伍亞魁 吳桂權(quán) 簡(jiǎn)芳洪

(1九江學(xué)院理學(xué)院 江西九江 332005；2九江市彭澤縣第一中學(xué) 江西彭澤 332700)

現(xiàn)實(shí)生活中，很多實(shí)際問(wèn)題，都可轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)線性問(wèn)題，進(jìn)而利用矩陣解決．文獻(xiàn)[1-4]提出延拓矩陣的概念，文獻(xiàn)[5]在此基礎(chǔ)上提出廣義延拓矩陣.文獻(xiàn)[6，7]提出行(列)對(duì)稱矩陣，并根據(jù)母矩陣的LDU分解、Cholesky分解和三對(duì)角分解給出行(列)對(duì)稱矩陣的LDU分解、Cholesky分解和三對(duì)角分解公式[8]．本文在文獻(xiàn)[6，7]的基礎(chǔ)上給出了廣義延拓矩陣的LDU分解、Cholesky分解和三對(duì)角分解的公式，可極大地減少?gòu)V義延拓矩陣的LDU分解、Cholesky分解和三對(duì)角分解的計(jì)算量與存儲(chǔ)量，而且不會(huì)喪失數(shù)值精度，從而拓寬了文獻(xiàn)[1～4]的理論應(yīng)用范圍.

1廣義延拓矩陣的概念

A稱為R(A；P1,P2,…,Pk-1)的母矩陣.

定義2[1，2，5](廣義列延拓矩陣) 令A(yù)∈Rm×n，可逆矩陣P1,P2,…，Pk-1∈Rn×n,k為任意給定的正整數(shù).定義廣義列延拓矩陣C(A;P1,P2,…,Pk-1)為：

C(A;P1,P2,…,Pk-1)=[A,AP1,AP2,…,APk-1]∈Rm×kn

A稱為C(A;P1,P2,…,Pk-1)的母矩陣.

注：(1)當(dāng)P1=P2=…=Pk-1=I(單位矩陣)時(shí)，R(A;P1,P2,…,Pk-1)為文獻(xiàn)[1]的第一類k次行延拓. 當(dāng)P1=P2=…=Pk-1=P(置換矩陣)時(shí)，R(A;P1,P2,…,Pk-1)為文獻(xiàn)[2，3]的第二類k次行延拓.

(2)當(dāng)P1=P2=…=Pk-1=I(單位矩陣)時(shí)，C(A;P1,P2,…,Pk-1)為文獻(xiàn)[1]的第一類k次列延拓. 當(dāng)P1=P2=…=Pk-1=P(置換矩陣)時(shí)，C(A;P1,P2,…,Pk-1)為文獻(xiàn)[2，3]的第二類k次列延拓.

由以上定義，顯然有以下結(jié)論.

性質(zhì)1[1，2，5](保秩性)

rankR(A;P1,P2,…,Pk-1)=rankC(A;P1,P2,…,Pk-1)=rank(A).

性質(zhì)2[1，2，5](轉(zhuǎn)置關(guān)系)

性質(zhì)3[1，2，5](矩陣相乘關(guān)系)

XC(A;P1,P2,…,Pk-1)=C(XA;P1,P2,…,Pk-1).

2 廣義延拓矩陣的幾種分解

2.1 LDU分解

2.2 Cholesky分解

證明：

=[G-1A(GT)-1,0,0,…,0]=[In,0].

2.3 三對(duì)角分解

=[T-1AT,0,0,…,0]=[C0]

參考文獻(xiàn)：

[1]鄒紅星，王殿軍，黛瓊海，等.延拓矩陣的奇異值分解[J].科學(xué)通報(bào)，2000，45(14)：1560.

[2]鄒紅星，王殿軍，黛瓊海，等.延拓矩陣的奇異值分解[J].電子學(xué)報(bào)，2001，29(3)：289.

[3]鄒紅星，王殿軍，黛瓊海，等.行(或列)對(duì)稱矩陣的QR分解[J].中國(guó)科學(xué)(A)，2002，32(9)：843.

[4]藺小林，蔣耀林. 酉對(duì)稱矩陣的QR分解及其算法[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2005，28(5)：817.

[5]許成鋒 劉智秉，王侃民，等. 廣義延拓矩陣的QR分解[J].九江學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，29(6)：78.

[6]袁暉坪.行(列)對(duì)稱矩陣的LDU分解和Cholesky分解[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，28(1)：88.

[7]袁暉坪.行(列)對(duì)稱矩陣的滿秩分解和正交對(duì)角分解[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，29(3)：260.

[8]張賢達(dá). 矩陣分析與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.225.