樊 濤 伍亞魁 龔海院

(海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 海南?？?571158)

1 引言和模型假定

在保險精算學(xué)中，對保險公司的最優(yōu)投資比例問題越來越感興趣，保險公司不僅投資到貨幣市場，而且部分投資到股票市場.由于股票市場具有高風(fēng)險性，必須合理的有效的進(jìn)行資金運(yùn)用，所以投資策略和風(fēng)險管理變得越來越重要.筆者從經(jīng)典的Cramer-Lundberg模型出發(fā)，考慮保險公司盈余過程帶干擾項(xiàng)，可以假定此時盈余過程：

ψ(u)=P{T<∞|U(0)=u}=P{T<∞|U(0)=u}，其中T=inf{t∶U(t)<0}.

2 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程

定理1 破產(chǎn)概率ψ(U)滿足下列積分-微分方程(HJB方程)：

證明：由于索賠到達(dá)過程{N(t),t≥0}服從強(qiáng)度為λ的泊松分布，考慮在(0,dt]有一次索賠到達(dá)的概率為λdt+o(dt)，反之無索賠發(fā)生的概率為1-λdt+0(dt).保費(fèi)收入為cdt+o(dt).無風(fēng)險資產(chǎn)的投資收入[1-b(t)]r0dt+o(dt).風(fēng)險資產(chǎn)的投資收入：

這樣破產(chǎn)概率可以寫成：

等價于：

代入上式，得：

注意t=0時，U0=u，ψ(U0=u)=ψ(u)

下面考慮常見的指數(shù)型索賠分布情況，令分布函數(shù)F(y)=1-e-ky

定理2 破產(chǎn)概率滿足的積分-微分方程的Laplace形式為αL″(S)+κL′(S)+γL(S)=0

帶入HJB方程中，

對u微分，

+ψ″(u)[((1-b)r0+bμ)u+c]+ψ′(u)((1-b)r0+bμ)-λ(-βψ(0)e-βu+ψ′(u)-ψ′(0)e-βu)

整理：

+ψ′(u)((1-b)r0+bμ-λ)+λ(βψ(0)e-βu+ψ′(0)e-βu

(1)

利用Laplac變換來求解上式積分-微分方程，破產(chǎn)概率的.Laplace變換換定義如變下：

=s2L″(s)+6sL(s)-2sL′(s)-4s2L′(s)=s2L″(s)+(-2s-4s2)L′(s)+6sL(s)，

記為αL″(S)+κL′(S)+γL(S)=0，其中：

證畢。