熊 劍，魏林生，郭 杭，劉 蓉

(1.南昌大學(xué)裝備與測(cè)控教研室，江西南昌330031;2.南昌大學(xué)空間科學(xué)與技術(shù)研究院，江西南昌330031;3.南京航空航天大學(xué)，江蘇南京210016)

一、引 言

慣性導(dǎo)航在航空、航海、礦山、測(cè)繪等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［1］。初始對(duì)準(zhǔn)是慣性導(dǎo)航中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，其主要目的是獲得載體系相對(duì)導(dǎo)航系的姿態(tài)位置關(guān)系，是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)工作的前提條件。捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的典型對(duì)準(zhǔn)方法是解析粗對(duì)準(zhǔn)，其基本原理是利用慣性器件測(cè)量重力加速度和地球自轉(zhuǎn)角速度，從而計(jì)算出捷聯(lián)慣導(dǎo)初始姿態(tài)矩陣。當(dāng)三軸失準(zhǔn)角都處于小角度范圍時(shí)，可再通過(guò)建立捷聯(lián)慣導(dǎo)線性誤差模型，并利用線性卡爾曼濾波進(jìn)一步進(jìn)行捷聯(lián)慣導(dǎo)的精對(duì)準(zhǔn)［2-3］。

出于提高對(duì)準(zhǔn)速度的考慮，需要在大失準(zhǔn)角情況下就進(jìn)行精對(duì)準(zhǔn)，上述的線性假設(shè)條件不能滿足?？紤]到水平對(duì)準(zhǔn)精度較高、速度較快，可對(duì)水平失準(zhǔn)角進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算后便進(jìn)入精對(duì)準(zhǔn)，此時(shí)水平失準(zhǔn)角一般能夠滿足小角度假設(shè)條件，但是方位失準(zhǔn)角仍為大角度，這種情況下仍需要建立捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)的非線性誤差方程，采用非線性濾波進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)［4-6］。UKF(unscented Kalman filter)非線性濾波方法基于UT(unscented transformation)變換理論，其濾波精度較高，可作為方位大失準(zhǔn)角初始對(duì)準(zhǔn)的優(yōu)選方案［7-8］。

本文建立了方位大失準(zhǔn)角非線性初始對(duì)準(zhǔn)濾波模型，分析了基于UT非線性變換的UKF算法原理，推導(dǎo)了方位大失準(zhǔn)角情況下增加陀螺信息輔助方位對(duì)準(zhǔn)的方法，提出了基于UKF非線性濾波方法的方位大失準(zhǔn)角非線性快速初始對(duì)準(zhǔn)方案;最后，通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真并驗(yàn)證了方位大失準(zhǔn)角非線性快速對(duì)準(zhǔn)方案的有效性。

二、方位大失準(zhǔn)角非線性對(duì)準(zhǔn)建模

針對(duì)方位大失準(zhǔn)角初始對(duì)準(zhǔn)問(wèn)題進(jìn)行如下假設(shè)：當(dāng)?shù)氐乩砦恢镁_已知，忽略位置誤差和重力計(jì)算誤差;不考慮垂直通道的耦合影響;忽略哥氏加速度的影響;將加速度計(jì)誤差模型近似為常值零偏εb+白噪聲wg，陀螺誤差模型近似為常值漂移 Δa+白噪聲wa。初始對(duì)準(zhǔn)的導(dǎo)航坐標(biāo)系為東—北—天地理坐標(biāo)系。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)置為

式中，δvE為東向速度誤差;δvN為北向速度誤差;φE、φN、φU為3個(gè)失準(zhǔn)角。

則初始對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)模型［9-10］為

式中，G為噪聲系數(shù)矩陣。非線性向量函數(shù)為

f(x)=

取兩個(gè)水平速度為觀測(cè)量，則觀測(cè)方程如下

三、采用UT非線性變換的UKF原理

1.UT非線性變換

Julier等人基于UT非線性變換提出了UKF方法，并用于處理非線性狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。其核心思想是近似概率分布比近似函數(shù)精度更高。假設(shè)非線性變換y=f(x)，利用UT變換可以得到2n+1個(gè)sigma點(diǎn)χi，利用sigma點(diǎn)和權(quán)值可求解變量y的統(tǒng)計(jì)特性，相應(yīng)公式如下

y的統(tǒng)計(jì)特性可以根據(jù)以下公式計(jì)算

2.UKF非線性濾波算法

通過(guò)UT變換可以比EKF更為準(zhǔn)確地求出隨機(jī)變量非線性變換后的統(tǒng)計(jì)特性，結(jié)合Kalman濾波遞推框架，可以得到UKF非線性濾波器［7-8］。假設(shè)非線性系統(tǒng)為加性噪聲的情況，設(shè)非線性系統(tǒng)為

式中，xk為k時(shí)刻系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量;uk為外部輸入;yk為m維量測(cè)向量;vk為系統(tǒng)過(guò)程噪聲，且vk～N( 0 ，Rv);nk為量測(cè)噪聲，且 nk～ Ν (0 ，Rn)。則UKF濾波流程如下：

1)時(shí)間更新過(guò)程

2)量測(cè)更新過(guò)程

四、基于UKF非線性濾波的快速對(duì)準(zhǔn)方法

1.基于UKF的方位大失準(zhǔn)角對(duì)準(zhǔn)方案

相對(duì)擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)和粒子濾波(particle filter，PF)，UKF具以下特點(diǎn)：精度高于EKF方法，略低于PF;計(jì)算量略大于EKF，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于PF。對(duì)于方位大失準(zhǔn)角的初始對(duì)準(zhǔn)問(wèn)題，系統(tǒng)非線性特性略為突出，系統(tǒng)噪聲特性可以用高斯白噪聲得到較好的近似，因此選用UKF非線性濾波方法構(gòu)成系統(tǒng)初始對(duì)準(zhǔn)濾波器，如圖1所示。

圖1 基于UKF的方位大失準(zhǔn)角非線性快速對(duì)準(zhǔn)方案

較多的文獻(xiàn)分析并對(duì)比了不同非線性濾波算法用于大失準(zhǔn)角初始對(duì)準(zhǔn)的效果，各種非線性濾波算法在方位失準(zhǔn)角上的收斂速度表現(xiàn)略有差異。方位失準(zhǔn)角收斂速度低的主要原因在于初始對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)的不完全可觀，期望通過(guò)采用不同濾波器提高初始對(duì)準(zhǔn)速度，實(shí)際上難以獲得實(shí)質(zhì)上的改觀。如圖1所示，本文在UKF非線性濾波方法的基礎(chǔ)上，增加陀螺信息作為新的觀測(cè)量，并通過(guò)陀螺信息輔助方位對(duì)準(zhǔn)，來(lái)提高方位失準(zhǔn)角的對(duì)準(zhǔn)速度。

2.增加陀螺信息的方位大失準(zhǔn)角觀測(cè)方程推導(dǎo)

水平失準(zhǔn)角φE、φN為小角度，方位失準(zhǔn)角為大角度時(shí)，有：cosφE≈1，sin φE≈φE，cosφN≈1，sinφN≈φN。n系通過(guò)3次轉(zhuǎn)動(dòng)可以得到c系［9］

則n系到c系的方向余弦矩陣如下

等效陀螺的常值漂移可以表示為

則方位大失準(zhǔn)角情況下等效東向陀螺輸出為

取兩個(gè)水平速度為觀測(cè)量，并增加等效東向陀螺輸出作為新的觀測(cè)量，則觀測(cè)方程列寫(xiě)如下

利用式(31)和式(3)可構(gòu)成增加陀螺信息輔助方位對(duì)準(zhǔn)的準(zhǔn)非線性濾波模型，在此基礎(chǔ)上利用UKF非線性濾波方法，可實(shí)現(xiàn)方位大失準(zhǔn)角情況下的捷聯(lián)慣導(dǎo)非線性快速對(duì)準(zhǔn)。

五、仿真與分析

對(duì)基于UKF的方位大失準(zhǔn)角非線性快速對(duì)準(zhǔn)方案進(jìn)行仿真，以驗(yàn)證方案的可行性和對(duì)準(zhǔn)效果。仿真中陀螺等效精度為0.01°/h，加速度計(jì)零偏1 ×10－4g，為便于比較兩種方案的對(duì)準(zhǔn)效果，慣性器件隨機(jī)常值誤差設(shè)定為定值：陀螺隨機(jī)常值取0.01°/h，加速度計(jì)隨機(jī)常值取 1 ×10－4g。初始姿態(tài)角為0°、0°、90°(橫滾、俯仰和航向)。初始位置為115.9°、28.68°、500 m(經(jīng)度、緯度和高度)。仿真步長(zhǎng)1 s，時(shí)間1000 s。

仿真中水平失準(zhǔn)角均設(shè)置為1°，為了觀察不同方位失準(zhǔn)角情況下的對(duì)準(zhǔn)效果，方位失準(zhǔn)角初值分別設(shè)成 1°、10°、20°和 30°進(jìn)行仿真(分別稱為條件1、2、3和4)。將本文方案與常規(guī)UKF濾波進(jìn)行對(duì)比，并在不同方位失準(zhǔn)角情況下進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如圖2～圖7所示，其中虛線代表采用常規(guī)UKF濾波方案的仿真結(jié)果，實(shí)線為本文所提出方案的仿真結(jié)果。

圖2 條件1下東向失準(zhǔn)角

圖3 條件1下北向失準(zhǔn)角

圖4 條件1下方位失準(zhǔn)角

圖5 條件2下方位失準(zhǔn)角

圖6 條件3下方位失準(zhǔn)角

圖7 條件4下方位失準(zhǔn)角

圖2～圖3為條件1下兩種不同對(duì)準(zhǔn)方案的水平姿態(tài)角誤差。由于水平失準(zhǔn)角的可觀測(cè)性很高，因此水平姿態(tài)角在兩種方案中均能快速收斂，其中采用常規(guī)UKF方案的水平姿態(tài)角誤差略有些震蕩，但兩種方案的水平姿態(tài)角對(duì)準(zhǔn)精度基本是類似的。其他條件下水平姿態(tài)角的收斂情況與條件1也基本是類似的，因此本文不再給出相應(yīng)的仿真結(jié)果。

圖4～圖7分別是在條件1～條件4四種情況下方位角對(duì)準(zhǔn)的仿真結(jié)果。從圖中可以看出，在4種條件下改進(jìn)方案的方位角都能以較高的速度收斂，隨著失準(zhǔn)角的增大，收斂時(shí)間略有增加。圖中虛線代表采用常規(guī)UKF濾波方案的仿真結(jié)果，其方位角的收斂速度明顯低于改進(jìn)方案，其收斂時(shí)間均為300 s左右。雖然，兩種方案中方位角的最終對(duì)準(zhǔn)精度都是類似的，但是常規(guī)UKF方案中方位角收斂過(guò)程波動(dòng)較大，其對(duì)準(zhǔn)的性能綜合評(píng)價(jià)要低于改進(jìn)方案，尤其是在對(duì)準(zhǔn)速度上，改進(jìn)方案有著明顯的優(yōu)勢(shì)。

六、結(jié)束語(yǔ)

本文基于UKF非線性濾波方法，分析和推導(dǎo)了方位大失準(zhǔn)角的非線性對(duì)準(zhǔn)模型，并在此基礎(chǔ)上提出了基于UKF的方位大失準(zhǔn)角非線性快速對(duì)準(zhǔn)方案，該方案增加陀螺信息作為新的觀測(cè)量，在保證對(duì)準(zhǔn)精度的前提下，有效地提高了捷聯(lián)慣導(dǎo)方位大失準(zhǔn)角情況下初始對(duì)準(zhǔn)的快速性。

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