胡金杰 陳志祥

(紹興文理學院 數(shù)學系，浙江 紹興312000)

0 引言

理論教學是大學生數(shù)學課程的主要教學方式，大量引理和定理的抽象推導與證明過程是大學數(shù)學的主流教學模式.由于近些年來的擴招等因素，普通大學的大學生對學習數(shù)學的畏懼心逐漸加重，學習數(shù)學的興趣普遍下降.然而，數(shù)學被廣泛而深入地應用于不同的領域，包括科學、工程、醫(yī)學和經(jīng)濟學等，特別是以解決復雜實際問題著稱的應用數(shù)學，越來越被重視.在新的形勢下，高等學校提出了大力加強學生實踐能力培養(yǎng)的總體方向，給數(shù)學教學提出了新的挑戰(zhàn)，同時也是一個難得的機遇.如何切實提高數(shù)學教學的實踐性、創(chuàng)新性就顯得格外重要.

數(shù)學模型課程是一門綜合性強、實踐要求高、與社會實際問題緊密聯(lián)系的應用型課程.改革的目標是以“用數(shù)學”為宗旨，以可視化教學為主要教學途徑，實施“問題驅(qū)動”的研討式學習模式.整體過程大致可描述為：把每套案例看成一個具體的實際問題，作為一個學習單元，學生團隊協(xié)作，邊學邊查邊用，從基礎理論學習到結果輸出及應用推廣，并形成一個小系統(tǒng)，最后撰寫出一篇小論文.本教學改革大力度地改變了傳統(tǒng)的教師講授為主、學生單獨被動接受知識的局面，在多方面體現(xiàn)出改革的顯著成效.

1 可視化的概念

要把復雜而抽象的數(shù)學問題闡述清楚，便于數(shù)學專業(yè)學生和非數(shù)學專業(yè)學生的理解，引入圖形、圖像和序列圖形是一種不錯的選擇.可視化教學是系統(tǒng)化利用圖形圖像輔助教學的新型教學手段，在國外已有較系統(tǒng)研究，在國內(nèi)，可視化教學雖然還有待完善，但在數(shù)學模型建立過程中，特別是數(shù)據(jù)處理、求解過程及結果分析中，化抽象為形象的可視化技術能起到顯著的教學效果.

可視化(Visualization)是利用計算機圖形學和圖像處理技術，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成圖形或圖像在屏幕上顯示出來，并進行交互處理的理論、方法和技術[1].可視化應用領域廣泛，在數(shù)學領域上的應用較多的是科學計算可視化，最常見的是用多幅圖形來表現(xiàn)二維或三維復雜曲線曲面的特征，把計算的結果用圖形直觀地表現(xiàn)出來[2].另一方面的重要用途是把離散的雜亂數(shù)據(jù)用散點圖等方式描述出來，讓研究者可以更直觀地尋找數(shù)據(jù)內(nèi)部可能存在的規(guī)律性.可視化技術已成為研究數(shù)據(jù)表示、數(shù)據(jù)處理、決策分析和結果分析等一系列問題的綜合技術[3]，本文引入的可視化技術主要是其中的科學計算可視化.

科學計算可視化[1，4]是美國國家科學基金會在1987年的一份報告中正式提出的，科學計算可視化的基本含義是運用計算機圖形學或者一般圖形學的原理和方法，將科學與工程計算等產(chǎn)生的大規(guī)模數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖形、圖像，以直觀的形式表示出來.科學計算可視化在教學中的應用，已有些學者作了探索和實踐[5-10]，本文把科學計算可視化引入到教學中，主要在數(shù)據(jù)分析和處理過程、數(shù)學模型的數(shù)值求解過程、模型結果的分析檢驗過程中得到體現(xiàn).具體做法:

(1)做詳細的數(shù)據(jù)分析處理，在多媒體課堂上從多角度展現(xiàn)數(shù)據(jù)的離散特征.從數(shù)據(jù)特征結合機理分析，推演模型的建立過程.

(2)對優(yōu)化過程、微分方程數(shù)值求解過程、網(wǎng)絡學習過程等復雜的過程，給出中間過程的序列圖形，彌補理論教學中無法直接展現(xiàn)的弊病.

(3)對優(yōu)化結果、方程的數(shù)值解和網(wǎng)絡學習的泛化效果等進行圖表分析，進一步分析模型與實際問題的吻合程度.

2 教學模式框架的構建

2.1 理論教學環(huán)節(jié)

對于每一套案例，理論教學環(huán)節(jié)是教學的基礎和先導，為了培養(yǎng)學生理解、分析和解決實際問題的能力，在講授時，需要詳細引入問題的背景，穿插該問題的更一般性、往往也是更復雜化的“一類”社會實際問題.這個環(huán)節(jié)主要分為以下三個部分.

2.1.1 案例的選取

由于整個教學課時有限，數(shù)學模型課程一般選取8到10個主講案例[11]，每個主案例都配上一個指定的輔助案例，由學生自學完成.案例的選擇依據(jù)主要是數(shù)學模型各知識點中的典型實例，并充分考慮知識點覆蓋面和模型的復雜程度.

2.1.2 可視化輔助問題分析和數(shù)據(jù)處理

從教材中遴選的大部分案例，是源自社會實際問題，教材對這些問題往往作了簡化，特別是其數(shù)據(jù)，不但量少，且往往已被處理成理想化的數(shù)據(jù).在進行問題分析時，要一定程度的回歸實際問題的原型，適當擴大樣本數(shù)據(jù)的規(guī)模和復雜性.同時，源于實際問題的數(shù)據(jù)內(nèi)往往蘊含著某些規(guī)律性，數(shù)據(jù)處理的一個重要任務是刻畫出這些潛在的規(guī)律性.在理論課堂上需要做好兩方面教學工作：

(1)在合適的假設下，進行嚴格的理論推演，也即機理分析.抓住問題的內(nèi)在聯(lián)系，進行深入的機理分析.因為機理分析具有較強的理論推演，對于非數(shù)學專業(yè)的學生來說，課堂理解上存在較大困難，需要運用可視化手段來輔助教學.

(2)繪制樣本數(shù)據(jù)的散點圖.為了探究樣本數(shù)據(jù)可能表現(xiàn)出來的特征，基于合理的假設，選取若干量之間的關系，繪制散點圖.對于大部分案例，繪制散點圖是非常有必要的.比如，在講授“牙膏的銷售”案例[11]中，為了了解銷售量與售價、差價、廣告費等究竟是什么樣的關系，可以把銷售量作為因變量，選其他一種或兩種量作為自變量，繪制多幅靜態(tài)的散點圖，來研究數(shù)據(jù)內(nèi)在可能存在的大致函數(shù)關系.本環(huán)節(jié)利用Matlab軟件實現(xiàn)圖形展示并作深入分析.

2.1.3 模型的建立過程

本環(huán)節(jié)是理論課主講的中心內(nèi)容.與教學模式改革前相比，模型建立過程的講授得到了明顯加強，其他諸如知識點的理論證明、模型求解的各種方法介紹等，由于理論要求過高，適當降低了要求，在實踐環(huán)節(jié)中則充分強調(diào)怎么編程實現(xiàn).為了把較抽象的模型建立過程講透，一方面需要引導學生查找學術文獻，并要在小論文中得到充分體現(xiàn)，另一方面要求學生在合理的分析過程中，借助已學的各種知識和參考相關專業(yè)知識一步步地進行推演，每個公式都要有根有據(jù).我們在強調(diào)“用數(shù)學”的同時，不能丟掉數(shù)學的嚴密的邏輯性.

2.2 實踐教學環(huán)節(jié)

學生以3人一組形式進行上機實踐，實驗教學環(huán)節(jié)要解決下列問題：

(1)每組至少1位學生負責搜索文獻、閱讀文獻，以尋求更好的模型參考.

(2)另兩位學生編程以求解模型，編程繪制序列圖以展示模型求解的中間過程.

(3)用圖形、表格和相應文字來展示模型求解的結果，作比較、檢驗及參數(shù)靈敏性分析等，并作撰寫小論文的準備.

實踐環(huán)節(jié)中，教師的示范操作非常關鍵，示范操作的重點在于編程、中間過程圖形展示和結果分析等方面.教師要引導學生完成文獻查閱和編程，解決學生在上機實踐中遇到的各種問題，使學生能在實踐課堂內(nèi)完成主體程序，構建整個小論文的框架，并在課外完成模型的具體求解.實踐教學環(huán)節(jié)是教學模式改革的一個重要環(huán)節(jié)，重點強化圖形化過程，把科學計算可視化充分運用到實踐環(huán)節(jié)中.

2.3 學習團隊研討環(huán)節(jié)

關于團隊學習的概念及其重要性,最先提出的學者是國際組織學習協(xié)會的創(chuàng)始人彼得圣吉(Peter M.Senge)，在他的《第五項修煉：學習型組織的藝術和實踐》中闡述了團隊學習的概念[12-13]，即團隊學習是發(fā)展團隊成員整體搭配與實現(xiàn)共同目標的能力的過程,它建立在發(fā)展共同意愿和自我超越的基礎之上.我們也可理解為，團隊學習是個體學習和協(xié)作學習的整合與升華，它可以發(fā)揮團隊成員的集體智慧，使學習轉(zhuǎn)換為現(xiàn)實的創(chuàng)造力[14].

陳國權[13]提出了組織團隊學習的九種行為和相應的組織學習的九種能力：發(fā)現(xiàn)能力、發(fā)明能力、選擇能力、執(zhí)行能力、推廣能力、反思能力、獲取知識能力、輸出知識能力和建立知識庫能力.在本課程提倡的學生學習團隊研討過程中，這九種能力都在一定程度上得到鍛煉，特別是選擇能力、執(zhí)行能力、推廣能力、反思能力、知識的獲取和輸出能力得到顯著鍛煉.

學習團隊建設[15]是本課程教改的關鍵點.由教師指定好要進行研討的案例，規(guī)定好每次研討的重點和拓展點，并選好團隊的隊長.實際執(zhí)行時，共研討了5套案例的小論文.

2.3.1 學習團隊研討的具體實施方案

(1)全班以3人為一個小組，4個小組為一個大組組成3個大組.每小組設一個小組長，每個大組由一個班委來當大組長.

(2)研討時，每個大組在不同教室獨立開討論課，由大組長主持，每組由小組長安排該組同學上講臺陳述本組的論文主要內(nèi)容、模型結果和圖形展示.下面各組至少提出一個問題，由陳述者回答.大組長還負責在討論情況記錄紙上記錄各組陳述情況和回答問題情況.

(3)教師隨機旁聽，并就研討中出現(xiàn)的問題進行適當干預，及時糾正，同時作好討論情況的記錄工作.

2.3.2 學習團隊研討所取得的效果分析

在研討活動準備階段，學生先查閱相當數(shù)量的文獻，理解、吸收并進行適當轉(zhuǎn)化后，運用到自己的案例學習中來.在汲取他人相關知識的過程中，慢慢形成自己的新想法新觀點，這使得提出有創(chuàng)新意義的新模型成為可能.此過程有利于學生獲取并積累新知識，逐步形成知識鏈，成為更好解決問題的理論基礎.

在學生上講臺陳述自己的解題思路、觀點、方法和結果的過程中，非常高效地鍛煉了學生的表達能力和知識輸出能力，也鍛煉了其膽魄.在實踐中，學生經(jīng)歷了從開始時不愿上講臺，到躍躍欲試，到最后爭著上講臺的蛻變過程.在第三次研討活動時，教師修改了研討規(guī)則，由原來每組至少講述8分鐘，改為每組至多講述20分鐘.

雖然學習團隊研討活動是放在課堂外進行，不占用正常上課時間，學生們依然非常自覺，沒有抵觸情緒.在整個過程中，只有3人次請假，無曠課記錄.這是非常難得的，說明學生確實是自己有了興趣，有了主動意識.

2.4 交叉評閱和考核環(huán)節(jié)

由于三人合作完成各個環(huán)節(jié)，難免出現(xiàn)個別學生不夠努力，指望本組其他成員來完成小論文和討論過程的現(xiàn)象.這種現(xiàn)象我們稱其為“搭便車”現(xiàn)象.為有效杜絕或減少學生搭便車現(xiàn)象，一方面實行兩組配對，結成互評小組，實行交叉評閱，并對評閱要求和評閱規(guī)范作了詳細規(guī)定，在對比中找差距、找新思路，同時也起到互相監(jiān)督作用；另一方面考核中實行“差異性”考核，即根據(jù)整組的各項表現(xiàn)情況，教師給出整組的總分，由小組長來分配給組內(nèi)的三人，要求盡量體現(xiàn)分數(shù)差異.該措施把一部分權力下放給小組長，有利于激發(fā)團隊協(xié)作性能，并收到良好效果.

本課程的整體考核為：小論文成績占30%，學習團隊研討成績占30%，交叉評閱成績占10%，期末理論考試成績占30%.

3 課改效果

相比于改革前，學生主動參與的程度大大提高.學生在完成理論課和實踐課的課堂學習外，還要在課外完成撰寫八篇以上符合要求的小論文，并在課外時間進行六次以上討論課.同時，教師的壓力也大大提升.教師要準備好每套案例的各個環(huán)節(jié)，及時記錄討論課情況和書寫教改日志，還要批閱大量的小論文、引導學生尋求建立更好的數(shù)學模型，并建立可視化圖形庫.

在臨近教改項目結題時，教師設計了《數(shù)學模型課程學習團隊學生問卷調(diào)查表》，調(diào)查結果較好地反映出學生學習和討論情況.簡要總結如下:

(1)92%以上的學生認為，此項目對培養(yǎng)學生能力、提高創(chuàng)新意識和對學生能力要求上是有利的、積極的.82%以上的學生感覺題目偏難，小論文數(shù)量和質(zhì)量要求偏高，但還能接受.

(2)28%左右的學生常常課外討論，36%的學生小論文是組內(nèi)輪流撰寫完成的，47%的學生由組長分配任務寫論文，50%的學生是通過上網(wǎng)找資料來整合論文的.

(3)11%的學生查閱大量文獻，51%的學生查閱3篇以上文獻，30%基本沒找文獻，而只有8%以復制為主.

(4)72%的學生每套案例需要花費7小時以上的時間，22%學生每套案例花費3小時左右.只有5%的學生不怎么花時間.

(5)在交叉評閱環(huán)節(jié)，約1/3的組由單人看論文進行評閱，1/3的組3人全看論文.52%的學生覺得交叉評閱有意義，而39%的學生覺得交叉評閱是種形式，9%的學生覺得交叉評閱沒有用.

(6)61%的學生對上臺討論作了較好的準備，13.8%的學生基本不準備，95%的學生比較關注同學的臺上講評，但基本提不出問題或不大去想提問題.

(7)組隊方面，17%感覺組隊良好，58%的學生組隊問題不大，25%的組隊有些問題，但也還能勉強維持.

這份調(diào)查問卷比較真實地反映出了教改情況，絕大多數(shù)學生在相對高的要求下，比較認真地學習，也對此次學習團隊項目給予較大的支持，極少數(shù)學生學習態(tài)度有待提高.從調(diào)查結果分析看，此項目的可行性得到了證實，效果應該比較好，學生的自主學習意識也得到較大的提高.

在新的培養(yǎng)方案下，因為該課程只有一個專業(yè)開設，所以未實施對比式問卷調(diào)查,以后條件允許可以先進行對比性試驗,由此得到的問卷調(diào)查數(shù)據(jù),將會更令人信服.盡管如此，但從筆者近幾年授課經(jīng)歷看，在新的教學模式下，學生的自主學習能力、團隊協(xié)作學習能力和查閱文獻能力都得到顯著鍛煉和提高.

4 案例中科學計算可視化展示

4.1 相關性可視化

許多實際問題，都要用統(tǒng)計的方法來分析兩個因素之間的相關性.相關性是刻畫兩個因素之間存在相互聯(lián)系的程度，其數(shù)值稱為相關度.一個簡單的理解就是一個變量在多大程度上隨著另一個變量的變化而變化.相關性是一個基本概念，學生一學就懂，但卻很難深入理解.

利用可視化技術，可以很直觀地表現(xiàn)兩個因素之間的關聯(lián)程度.圖1給出了解釋“相關性”概念的一系列對比圖.

圖1 解釋兩個因素相關度為-1到1的散點圖

圖1中，每個子圖的兩組屬性X,Y都具有50個屬性值，這些屬性值服從均勻分布并隨機產(chǎn)生，使得X和Y的相關度從-1到1，相鄰子圖的相關度相差0.1.圖1中每個小圓圈代表50對屬性中的一對，其x坐標是屬性X的一個屬性的值，y坐標是屬性Y的對應屬性的值.

子圖下面的相關度的值用來刻畫本子圖中屬性X與屬性Y的相關性.以圖1第一行最右邊的“相關度-0.4”的子圖為例，縱坐標(因為圖較小，不宜作坐標軸標記)總體上隨著橫坐標的增大而變小，它們是負相關的，但關聯(lián)性不是很強.相關度為-1或1的，表示兩者關聯(lián)性最強.第二行正中間的“關聯(lián)度0”的子圖，兩屬性呈現(xiàn)出完全不相關的狀態(tài).

通過類似的例子，使學生從定性理解轉(zhuǎn)換為定量分析上來，從字面理解轉(zhuǎn)化為具體生動的圖形表現(xiàn)來輔助理解，大大提高學生學習數(shù)學的興趣，加深對抽象概念的理解.

4.2 優(yōu)化過程的可視化

下面再以一個非線性最優(yōu)化模型為例，來看看模型求解過程的可視化.

建立的非線性整數(shù)規(guī)劃模型如下:

在不考慮整數(shù)條件下，其求解結果為:x1=6.08，x2=0.41,zmin=215.50.這個結果是在不考慮整數(shù)條件下的最優(yōu)解，并且可能與求解時所給的初始值有關.對于非線性規(guī)劃，所得到的解有可能只是局部最優(yōu)解，并且要通過嚴格的理論證明一個解是全局最優(yōu)解是很難實現(xiàn)的，這是模型求解過程中經(jīng)常遇到的難題.怎么才能避開嚴格理論證明又能準確判斷一個解是否為局部最優(yōu)解呢？運用可視化技術遠比用文字表述來得有說服力.我們可以放寬約束來繪制曲面圖，見圖2.

圖2 目標函數(shù)在決策變量上下界內(nèi)的曲面圖

從圖2可以看出，在決策變量的上下界[-10,20]內(nèi)，曲面的極小值點只會落在一個凹形區(qū)域內(nèi)，可以直觀、不嚴格地得出結論：上面的最優(yōu)解是全局最優(yōu)解.

下面我們來解決整數(shù)約束問題.觀察圖2，并根據(jù)目標函數(shù)的性狀，可以得出，整數(shù)下的最優(yōu)解應該在點(6.08,0.41)附近.顯然，與此點相鄰的整數(shù)點有四個點:(6,0),(6,1),(7,0),(7,1)，見圖3.

圖3 整數(shù)最優(yōu)解落在連續(xù)最優(yōu)解的四周：視角為(-45，45)

圖3是從視角(-45，45)方向看這5個點的結果.“*”標記的點為無整數(shù)條件下的連續(xù)最優(yōu)解(6.08,0.41,215.50).“·”標記的3個點，為符合約束條件的3個點，分別為：(6,0,216),(7,0,343),(7,1,318)，“o”標記的點為不符合約束條件的點(6,1,195).從圖3中可以清楚看到，(6,0,216)恰好落在可行域的邊緣.

為了讓學生看得更清楚，我們可以對圖形進行旋轉(zhuǎn)，即調(diào)整視角，來選擇較佳的觀察角度，見圖4.

圖4 整數(shù)最優(yōu)解落在連續(xù)最優(yōu)解的四周：視角為(20，30)

圖4是從視角(20，30)方向看這5個點的結果.可以清晰地看到點(6,1,195)落在可行區(qū)域外，其z值比其他點都小，但不是最優(yōu)值.

綜上可得，在課堂上，利用數(shù)學軟件把尋找最優(yōu)解的過程動態(tài)形象的展現(xiàn)出來，配以較為抽象的數(shù)學理論解說，大部分學生容易當場接受.實踐表明，課堂氣氛活躍，學生興趣大大提高.

5 結論

此次數(shù)學模型課程改革中，把科學計算可視化引入到教學中來，并進行了大膽而深入的課堂實踐，取得較理想的效果，其可行性在于本課程的案例往往都是較復雜的實際問題，數(shù)據(jù)處理、求解過程和結果的圖形展示都是極為必要的環(huán)節(jié)，而相關軟件能較為方便地提供這些展示功能.在改革實踐中，教師并沒有遇到難以解決的技術問題，授課情況良好，而學生更形象深入地接受了知識并運用到實踐中去.學生團隊研討式學習是一個新的嘗試，可以清楚看到，學生能動起來，確實也動了起來.學生的自主學習意識和團隊協(xié)作學習能力都得到實踐鍛煉.

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