率因素，對經典風險模型進行推廣.而且，在很多早期的推廣模型中，大多假設保單到達過程與索賠到達過程相互獨立，但由于保險業(yè)的不斷發(fā)展，保險公司的規(guī)模逐漸增大，保險業(yè)務不斷增加，而且社會經濟環(huán)境、生活環(huán)境的變化，競爭、利率、通貨膨脹率的變化及各種可能發(fā)生的災害等諸多不確定因素的影響，國內外相關研究工作者們也不斷對風險模型逐步進行改進.在文獻[3] 中，Dufresne和Gerber研究了帶干擾的復合Poisson過程的風險模型；文獻[4]研究了索賠相關過程的風險模型；文獻[5，6]研究了索賠過程是稀疏過程的風險模型并得到了相關結論；文獻[7]將單一險種推廣到雙險種或多險種的風險模型，等等.為了保險公司的長期穩(wěn)定經營并與時俱進，我們應不斷將風險模型合理化，使其更符合保險公司的實際所承擔的風險情況.因此，本文就是在上述工作的基礎上，將風險模型推廣為更一般的情形，即考慮了保險公司的投資利率和通貨膨脹率下帶干擾項且索賠過程是保單到達過程的稀疏過程的雙險種風險模型，并利用鞅分析得到了該模型的破產概率滿足的Lundberg不等式及最終破產概率的精確表達式.

1 模型的定義

定義1 設(Ω,F,P)是完備的概率空間(本文所有的隨機變量都定義在此空間)，則對u≥0,t≥0，保險公司在t時刻的盈余為：

(1)

對上述模型做如下假設：

(1) {M1(t),t≥0}與{M2(t),t≥0}分別是參數(shù)為λ1,λ2的Poisson過程；

(2) {N1(t,p1),t≥0}是{M1(t),t≥0}的一個p1-稀疏過程，0

{N2(t,p2),t≥0} 是{M2(t),t≥0}的一個p2-稀疏過程，0

σE[W(t)]=λ1α1+λ2α2-λ1p1β1-λ2p2β2>0,

定義2 保險公司的破產時刻T=inf{t∶t≥0,U(t)<0}，最終破產概率為：

φ(u)=P{T<∞|U(0)=u}.

(2)

(3)

假設Li(r)<∞，且顯然當r→∞時，有Mi(r)→∞，i=1,2.

2 相關引理

引理1 對于盈余過程{S(t),t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得：

E[e-rS(t)]=etg(r).

(4)

證明

引理2 方程g(r)=0存在唯一正解R，稱之為調節(jié)系數(shù).

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證明由引理1知g(0)=0，又:

故:

g′(0+)=-(λ1α1+λ2α2-λ1p1β1-λ2p2β2)<0,

所以當r>0時g(r)是凸函數(shù)，又g(0)=0，且顯然有當r→+∞時，g(r)→+∞，因此，g(r)=0存在唯一正解，記為R.此時稱g(r)=0為調節(jié)方程，稱R為調節(jié)系數(shù).證畢.

定義4 對于盈利過程{S(t),t≥0}，定義事件流：

引理3 令Mu(t)=

(5)

引理4[9]破產時刻T是FS停時.

3 主要結果

定理1 風險模型(1)的最終破產概率φ(u)滿足Lundberg不等式：

φ(u)≤e-r0u(1+i-j),

證明由引理4知T是FS停時，取t0<∞，則易知T∧t0是FS停時，利用有界停時定理知，

e-ru(1+i-j)=Mu(0)=E[Mu(T∧t0)]=

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[Mu(T∧t0)|T>t0]P(T>t0)≥

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)=

E[Mu(T)|T≤t0]P(T≤t0).

(6)

又當T<∞時，有u(1+i-j)+S(T)≤0,所以e-r[u(1+i-j)+S(T)]≥1，故

φ(u)≤e-r0u(1+i-j).

定理2 風險模型(1)的最終破產概率為：

(7)

其中R為調節(jié)系數(shù).

證明根據(jù)式(6)，取r=R,得：

e-Ru(1+i-j)=E[e-RU(T)|T≤t0]P(T≤t0)+E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0).

(8)

以I(A)表示集合A的示性函數(shù)，則：

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0)=E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}],

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}]≤1，且根據(jù)強大數(shù)定律可知，當t0→∞時,U(t0)→∞,a.s.

由控制收斂定理可知

在式(8)兩端令t0→∞即得證.

4 結語

本文研究了一類帶雙稀疏過程的雙險種風險模型，所得到的結果對保險公司的經營具有一定的理論指導意義.從最終破產概率可以看出，為確保保險公司的穩(wěn)定經營，一方面，保險公司必須具備足夠的初始準備金；另一方面，公司也不能一味為了獲得足夠多的保單而盲目降低保費或高額承保.因此，保險公司為降低索賠比例，減小風險，必須在獲得盡可能多的保單的同時，還要做好對客戶的調查研究，以便厘定合理的保費與索賠額.同時，保險公司也不能忽視投資利率、通貨膨脹率及一些隨機擾動對公司穩(wěn)定經營的影響，往往這些因素也直接關系到保險公司的生死存亡.當然，保險公司的實際經營運作情況可能更加復雜，本文所建模型乃至現(xiàn)有的所有風險模型都還有待進一步改進，因此，破產模型仍然是廣大相關研究者感興趣的研究對象.

[1] Cai J.Discrete time risk models under rates of interest[J].Probability in the Engineering and Information Sciences,2002,16:309-324.

[2] Cai J,Dickson D.Ruin probabilities with a Markov chain interest model[J]. Insurance:Mathematics and Economics,2004,35:513-525.

[3] Dufresne F,Gerber H U. Risk theory for the compound Poisson process that is perturbed by diffusion[J].Insurance:Mathematics and Economics,1991,10:51-59.

[4] Partrat C.Compound model for two dependent kinds of claim[J]. Insurance:Mathematics and Economics,1994,15:219-231.

[5] Luo J H ,Fang S Z.The risk model about that claims are thinning process[J].(In Chinese)Guangxi Science,2004,11(4):306-308.

[6] 李學鋒.帶干擾且索賠為稀疏過程的雙復合Poisson風險模型[J].中南民族大學學報：自然科學版，2012,31(2)：120-122.

[7] Zhang Zhimin,Yang Hu.The compound Poisson risk model with dependence under a multi-layer dividend strategy[J].Appl Math J Chinese Univ,2011,26(1):1-13.

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