曹俊英，王自強(qiáng)

(貴州民族大學(xué) 理學(xué)院，貴州 貴陽550025)

對于色散方程的初邊值問題的差分格式，近年來的研究成果很多，例如:文獻(xiàn)［1－11］，由于最簡空間差商，因此這些格式的空間寬度至少為3h，因而顯格式至少有一點(diǎn)算不到，而隱格式都是不封閉的．?dāng)?shù)值求解色散方程的難點(diǎn)在于目前尚無恰當(dāng)?shù)目善ヅ涞陌腼@格式或顯格式來計算其它顯格式和半顯格式中算不到的那些內(nèi)邊界點(diǎn)或封閉隱格式．這也使色散方程差分格式的并行化尤為困難．如何構(gòu)造一個空間寬度小于3h且網(wǎng)比較大的差分格式，這是一個長期被關(guān)注的問題．在此，本文構(gòu)造了兩類空間寬度分別為h和2h的差分格式，r均可取為任意實數(shù)，它們不僅自身的計算效率高，且解決了數(shù)值內(nèi)邊界條件的計算問題．也為色散方程差分格式的并行化提供了依據(jù)．?dāng)?shù)值例子驗證了理論分析的結(jié)果是可行的．

1 差分格式的構(gòu)造

考慮一維色散方程的初邊值問題:

用待定系數(shù)法［12］求解此問題，取時間步長為τ，空間步長為h，并令的近似值，差分格式與微分方程有如下關(guān)系:

其中e為參數(shù)，Lu=ut－auxxx=0．

用以下帶參數(shù)的差分方程逼近微分方程(1):

其中:

令:

得:

且得差分格式為:

當(dāng)－c2+c3+2c4=0 時，截斷誤差E=O(τ+h2)，否則，E=O(τ+h)．

差分格式(6)是解色散方程的隱格式，求解時轉(zhuǎn)化為求一個三對角方程組，不需要附加內(nèi)邊界條件，且當(dāng)(c2+c4)(c3+3c4)≥0 或c4＞0，c2＞－c4，－6c4＜c3＜－3c4或c4＜0，－c4＜c2＜－2c4，c3＜－3c4時，是對角占優(yōu)的．

顯然，差分格式(6)對任意的|r|＞0 都是絕對穩(wěn)定的．如果再令c2+c4=0，得c2=－c4，此時有c1=－c3，得差分格式為:

即:

易知，格式(7)也是絕對穩(wěn)定的，截斷誤差為E=O(τ+h)．它是迄今為止求解色散方程的計算量最小的差分格式．

2 數(shù)值例子

對初邊值問題:

已知其精確解為:u(x，t)=cos(x－at)，利用格式(6)得到表1 的數(shù)據(jù)，其中c2=3．0，c3=1．0，c4=1．0．利用格式(7)得到表2 的數(shù)據(jù)．表1 和表2 中的值是在節(jié)點(diǎn)(jh，nτ)處的誤差值，其中

表1 格式(6)的誤差Tab．1 The error of scheme (6)

表2 格式(7)的誤差Tab．2 The error of scheme (7)

數(shù)值例子驗證了理論分析的結(jié)果．

［1］ 張大凱．求解色散方程的兩類帶參數(shù)的三層顯格式［J］．高等數(shù)學(xué)計算數(shù)學(xué)學(xué)報，1994(1):27－34．

［2］ 張大凱．色散方程的一類具任意穩(wěn)定性的顯格式［J］．計算物理，1994，11(1):85－90．

［3］ 朱少紅．色散方程的一個絕對穩(wěn)定的本性并行格式［J］．天津師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2001，21(3):1－4．

［4］ 陳海光，張大凱．關(guān)于色散方程的一類二階恒穩(wěn)顯格式［J］．高等數(shù)學(xué)計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2001(3):255－260．

［5］ 金承日．解色散方程的AGE 迭代方法［J］．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2002，34(6):803－805．

［6］ 花小琴，張大凱．關(guān)于色散方程的一種三階顯格式［J］．貴州科學(xué)，2004，22(3):72－74．

［7］ Wang W Q，F(xiàn)U S J． Alternating Segment Difference Schemes for Dispersive Equations with Diffusion［J］． Chinese journal Comptational physics，2005，22(1):19－26．

［8］ 王文洽．色散方程的一類新的并行交替分段隱格式［J］．計算數(shù)學(xué)，2005，27(2):129－140．

［9］ 花小琴，胥德平，胡明．色散方程兩層穩(wěn)定的偏心隱格式［J］．江蘇科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2007，21(2):34－36．

［10］ 花小琴，張大凱，胥德平． 色散方程兩層絕對穩(wěn)定隱格式［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(6):96－99．

［11］ Wang H，Cui S B．Dispersive Estimates for a General Class of Evolution Equations with Variable Coefficients［J］．Advances in Mathematics，2007，36(4):503－512．

［12］ 曹俊英，尹文雙，張大凱．解拋物型方程的七點(diǎn)隱格式［J］．湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2009，27(1):34－36．

［13］ 陸金甫，關(guān)治．偏微分方程數(shù)值解法［M］．北京:清華大學(xué)出版社，2003．