(浙江傳媒學(xué)院 新媒體學(xué)院，杭州 310018)

1 問題背景

對于對稱正定矩陣,用Cholesky分解法求解[1]是已知最佳方法,運算量僅是Gauss消去法的一半.而對稱不定矩陣,是否可利用其對稱性給出與Cholesky分解法運算量相同的數(shù)值解法,很多文獻資料都有關(guān)于這方面的題材討論,但詳述不夠.本文作者將對稱不定矩陣三對角分解的一個較好方法作進一步討論,對其約化方法進行著重闡述.

2 基本思路

求Tk-1之前,不妨設(shè)已經(jīng)求出M1,…,Mk-1;P1,…,Pk-1,現(xiàn)在構(gòu)造一個臨時矩陣:

Hk-1=Mk-1Pk-1,…,M1P1AP1,…,Pk-1.

記臨時符號

P=Pk-1,…,P1,M=Mk-1Pk-1,…,M1P1,L-1=MPT，

而

M1P1AP1,…,Pk-1(Mk-1Pk-1,…,M2P2M1P2P3,…,Pk-1)T，

Tk-1=Hk-1L-T及Hk-1=MAPT,

從構(gòu)造矩陣Hk-1的定義看出因為其左右不對稱形成乘積,在因子乘積計算時用它代替Tk-1的乘積相對容易得多,所以選擇Hk-1作為臨時矩陣搭橋是有效的,每一步不去實質(zhì)求出Hk-1矩陣本身只要給出它的矩陣表示,那2個矩陣關(guān)系式又有利地確定了矩陣表示Tk-1與Hk-1的待定元素及Hk-1的一些待定元素與A(矩陣行列變換后)元素的運算關(guān)系,這些是遞進約化的主要依據(jù)所在.實際上由Gauss變換的乘積性質(zhì)得知,L-1=MPT是單位下三角陣,而且容易由每個Gauss向量直接確定(其中Gauss向量的每個分量|lj,i+1|≤1,i=1…n-2;j=i+2,…n),使得遞進約化實現(xiàn)簡潔.設(shè)想每一步計算在Hk-1矩陣表示的協(xié)助下,先得到L-1=MPT的已知結(jié)果,利用Hk-1與Tk-1以及A和Hk-1之間的關(guān)系,通過Tk-1已知主對角和次對角元素和A(矩陣行列變換后)的某些元素,得Hk-1矩陣表示的一些待定元素,然后再借已知的Hk-1元素去計算Tk-1矩陣表示的未知待定元素,逐步以Tk-1的矩陣表示為遞進計算結(jié)果,最后累加得到Tn-2.通俗說就是由已經(jīng)求得的M和P,由矩陣關(guān)系式推導(dǎo)的相對簡單的矩陣元素運算關(guān)系,得到一些Tk-1與Hk-1的待定元素的運算結(jié)果,將元素所求結(jié)果對應(yīng)到Tk-1的矩陣表示中,從而代替矩陣直接的繁瑣運算.

3 具體實現(xiàn)

下面展開逐步遞推計算的約化過程.首先從k-1=0開始,先做準備,記

當k-1=1時:

其中:

并確定

下面討論對k-1=2…n-2時的每步操作都一樣,不妨假定前一步已求出P1,…,Pk-1;M1,…,Mk-1及L-1=MPT=Mk-1Pk-1…M2P2M1P2…Pk-1,已知L=(MPT)-1及PAPT的矩陣元素,以及Tk-2的矩陣表示,這一步從寫出Hk-1和三對角矩陣Tk-1的矩陣表示著手:

寫為分塊矩陣

而Tk-1的表示形式為

寫為分塊矩陣

由關(guān)系式Tk-1=Hk-1L-T?Tk-1LT=Hk-1很容易推得:上面2個矩陣的下次對角元及第一個主對角元完全等同,而且Tk-1和Hk-1第k列的后面n-k個分量vk+1,…,vn也是完全相同的,這一步中,除了Hk-1表示中有未知待定元素h2,…,hk;vk+1,…,vn,Tk-1表示中還有一個明顯的未知待定元素αk,以及一個隱含的未知待定元素βk+1,這個主對角元αk和下一個次對角元βk+1在遞推計算的過程顯然要求這一步Tk-1中求得,同時其前面的主對角元和次對角元都在第k-1步之前的步驟中已陸續(xù)求出,且這些已知遞推元素繼續(xù)出現(xiàn)在Tk-1表示中不變.矩陣分塊

展開分塊

推導(dǎo)得到

由此從Tk-1的已知對角元求出Hk-1的h2,…,hk-1,而最后一個式子因hk,αk都是未知待定,直接求不出來.

再由關(guān)系式

Hk-1=MAPT∵L-1=MPT∴Hk-1=MAPT?A=M-1Hk-1P=PTLHk-1P?PAPT=LHk-1:

注意到PAPT是對A分別已進行(2,p1),(3,p2),…,(k,pk-1)k-1組的行列對稱交換后所得矩陣,雖仍對稱,但包括對角線的矩陣元素都已重新調(diào)整,先考察上式左右二邊矩陣的第k個對角元素可得:

由此從Hk-1的h2,…,hk-1中求得Hk-1的hk,又由上面最后一個式子

由此就從Hk-1的h2,…,hk-1,hk求得Tk-1的αk.

繼續(xù)考察上式,對右邊的矩陣L進行相應(yīng)分塊并展開相應(yīng)分塊矩陣,得到等式左右二邊矩陣的第k列后面n-k個元素的相互對應(yīng)式子:

以及高斯變換矩陣

其中

并確定

P1,…,Pn-2;M1,…,Mn-2

和

得到已知矩陣表示

再考察下面等式左右二邊矩陣的第n個對角元素

Tn-1顯然就是分解式PAPT=LTLT中所求的對稱三對角陣T.

4 數(shù)值例子

考慮k-1=0時:由

k-1=1時:

k-1=2時:

運算得到待定元素:

由于

k-1=3時:

且滿足分解式PAPT=LTLT.

參考文獻:

[1] 蘇爾.正定矩陣平方根分解性質(zhì)討論及正定矩陣某個特征的證明[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,33(1):54-58.

[2] G W 斯圖爾特.矩陣計算引論[M].王國榮,譯.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1980.

[3] 徐樹方.矩陣計算的理論與方法[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001.

[4] G H 格羅布.矩陣計算[M].廉慶榮,譯.大連:大連理工大學(xué)出版社,1988.