孫 堅(jiān)，湯麗麗

(蘇州科技學(xué)院，江蘇 蘇州215009)

20 世紀(jì)末以來，對(duì)于非線性耦合的激光混沌、混沌同步和混沌控制的的研究一直是國(guó)際上非線性科學(xué)研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)課題之一，在理論和實(shí)驗(yàn)上受到了很大的關(guān)注，并且有著廣闊的應(yīng)用前景［1-9］．目前，應(yīng)用于高精度實(shí)驗(yàn)的激光器擁有極好的相干性、單向性、集中性和優(yōu)異的可操控性，同時(shí)激光系統(tǒng)具有高速、大容量、高保密性的特性可以在多模式，多信道的光纖中傳播，使研究人員以極大的興趣投入到對(duì)激光系統(tǒng)的研究．建立在空間局域耦合的激光系統(tǒng)的混沌同步基礎(chǔ)上的保密通信吸引了國(guó)內(nèi)外專家和學(xué)者的極大關(guān)注［10-27］．在近期的研究中，多臺(tái)空間耦合的單模激光系統(tǒng)［1-14，25-27］和多模耦合線形激光系統(tǒng)［17-24］的混沌同步和混沌加密通訊已經(jīng)取得了一定的成果．在近年來，筆者對(duì)于一維線性的單模和多模激光陣列進(jìn)行了一定的研究，并將成果發(fā)表在也相關(guān)期刊上［10-13，22，27］．然而，隨著近年來的研究成果，筆者發(fā)現(xiàn)，對(duì)于研究激光系統(tǒng)的混沌和混沌同步來說，直線型激光陣列的排列方式也有一定的缺陷和不足:直線型的激光陣列意味著需要較多的激光器，容易造成試驗(yàn)資源的浪費(fèi)和過度消耗，而傳遞的信息量卻相對(duì)較少，形成了矛盾;直線型的激光陣列無法有效的傳輸一般是兩維平面型信息的圖像，這對(duì)其應(yīng)用造成了極大的影響;以前所考慮的激光陣列均是以單模激光陣列的形式出現(xiàn)的．在實(shí)際的應(yīng)用過程中，尤其是短程損耗較小的時(shí)候，多模激光(多模光纖)多通道的通信方式能有效的提高信息傳輸?shù)娜萘?由激光產(chǎn)生的混沌信號(hào)具有高速，寬頻帶的傳輸特性．國(guó)內(nèi)外同行對(duì)多模激光(多模光纖)系統(tǒng)可以應(yīng)用于混沌保密通訊進(jìn)行了理論和試驗(yàn)的研究和論證［17-24］．由此，這就很有必要對(duì)兩維N×N平面型的空間耦合的多模激光陣列的混沌同步和混沌保密通信進(jìn)行一定的研究．

本文在近期國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究進(jìn)展的基礎(chǔ)上［1-4，7-8，21-27］，結(jié)合平面網(wǎng)格單模激光陣列和多模激光的模型，并考慮構(gòu)建的激光模型的合理性，在理論上得到了N×N平面型空間耦合的多模激光陣列的動(dòng)力學(xué)常微分方程組．這里，只選取3×3 平面型多模激光陣列為例，研究陣列中每臺(tái)激光器的混沌強(qiáng)度的輸出(含總強(qiáng)度和分模式強(qiáng)度)，以及如何調(diào)試合理的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)整個(gè)激光系統(tǒng)達(dá)到混沌以及混沌同步的狀態(tài)．同時(shí)，對(duì)陣列中各臺(tái)激光的輸出功率譜和整個(gè)激光系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)的研究，從另一個(gè)側(cè)面反映了處于混沌狀態(tài)的平面型多模式激光陣列的實(shí)現(xiàn)［27-28］．

1 平面型多模激光陣列的動(dòng)力學(xué)方程組

理論上，空間耦合的N×N平面型多模式Nd:YAG激光陣列的動(dòng)力學(xué)常微分方程組可以表示為:

模型中總計(jì)有N2臺(tái)激光，其中，下標(biāo)j代表的是第j臺(tái)激光，下標(biāo)i表示的是每臺(tái)激光的第i個(gè)模式，E和G分別表示緩慢變化的復(fù)激光振動(dòng)的振幅和能級(jí)間的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，τc表示激光場(chǎng)在腔中傳播一個(gè)來回所需要的時(shí)間(約為0．2 ns)，τf則表示為Nd:YAG激光高能級(jí)的衰減時(shí)間(約為0．24 ms)，ωj表示激光的頻率失諧量，其中第一臺(tái)激光的頻率為ω1=0．0rad/s，相鄰各臺(tái)激光之間的失諧頻率間隔為Δω=ωj+1-ωj=5．0×105rad/s，α 是各臺(tái)激光器中腔?？烧{(diào)制的相關(guān)損耗參數(shù)(約為0．01)，p是產(chǎn)生激光的泵浦輸出參量(約為0．02)，Ω=2πf0是調(diào)節(jié)泵浦輸出的角速度，式(2)中是同一臺(tái)激光不同模式之間的相互耦合作用，β(≈0．666 67)是相應(yīng)的模式耦合系數(shù)．

通常，混沌激光系統(tǒng)的相鄰激光之間的作用，是采用光束重疊的空間耦合的作用方式，考慮到這種作用很小，因此，這種作用一般只存在于最近鄰的兩臺(tái)激光之間．對(duì)于所研究的兩維3×3 平面型多模激光陣列的分布，同一臺(tái)激光根據(jù)其所處的位置，其最近鄰的激光臺(tái)數(shù)可能是2、3、4 臺(tái)．與參考文獻(xiàn)［25-27］中所述情況一樣，把陣列中任意兩臺(tái)相鄰激光(例如第j臺(tái)和第j'臺(tái))之間耦合系數(shù)κjj'定義為:

在式(4)中，djj'用于描述相鄰兩臺(tái)激光束之間的距離，一般可以產(chǎn)生這種作用的間距為0．4～1．0 mm，uj、νj'分別表示為激光束j和j'高斯分布腰的半徑寬度，通常為0．1～0．2 mm，相鄰的激光光束之間的邊緣處存在著相互重疊作用(overlap)，具體如圖1 所示． r是光束顯微鏡陣列的反饋系數(shù)．在這里的κjj'已經(jīng)被歸一化了:當(dāng)djj'=0，r=1，uj=vj'時(shí)，κjj'=1［25-27］．?dāng)?shù)值模擬中，相關(guān)參數(shù)設(shè)定為:r=0．21，uj=0．105 mm，vj'=0．143 mm［25-27］．為了實(shí)現(xiàn)該激光陣列的混沌及混沌同步，各臺(tái)激光的參數(shù)和初始條件均保持一致．

圖1 最近鄰兩臺(tái)激光器光束之間相互重疊作用示意圖Fig．1 The overlap between laser beams of the two nearest lasers

激光輸出強(qiáng)度Ij(t)的功率譜密度Pj(f)可以通過下式計(jì)算得到:

其中ω=2πf．另外利用Wolf［28］方法來計(jì)算該激光陣列的李雅普諾夫指數(shù)．如果計(jì)算得到激光系統(tǒng)的功率譜是在很寬的頻帶上不存在明顯平坦的頻率分布，只要使得最大的李雅普諾夫指數(shù)是大于零的，那就說明所研究的激光系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的同步確實(shí)是混沌同步．

為了便于說明并且不是一般性，設(shè)定N=3 臺(tái)激光，每臺(tái)激光共有N'=3 個(gè)模式，對(duì)兩維平面型3×3 多模激光陣列的混沌同步進(jìn)行了較為詳細(xì)的研究．在系統(tǒng)中，按先行后列的順序給這九臺(tái)激光進(jìn)行編號(hào)，具體的實(shí)驗(yàn)裝置［25-27］和激光陣列具體排列如圖2 所示．

圖2 試驗(yàn)裝置布局圖(a)和兩維3×3 激光陣列布局(b)Fig．2 The layout of the experimental apparatus (a)and the layout of two-dimensional 3×3 laser-array (b)

2 數(shù)值模擬及結(jié)果說明

通過對(duì)激光陣列的動(dòng)力學(xué)非線性微分方程組進(jìn)行積分，可以得到該激光陣列的混沌強(qiáng)度輸出的數(shù)值結(jié)果．借助計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果，可以來分析具有空間耦合的3×3 平面型多模激光陣列的混沌同步的情況．需要指出，由于激光輸出時(shí)的不穩(wěn)定因素，需要略去最初一段時(shí)間暫態(tài)激光脈沖，因此本文中，采用1．0～3．0 ms 作為數(shù)值模擬的時(shí)間范圍．計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)相鄰兩臺(tái)激光之間的距離djj'=0．4950 mm 的時(shí)候，就可以在激光輸出處于混沌狀態(tài)時(shí)，實(shí)現(xiàn)平面型3×3 多模激光陣列輸出強(qiáng)度的混沌同步．

圖3 為平面型多模激光陣列每臺(tái)激光的混沌總強(qiáng)度輸出．圖4(a)～(c)是第一臺(tái)激光的三個(gè)分模式強(qiáng)度輸出的時(shí)序圖;圖4(d)～(i)分別為陣列中每臺(tái)激光第一個(gè)模式強(qiáng)度輸出．從圖3～4 中不難發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)激光的總強(qiáng)度和各個(gè)分模式強(qiáng)度的輸出都不具有周期性運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，而是呈現(xiàn)出雜亂無章的狀態(tài)，是一組在數(shù)值上強(qiáng)弱不一、形如參差不齊針刺狀的激光脈沖，這充分說明該激光陣列中每臺(tái)激光的的總強(qiáng)度以及各分模式強(qiáng)度隨時(shí)間變化的輸出均處于混沌狀態(tài)．

圖3 每臺(tái)激光的總強(qiáng)度輸出Fig．3 The outputs of the total intensities of each lasers

圖5～7 為激光陣列中任意兩臺(tái)激光輸出總強(qiáng)度之間的相互關(guān)聯(lián)．圖5 為其它各臺(tái)激光與第一臺(tái)激光的輸出總強(qiáng)度之間的相互關(guān)聯(lián)圖．圖6 為各臺(tái)激光(除第一臺(tái)激光外)與第二臺(tái)激光的輸出總強(qiáng)度之間的相互關(guān)聯(lián)圖．圖7 為各臺(tái)激光(除第一臺(tái)、第二臺(tái)激光外)輸出總強(qiáng)度之間的相互關(guān)聯(lián)圖．從圖5～7 中，可以發(fā)現(xiàn)，配對(duì)激光(第2(4)臺(tái)，第3(7)臺(tái)，第6(8)臺(tái)激光)的輸出總強(qiáng)度的輸出脈沖呈現(xiàn)出步調(diào)保持一致的混沌同步現(xiàn)象，在圖中體現(xiàn)為相關(guān)聯(lián)的兩臺(tái)激光的總強(qiáng)度輸出呈現(xiàn)出斜率為1 特殊的正比例直線(形如y=x)．而其它任兩臺(tái)激光輸出總強(qiáng)度之間表現(xiàn)出的卻是互不關(guān)聯(lián)的混沌不同步狀態(tài)，也就是說，一臺(tái)激光的總強(qiáng)度輸出與其他另一臺(tái)激光的總強(qiáng)度輸出是兩個(gè)完全不相同的數(shù)值．

圖4 第一臺(tái)激光三個(gè)模式的強(qiáng)度輸出(a)～(c)和每臺(tái)激光第一個(gè)模式的強(qiáng)度輸出(d)～(i)Fig．4 The outputs of the intensity of three mode intensities of the first laser (a)～(c)and the outputs of the intensity of the first mode intensity of each lasers (d)～(i)

圖8 是激光系統(tǒng)中模式強(qiáng)度之間的相互關(guān)聯(lián)圖，(a)～(c)是第一臺(tái)激光三個(gè)模式強(qiáng)度之間的相互關(guān)聯(lián)圖;(d)～(f)為第二臺(tái)和第三臺(tái)激光對(duì)應(yīng)模式強(qiáng)度之間的相互關(guān)聯(lián)圖;(g)～(i)是九臺(tái)多模激光中對(duì)應(yīng)的第一個(gè)模式之間實(shí)現(xiàn)混沌同步的相互關(guān)聯(lián)圖．從圖8 中，可以看到，每臺(tái)激光分模式強(qiáng)度之間都存在著很強(qiáng)的模式競(jìng)爭(zhēng)，盡管如此，前述中總強(qiáng)度輸出處于混沌同步的配對(duì)激光對(duì)輸出的各對(duì)應(yīng)分模式強(qiáng)度之間還是會(huì)出現(xiàn)混沌同步的現(xiàn)象．其他任意激光對(duì)的對(duì)應(yīng)模式強(qiáng)度之間則不存在混沌同步現(xiàn)象．

從圖5～8 中，還可以發(fā)現(xiàn)，正是由于配對(duì)激光對(duì)的對(duì)應(yīng)分模式強(qiáng)度之間實(shí)現(xiàn)了混沌同步，這些配對(duì)激光對(duì)的總強(qiáng)度之間才能呈現(xiàn)出混沌同步的現(xiàn)象．

當(dāng)考慮那九臺(tái)激光在兩維3×3 平面型多模激光陣列中的布局安排，可以發(fā)現(xiàn)，如果按線性代數(shù)中行列式的知識(shí)來分析，那么處于3×3 行列式的次對(duì)角線或者是與次對(duì)角線平行的位置上的配對(duì)激光對(duì)(第2(4)臺(tái)，第3(7)臺(tái)，第6(8)臺(tái)激光)恰好實(shí)現(xiàn)了輸出強(qiáng)度(包含總強(qiáng)度和對(duì)應(yīng)模式的強(qiáng)度)的混沌同步．

圖5 其他各臺(tái)激光與第一臺(tái)激光之間的總強(qiáng)度的關(guān)聯(lián)圖Fig．5 The relations of the total intensities between the other lasers and the first one

圖6 除第一臺(tái)激光外，第二臺(tái)和其他各臺(tái)激光之間的總強(qiáng)度的關(guān)聯(lián)圖Fig．6 The connections of the total intensities between the second and other lasers (other than the first laser)

利用式(5)，可以計(jì)算得到空間耦合的平面型多模激光陣列中九臺(tái)耦合的激光總強(qiáng)度輸出激光功率譜，如圖9 所示．而圖10(a)～(c)是第一臺(tái)激光三個(gè)分模式強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的功率譜;(d)～(k)是余下8 臺(tái)激光的第一個(gè)模式強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的功率譜．從激光陣列中各臺(tái)激光輸出的總強(qiáng)度和分模式強(qiáng)度的功率譜中可以看到，這些功率譜在相當(dāng)寬的頻譜區(qū)間具有若干個(gè)尖峰，其余都存在很多起伏不定的小毛刺．通過分析頻譜領(lǐng)域的功率譜，可以說明所研究的激光陣列確實(shí)處于混沌狀態(tài)的區(qū)域．

圖7 除了第一、二臺(tái)激光之外，任兩臺(tái)激光之間的總強(qiáng)度的關(guān)聯(lián)圖Fig．7 Therelationship of the total intensities between other lasers (other than the first two lasers)

圖8 第一臺(tái)激光三個(gè)模式強(qiáng)度之間的關(guān)聯(lián)圖(a)～(c)、第二臺(tái)和第三臺(tái)激光對(duì)應(yīng)模式強(qiáng)度之間的關(guān)聯(lián)圖(d)～(f)和九臺(tái)多模激光中對(duì)應(yīng)的第一個(gè)模式之間實(shí)現(xiàn)混沌同步的關(guān)聯(lián)圖(g)～(i)Fig．8 The relations of three mode intensities of the first laser (a)～(c)，the relations of three corresponding mode intensities between the second and the third lasers (d)～(f)and the chaotic synchronization relations of the first corresponding mode intensities between nine lasers (g)～(i)

圖9 九臺(tái)耦合的激光總強(qiáng)度輸出的功率譜Fig．9 Power spectra of the total intensities of nine coupled lasers

圖11 是由81 條數(shù)值曲線構(gòu)成的，隨相鄰激光的耦合作用距離djj'變化的平面型多模耦合激光陣列的李雅譜諾夫指數(shù)λ．根據(jù)李雅普諾夫指數(shù)的相關(guān)知識(shí)可知，當(dāng)最大李雅普諾夫指數(shù)λmax＞0 時(shí)，該激光系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);當(dāng)λmax＜0 時(shí)，該激光系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期性狀態(tài);當(dāng)λmax=0 時(shí)，則表示該激光系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)．如圖11 所示，該激光系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)λmax大于零的取值范圍(0．450～0．550 mm)正好處于激光之間的耦合作用的可能距離，說明在這個(gè)作用距離范圍內(nèi)，該平面型多模激光陣列的系統(tǒng)確實(shí)是處于混沌狀態(tài)．相對(duì)于線性的單模激光陣列擁有相對(duì)較大的、分布較廣的整個(gè)一片大的混沌區(qū)域的理論結(jié)果［10-13，27］，平面型多模激光陣列能夠取得混沌狀態(tài)的區(qū)域呈現(xiàn)出一個(gè)相對(duì)較小的局部區(qū)域，由此，要實(shí)現(xiàn)該激光陣列輸出強(qiáng)度(總強(qiáng)度和各個(gè)對(duì)應(yīng)模式強(qiáng)度)的混沌同步的取值范圍則就更小了．雖然由于調(diào)節(jié)激光參數(shù)的難度大大提高了，實(shí)現(xiàn)平面型多模激光陣列混沌同步的條件將變得更加苛刻，但是反過來，這也增加了傳輸過程中被竊取信息的難度，若能在該實(shí)現(xiàn)激光陣列混沌同步基礎(chǔ)上，加載信息，進(jìn)行保密通訊，這樣可以大大增加通訊系統(tǒng)的保密性，確保信息能夠安全準(zhǔn)確的傳送．

圖10 第一臺(tái)激光三個(gè)分模式強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的功率譜(a)～(c)和余下八臺(tái)激光第一個(gè)模式強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的功率譜(d)～(k)Fig．10 Power spectra of three mode intensities of the first laser (a)～(c)and power spectrum of the first cavity mode intensity of the left eight lasers (d)～(k)

圖11 兩維3×3 平面型多模耦合激光陣列的李雅譜諾夫指數(shù)Fig．11 Lyapunov exponents of twodimensional 3×3 planar array of multi-mode coupled lasers

3 結(jié)論

利用數(shù)值模擬的方法，研究了兩維3×3 平面型空間耦合的多模激光陣列輸出強(qiáng)度(總強(qiáng)度和各個(gè)對(duì)應(yīng)模式強(qiáng)度)的混沌和混沌同步．?dāng)?shù)值結(jié)果表明，通過調(diào)節(jié)合理的激光參數(shù)和實(shí)驗(yàn)設(shè)備，使相鄰激光的耦合作用距離djj'處于一定的范圍，該激光系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)λmax大于零，可以在激光陣列中配對(duì)激光對(duì)(第2(4)臺(tái)，第3(7)臺(tái)，第6(8)臺(tái)激光)的總強(qiáng)度輸出和各個(gè)對(duì)應(yīng)分模式的強(qiáng)度輸出實(shí)現(xiàn)混沌和混沌同步．

平面型多模激光陣列的輸出總強(qiáng)度的混沌同步是建立在各個(gè)對(duì)應(yīng)分模式輸出強(qiáng)度的混沌同步的基礎(chǔ)之上的，且同臺(tái)激光的各個(gè)分模式之間存在著較強(qiáng)烈的模式競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象，這與之前研究線形多模激光系統(tǒng)的研究結(jié)論是一致的［17-24］．雖然在輸出總強(qiáng)度和各個(gè)對(duì)應(yīng)分模式輸出強(qiáng)度上實(shí)現(xiàn)混沌和混沌同步的這些配對(duì)激光對(duì)相互之間并沒有相鄰，也沒有直接的相互作用，但是平面型空間耦合的多模激光陣列中任一臺(tái)激光都可以通過與其相鄰的激光在空間光束重疊的耦合作用(如第一臺(tái)激光(與之最近鄰只有兩臺(tái)激光)、第二臺(tái)激光(與之最近鄰只有三臺(tái)激光)、第五臺(tái)激光(與之最近鄰只有三臺(tái)激光))，則可以間接和與其不相鄰的激光產(chǎn)生相互作用，繼而可以傳遞相關(guān)信息，最終在整個(gè)平面型多模激光陣列輸出總強(qiáng)度以及各分模式輸出強(qiáng)度之間實(shí)現(xiàn)混沌和混沌同步．

如果按線性代數(shù)中行列式的知識(shí)，考慮那九臺(tái)激光在兩維3×3 平面型多模激光陣列中的布局安排，可以發(fā)現(xiàn)，那么處于3×3 行列式的次對(duì)角線或者是與次對(duì)角線平行的位置上的配對(duì)激光對(duì)(第2(4)臺(tái)，第3(7)臺(tái)，第6(8)臺(tái)激光)恰好實(shí)現(xiàn)了輸出強(qiáng)度(包含總強(qiáng)度和對(duì)應(yīng)模式的強(qiáng)度)的混沌同步．而且可以沿著這條思路，把該平面型多模激光陣列擴(kuò)展到4×4，…，直至兩維平面型N×N 多模激光陣列的情況，不難得出下列結(jié)論:只要選取合適激光參數(shù)和調(diào)節(jié)好實(shí)驗(yàn)設(shè)備，那些該激光陣列次對(duì)角線或與其平行的對(duì)角線相應(yīng)位置上的配對(duì)激光對(duì)同樣可以實(shí)現(xiàn)輸出總強(qiáng)度和各個(gè)對(duì)應(yīng)模式輸出強(qiáng)度的混沌和混沌同步，如此一來，便順利的把原有線性單模和多模激光陣列推廣到可以傳輸二維點(diǎn)陣形式信息的平面型多模激光陣列．一旦該激光陣列能夠?qū)崿F(xiàn)，激光陣列實(shí)際使用效率可以得到有效地提高，就可以克服在線性單模激光陣列中難以迅速、高效、安全、準(zhǔn)確的傳遞大容量平面信息的不足和缺陷，為二維平面型信息的保密傳輸提供可能．

通過計(jì)算該激光陣列輸出總強(qiáng)度和各分模式強(qiáng)度相應(yīng)的功率譜和整個(gè)激光系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)，筆者發(fā)現(xiàn)，平面陣列的多模激光系統(tǒng)的工作狀態(tài)是處于李雅普諾夫指數(shù)大于零的混沌區(qū)域的．相對(duì)于單模平面型陣列的激光系統(tǒng)來說，這里的滿足李雅普諾夫指數(shù)大于零條件的混沌狀態(tài)區(qū)域更小，這就對(duì)實(shí)驗(yàn)條件和激光參數(shù)的設(shè)置提出了更高的要求，但同時(shí)對(duì)比其能獲得更好的保密性和安全性來說，還是值得的．

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