張 淼,周福泉,王 震
(1.長春工程學院理學院;2.能源動力工程學院,長春130012)
任一線彈性結(jié)構(gòu)或機械系統(tǒng),在承受外界激勵或動力載荷時,其運動狀態(tài)取決于其物理特性,以適當?shù)膮?shù)形式來表征這些特性,形成數(shù)學模型是動力學分析的起點,所揭示的本質(zhì)現(xiàn)象和研究方法是結(jié)構(gòu)振動研究的基礎(chǔ)。
系統(tǒng)的運動方程總是在一定的坐標系中用坐標來描述的,設(shè)法使一組本來耦合的方程組,變?yōu)橐唤M無耦合的方程組,使每一個方程中只有一個待求的坐標時,每個微分方程便可獨立求解[1]。工程結(jié)構(gòu)振動微分方程的解耦,事實上是選擇或構(gòu)造適當?shù)目臻g(例如歐氏或酉特征空間等)把系統(tǒng)性質(zhì)矩陣對角化的過程。
描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動的微分方程
式中:M,C和K∈CN×N分別代表質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣等性質(zhì)矩陣;x(t)∈RN為廣義坐標向量;t∈R+代表時間。
做拉普拉斯變換x(t)=uest=ueiωt(s=iω),代入式(1)得
如果si∈C滿足特征方程
稱為系統(tǒng)(1)的第i個頻率,同時ui∈CN稱為系統(tǒng)(1)與si相對應的第i個右(復)模態(tài)。在工程實踐中,特征對(si,ui)是系統(tǒng)最重要的參數(shù)之一——模態(tài)參數(shù),是振動測試與分析的主要對象[2]。
當系統(tǒng)性質(zhì)矩陣為Hermite矩陣時,此時稱系統(tǒng)(1)稱為保守系統(tǒng),但當系統(tǒng)性質(zhì)矩陣為非Hermite矩陣時,則稱系統(tǒng)(1)為非保守系統(tǒng)。
若系統(tǒng)的頻率全不相同,則稱為單頻結(jié)構(gòu)系統(tǒng),若系統(tǒng)有重頻,但重頻的幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)相符,則對應的振動系統(tǒng)稱為重頻完備系統(tǒng),若系統(tǒng)有重頻,但重頻的幾何重數(shù)小于代數(shù)重數(shù),則對應的振動系統(tǒng)稱為重頻虧損系統(tǒng)[3]。由于這一問題的復雜性,本文的討論僅針對單頻對稱系統(tǒng)。
在相當短的一個時間內(nèi)來研究機械系統(tǒng)自由振動狀態(tài)時,可以認為它是一種無阻尼的自由振動,此時令振動系統(tǒng)(1)中的阻尼陣為零矩陣,即產(chǎn)生廣義特征問題:
或?qū)懗?/p>
解出滿足上述特征方程的ui和si(?i=1,2,…,2N)即為系統(tǒng)的無阻尼純模態(tài)及頻率。此時頻率均為共軛的虛數(shù),對應的純模態(tài)將含有復值模態(tài)位移,但某個模態(tài)向量的各元素之間的相位差不是0°就是180°,因此選擇適當?shù)谋壤蜃涌蓪⑦@些模態(tài)向量換算成純實數(shù)值向量,即為固有振型向量(實態(tài))。
狀態(tài)空間格式在多自由度系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力響應分析、與靈敏度分析相關(guān)的結(jié)構(gòu)動力修改、結(jié)構(gòu)集成和結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域[4-5]中有著廣泛的應用。一方面由于狀態(tài)方程具有可分離的數(shù)學結(jié)構(gòu),因此比傳統(tǒng)的方法更為優(yōu)越,特別是對于多激勵輸入輸出系統(tǒng),狀態(tài)空間具有明顯的優(yōu)勢,其次狀態(tài)方程描述一個動態(tài)的過程,不論系統(tǒng)多復雜,狀態(tài)空間的描述總是具有統(tǒng)一簡潔的形式,并可用多種分析技術(shù)在計算機上進行數(shù)值計算[6]。
另一方面,對非比例黏性阻尼,如果用無阻尼固有振型向量無法使阻尼矩陣對角化,或者說阻尼力與速度成正比,不能用復剛度來體現(xiàn)其作用時,就必須尋找合適的坐標體系進行坐標變換,使振動微分方程解耦。因為狀態(tài)空間法可以將N維空間中描述的結(jié)構(gòu)振動微分方程轉(zhuǎn)移到2 N維狀態(tài)空間中描述,其根本目的是利用狀態(tài)向量的解耦性能來實現(xiàn)狀態(tài)方程的解耦,從而把相關(guān)結(jié)論反映至原N維空間中描述的結(jié)構(gòu)振動微分方程中去。
設(shè)
代入方程(1),則該二階系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為如下一階系統(tǒng):
其中
稱為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)矩陣,式(6)稱為AB型狀態(tài)方程[7]。
作拉普拉斯變換x(t)=uest=ueiωt(s=iω)代入式(6),則有
經(jīng)驗證可知特征對(si,ui)同時滿足特征方程
由式(8)和式(9)可知,原系統(tǒng)(1)的振動特征問題轉(zhuǎn)化為廣義特征問題:
其中
稱為右狀態(tài)向量,注意到它的后N維恰為振動系統(tǒng)(1)的右模態(tài)向量。
事實上,無論是N維向量空間中描述的無阻尼特征方程式(4),還是在2 N維狀態(tài)空間中描述的狀態(tài)方程式(10),都具有統(tǒng)一的廣義特征形式
分析這種統(tǒng)一性,為工程中復雜系統(tǒng)的振動分析提供了更為廣闊的視野,依賴這種統(tǒng)一性,許多針對無阻尼系統(tǒng)開發(fā)的振動分析方法均可應用于阻尼系統(tǒng)。
對式(12)的廣義特征問題:
(1)如果Q是實對稱矩陣,P是實對稱正定矩陣,則可通過對P進行楚列斯基分解,直接求得廣義特征值與廣義特征向量。
(2)如果僅當P可逆時,廣義特征問題轉(zhuǎn)化為一般特征問題
注意,一般情況下,P-1Q是非對稱陣。
(3)如果僅當M可逆時,還可通過轉(zhuǎn)化狀態(tài)方程的形式,也可將廣義特征問題(10)轉(zhuǎn)化為一般特征問題。
對線性振動系統(tǒng)的運動方程式(1),設(shè)
代入方程(1),則該二階系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為如下一階系統(tǒng):
其中
稱為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)矩陣,式(14)稱為A型狀態(tài)方程[7]。
作拉普拉斯變換代入式(14),則有
且同樣滿足式(9),由此可知原系統(tǒng)(1)的振動特征問題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)矩陣A的一般特征問題
其中
稱為狀態(tài)矩陣A的狀態(tài)向量,它的前N維恰為振動系統(tǒng)(1)的模態(tài)向量。
在上述轉(zhuǎn)化方法下,將廣義特征問題的求解處理成一般特征問題,轉(zhuǎn)化后比較容易應用矩陣代數(shù)理論討論其對角化問題,在此不再贅述。但值得注意的是因為工程問題的獨特性,其一般結(jié)論將有所變化。下面提出一種基于工程振動分析思想來求解廣義特征問題及討論其對角化的新方法。
(4)眾所周知,對于無阻尼系統(tǒng),其固有振型(實模態(tài))是可以將質(zhì)量和剛度矩陣對角化。利用這一點,可以使用Matlab工具箱中的命令即可對任一廣義特征問題λPx=Qx求解并實現(xiàn)對角化。
步驟1:輸入原始性質(zhì)矩陣P和Q。
步驟2:用命令polyeig(P,0,Q),輸出無阻尼純模態(tài)及頻率s1,s2,…,(其中(·)*代表(·)的共軛)。
步驟3:構(gòu)造實模態(tài)矩陣U = [u1,u2,…,un]。
步驟5:檢驗UHPU=E,UHQU=Λ。
需要注意的是在步驟3中,需將含有復值模態(tài)位移的純模態(tài)調(diào)整為實模態(tài)。經(jīng)過本文作者多次實驗說明,即便使用沒有經(jīng)過調(diào)整的純模態(tài)也可以完成對角化。數(shù)值算例1將說明這種方法的有效性。
下面給出矩陣代數(shù)中的酉空間對角化的相關(guān)理論。
定義1 如果方陣A滿足AH=A,則A為一個Hermite矩陣。(()·H表示()·的共軛轉(zhuǎn)置,即()·H=
定義2 如果復矩陣A滿足AHA=E,則稱A為一個酉矩陣。
定義3 如果復矩陣A滿足AHA=AAH,則稱A為一個正規(guī)矩陣。
定理1 在數(shù)域F上,n階矩陣A能與某對角陣相似的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。
定理2 在數(shù)域F上,n階矩陣A相應于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。
定理3 在數(shù)域F上,若n階矩陣A存在n個互異的特征值,則A在數(shù)域F上相似于對角陣。
定理4 Hermite矩陣的特征值都是實數(shù)。
定理5 Hermite矩陣相應于不同特征值的特征向量相互正交。
定理6 對于n階Hermite矩陣必有n階酉矩陣U使
U-1AU =UHAU =diag(λ1,…,λn)其中λ1,…,λn是A的全部特征值。
定理7 A酉相似于對角陣的充分必要條件是A為正規(guī)矩陣。
根據(jù)上述酉空間對角化理論,結(jié)合本文對工程中廣義特征問題的討論,可推得如下結(jié)論:
(1)單頻對稱系統(tǒng)對角化實現(xiàn)的條件:對廣義特征問題λPx=Qx,特征空間一般不能對角化P-1Q或A型狀態(tài)矩陣,但卻能對角化P和Q,數(shù)值算例2將說明這一結(jié)論的正確性。
(2)在酉空間中任意線性無關(guān)的向量可以用施密特正交化方法正交化,這在重頻保守系統(tǒng)解耦過程中可以得到很好的應用,但要注意性質(zhì)
(3)任一非零酉空間都存在正交基和標準正交基,這為各種振系的解耦提供了可實現(xiàn)的基本條件。
(4)定理6中U的求法與歐氏空間中相應的對稱矩陣求正交相似變換陣使之對角化的方法類似。
設(shè)某振動系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣為
顯然這是一個對稱系統(tǒng)。
利用本文2.3中提出的算法,下面按無阻尼形式的廣義特征問題模式s2Mu=-Ku實現(xiàn)(M,K)對角化。純模態(tài)為
無阻尼固有頻率矩陣為
規(guī)范化后無阻尼固有振型(實模態(tài))為
檢驗后可知:UTMU=E,UTKU=-Λ
首先用式(3)、式(10)及式(17)三種特征形式解得的有阻尼系統(tǒng)的不同頻率所屬的復模態(tài)向量雖不完全相同,卻成比例,因此可以說明它們是一致的。其次用狀態(tài)向量的構(gòu)成形式式(18),對系統(tǒng)的狀態(tài)空間格式的廣義特征問題sAφ=-Bφ來實現(xiàn)(A,B)的對角化。
阻尼頻率矩陣為S=diag(-0.024 5+9.7i-0.024 5-9.7i -0.043 3+1.502 3i -0.044 3-1.502 3i -0.035 2+6.135 4i -0.035 2-6.135 4i-0.360 0+4.227 3i -0.360 0-4.227 3i -0.120 0+2.446 5i -0.120 0-2.446 5i)。
通過計算可知此例中規(guī)范化常數(shù)為復數(shù),因此只能分配給一組狀態(tài)向量,而使另一組狀態(tài)向量不變,所以規(guī)范化后的狀態(tài)向量分別為
檢驗可知:VTAU=E,VTBU=-S
本文是從數(shù)學與力學的交叉角度出發(fā),首先提煉了工程力學中產(chǎn)生廣義特征問題的數(shù)學模型,然后提出了求解廣義特征問題的3種方法,再指出系統(tǒng)性質(zhì)矩陣或狀態(tài)矩陣對角化的實現(xiàn)條件,并建立了用工程方法實現(xiàn)廣義特征模型對角化的算法,最后數(shù)值算例證明了本文方法與結(jié)論的正確性。
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