程洪正，張立軍，阮 丞，刁 坤

（1.同濟大學 汽車學院，上海201804；2.同濟大學 新能源汽車工程中心，上海201804）

動力電池是電動汽車的最核心部件之一.近年來，鋰離子電池因其優(yōu)異的綜合性能倍受關注［1］.工作溫度對電池的各種特性，例如充放電功率與能量、效率、安全性、可靠性和壽命等都具有重要影響，并進而顯著影響電動汽車的性能［1－3］.因此，有關鋰離子電池熱動力學的建模與仿真、測試與評價、管理與控制成為核心關鍵技術［1－3］.

方形鋰離子電池的單電池結構主要由正負電極、隔膜和正負集流板組成，如圖1所示.正負集流板、正負電極、隔膜的長度和寬度方向尺寸為分米級，而厚度方向尺寸為微米級，具有顯著的跨尺度特征［1－2］.

目前，采用有限單元方法進行電池內部溫度場的建模與分析已經成為趨勢［3］.國內外相關研究主要基于對實際電池的不同程度簡化假設，考慮不同的運行 工 況，建 立 起 一 維［4－6］、二 維［7］、三 維［8－9］溫 度場模型.國內外學者建立的三維模型大多都將單體電池簡化為由各向異性的單一材料組成的單層結構，假設電池為均勻的發(fā)熱體或施加一致性熱源［4－9］.實際上，每個單體鋰離子電池是包含上百個圖1所示單電池的分層結構，且單電池的各層材料熱學屬性存在很大的差異，因而，在一定的工況下，內部溫度場并非均勻分布.但是，若直接按照單電池多層結構的實際尺寸進行單元劃分，進行電池內部溫度場有限單元建模與計算，將會由于跨尺度原因產生模型單元數(shù)量多、計算量大、難以實現(xiàn)的嚴重困難.

圖1 鋰離子單電池結構示意圖與三維尺寸（單位：mm）Fig.1 Schematic of lithium－ion battery cell（unit：mm）

因此，如何解決跨尺度建模問題成為利用有限元方法進行電池內部瞬態(tài)溫度場的預測的關鍵.本文就是針對這一問題提出了一種基于相似理論的解決方法.

相似理論方法是人們在探索自然規(guī)律的過程中形成的一種常用的?；椒?，對流體力學、傳熱學等學科的發(fā)展曾發(fā)揮了不可估量的作用［10］，并在各種傳熱工程技術領域中得到廣泛應用［11－12］.然而，目前還未發(fā)現(xiàn)將相似理論應用于電池物理場的建模預測，以及解決鋰離子電池跨尺度建模問題的案例.

為了解決電池內部溫度場有限單元建模的跨尺度難題，本文提出了基于相似理論的動力電池內部瞬態(tài)溫度場建模方法，從非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程出發(fā)推導建立了溫度場相似準則和相似關系，并利用ANSYS有限元軟件進行了相似準則和相似關系正確性的驗證，從而為面向對象的鋰離子動力電池熱動力學建模、分析與管理奠定了良好的基礎.

1 溫度場相似準則的推導

1.1 溫度場相似準則

電池的生熱散熱過程是一個典型的三維、內熱源的非穩(wěn)態(tài)導熱過程，為預測其溫度場，建立了三維常物性、非穩(wěn)態(tài)、第三類邊界條件下的導熱微分方程［13］.

控制方程：

第三類邊界條件：

初始條件：

式（1）—（3）中：λx、λy和λz分別為x、y和z三個方向的熱傳導系數(shù)；T為溫度；q為內熱源功率密度分布函數(shù)；ρ為密度；Cp為定壓比熱容；t為時間；hx，hy，hz分別為x、y、z三個方向的對流換熱系數(shù)；T0為初始溫度；Tf為環(huán)境中流體的溫度；a，b，c分別為x、y、z三個方向上的幾何參數(shù).

為將方程（1）—（3）作量綱一化處理，引入長度、時間、溫度三個標尺.

x，y，z方向上長度標尺分別取為δx、δy和δz，分別為

溫度度標尺取為

式中：θ0為過余溫度標度.

時間標尺取為

量綱一化導熱微分方程為

第三類邊界條件：

初值條件：

式（5）—（7）中：Θ＝θ／θ0為量綱一溫度，θ為過余溫度為傅里葉數(shù)，表征量綱一時間；，為無量綱一生熱速率和分別為x，y，z方向量綱一對流邊界位置；為量綱一位置坐標為畢渥數(shù)，表征量綱一對流散熱系數(shù).

顯然，由方程（5）—（7）可以看出，量綱一過余溫度Θ為Bix、Biy、Biz、Fo、Q、X、Y、Z、A、B和C的函數(shù).

以上即為三維常物性、非穩(wěn)態(tài)、第三類邊界條件下非穩(wěn)態(tài)導熱問題的相似準則數(shù).

1.2 溫度場原型與相似模型的參數(shù)設置

基于相似理論提出將厚度方向尺寸放大N倍的溫度場相似模型.根據(jù)前面的分析，要實現(xiàn)溫度場相似，相似準則數(shù)必須相等.由此確定相似模型與原型之間的參數(shù)設置必須滿足如表1 所示的比例關系.表中，N為縮放的比例.

表1 模型參數(shù)設置比例關系（原型：模型）Tab.1 Parameters ratios of prototype to scale model

當滿足表1條件時，模型與原型的溫度場相似，即Θ1（X，Y，Z，F(xiàn)o）＝Θ2（X，Y，Z，F(xiàn)o），也就是T1（x，y，z，t）＝T2（x，y，Nz，t）.

2 基于有限元的相似準則驗證

2.1 單層結構的有限元計算與驗證

文獻［14］給出了將單電池五層結構簡化為單層結構的等效方法，等效熱傳導系數(shù)、體積比熱容等效計算公式如下：

式中：λi為單電池各層熱傳導系數(shù)；ci為各層厚度；ρCp為及體積比熱容.

利用ANSYS軟件分別建立原型和厚度方向放大2倍的相似模型，進行相似準則和相似關系的驗證.由于單層結構厚度方向總尺寸為0.19mm，與長度寬度方向尺寸相差達到2個數(shù)量級.為此，分別將單層結構厚度方向放大100倍和放大200倍得到的單層結構模型作為原型和相似模型，根據(jù)相似準則設置參數(shù)，通過對比驗證相似準則和相似關系的正確性.

建模時假設：

（1）單體電池四周對流換熱，數(shù)值為10 W·m－2·K－1，頂面和底面的對流換熱等分到每個單電池的頂面和底面上，數(shù)值為10／154≈0.065W·m－2·K－1，并忽略熱輻射的影響.

（2）電池工作在1C 放電工況下，利用Bernardi等［15］提出的電池生熱速率公式（11），計算得到單電池的均勻體生熱速率為28 340 W·m－3.其中，生熱速率計算公式如下：

式中：I為電流；V為電池體積；Eoc為電池平衡電壓；U為電池工作電壓；T為溫度.

圖2所示為原型和相似模型的瞬態(tài)熱傳導有限單元模型，模型的單元類型為solid90.其中，原型的單元總數(shù)為1 792個，相似模型的單元總數(shù)為3 360個.

圖2 原型和相似模型熱傳導有限單元模型Fig.2 Finite element models of heat transfer

根據(jù)電池實際工況和相似準則，原型和相似模型的有限單元模型的屬性參數(shù)設置見表2.

表2 有限元模型參數(shù)設置Tab.2 Parameters of finite element models

圖3所示為3 600s時刻兩種模型的溫度場計算結果.圖3a、圖3b分別為原型和模型3 600s時刻溫度空間分布圖，圖3c為原型和模型中對應測點的溫度時間歷程曲線.其中，原型角點（0，0，0），原型中心點（47，84，9.5），模型角點（0，0，0），模型中心點（47，84，19）.

由圖3計算結果可知，相似模型與原型的溫度場的完全相似，即最高溫度和最低溫度，以及溫度場的空間分布和時間歷程的完全一致.這說明，理論推導確定的相似準則和相似關系是完全成立的.

圖3 單層結構原型與相似模型計算結果對比Fig.3 Comparison of calculation results between prototype and scale model with single－layer structure

2.2 多層結構的有限元計算與驗證

在多層結構假設條件下，利用ANSYS軟件分別建立原型和厚度方向放大2倍的相似模型，進行相似準則和相似關系的驗證.分別將原始結構厚度方向放大1 000倍和2 000倍得到的5層結構作為原型和相似模型，根據(jù)相似準則設置模型參數(shù)，通過對比有限元計算結果，驗證相似準則和相似關系的成立.

圖4所示為原型和相似模型的瞬態(tài)熱傳導有限單元模型，單元為solid90.其中，原型的單元總數(shù)為15 408個，相似模型的單元總數(shù)為30 816個.建模假設與單層結構相同.

圖4 原型和相似模型熱傳導有限單元模型Fig.4 Finite element models of heat transfer

根據(jù)電池工況和相似準則，原型和相似模型的有限單元模型的屬性參數(shù)及載荷、邊界條件、初始溫度設置見表3—5.

圖5所示為3 600s時刻兩種模型的溫度場計算結果，其中圖5a、圖5b 分別為原型和相似模型3 600s時刻的溫度分布，圖5c為原型和模型對應測點的溫度—時間歷程曲線.對應測點的位置坐標見表6.

表3 有限元模型參數(shù)設置一Tab.3 Parameters of finite element models：part 1

表4 有限元模型參數(shù)設置二Tab.4 Parameters of finite element models：part 2

由圖5可知，相似模型與原型整體最高溫度相差0.004 ℃，最低溫度相差0.046 ℃，推測是由于有限元計算誤差所致.因此，若忽略有限元計算誤差，在厚度方向放大2倍后，相似模型與原型的溫度場相似，即最高溫度和最低溫度，以及溫度場的空間分布和時間歷程一致.這說明，理論推導確定的相似準則和相似關系成立，而且可以滿足復雜的多層結構的建模與分析.

圖5 五層結構原型與相似模型計算結果對比Fig.5 Comparison of caculation results between prototype and scale model with multi－layers structure

3 結論

本文針對鋰離子電池多層跨尺度的相似模型建模研究主要得到以下結論：（1）根據(jù)三維常物性、非穩(wěn)態(tài)、第三類邊界條件下導熱微分方程，通過量綱—分析得到的相似準則和相似關系完全能夠實現(xiàn)溫度場時間歷程和空間分布的一致模擬；（2）在某一方向幾何尺寸縮放N倍，為實現(xiàn)溫度場完全相似，相應方向的熱傳導系數(shù)相應縮小N2倍，而對流換熱系數(shù)則縮小N倍，其他保持不變.

雖然本文已經基于相似理論建立了鋰離子電池內部溫度場的建模與預測方法，但是后續(xù)仍需通過大量的試驗修正模型參數(shù)，在進一步驗證有效性的基礎上，提高模型的預測精度.

［1］ Keyser M，Mihalic M，Pesaran A.Thermal characterization of plastic lithium ion cells［M］／／The 18th International Seminar and Exhibit on Primary and Secondary Batteris. Fort Lauderda：Advanced Battery Technology，2001.

［2］ Chen S C，Wan C C，Wang Y Y.Thermal analysis of lithiumion batteries［J］.Journal of Power Sources，2005，140（1）：111.

［3］ 李騰，林成濤，陳全世.鋰離子電池熱模型研究進展［J］.電源技術，2009，33（10）：927.LI Teng， LIN Chengtao， CHEN Quanshi. Research development on lithium－ion battery thermal model［J］.Chinese Journal of Power Sources，2009，33（10）：927.

［4］ Pals C R，Newman J.Thermal modeling of the lithium／polymer battery：I.discharge behavior of a single cell［J］.Journal of the Electrochemical Society，1995，142（10）：3274.

［5］ Pals C R，Newman J.Thermal modeling of the lithium／polymer battery：II.temperature profiles in a cell stack［J］.Journal of the Electrochemical Society，1995，142（10）：3282.

［6］ Smith K，Wang C Y.Power and thermal characterization of a lithium－ion battery pack for hybrid－electric vehicles ［J］.Journal of Power Sources，2006，160（1）：662.

［7］ Chen Y，Evans J W.Heat transfer phenomena in lithium／polymer－electrolyte batteries for electric vehicle application［J］.Journal of the Electrochemical Society，1993，140（7）：3274.

［8］ Chen Y，Evans J W.Three－dimensional thermal modeling of lithium－polymer batteries under galvanostatic discharge and dynamic power profile［J］.Journal of the Electrochemical Society，1994，141（11）：2947.

［9］ Taheri P，Bahrami M.Temperature rise in prismatic polymer lithium－Ion batteries：an analytic approach［C］／／Proceedings of SAE2012 World Congress ＆Exhibition.Detroit：SAE 2012 World Congress ＆Exhibition.2012：164－176.

［10］ 王豐.相似理論及其在傳熱學中的應用［M］，北京：高等教育出版社，1990.WANG Feng.Similarity theory and its application in heat transfer theory［M］.Beijing：Higher Education Press，1990.

［11］ 蔡志鵬，鹿安理，史清宇，等.相似理論在焊接溫度場和應力場及應變場中的應用［J］，焊接學報，2000，21（3）：79.CAI Zhipeng，LU Anli，SHI Qingyu，et al.Application of similitude principles to study in welding temperature，strain and stress fields［J］.Transactions of the China Welding Institution，2000，21（3）：79.

［12］ 朱作京，于達，宮敬.儲油罐溫度場模擬過程中傳熱相似理論［J］.油氣儲運，2007，26（12）：37.ZHU Zuojing，YU Da，GONG Jing.Study on thermal－like theory in simulation process of temperature field of oil storage tank［J］.Oil ＆Gas Storage and Transportation，2007，26（12）：37.

［13］ 楊世銘，陶文銓.傳熱學［M］.北京：高等教育出版社，2008.42－45.YANG Shiming，TAO Wenquan.Heat transfer theory［M］.Beijing：Higher Education Press，2008.42－45.

［14］ Bandhauer T M，Garimella S，F(xiàn)uller T F.A critical review of thermal issues in lithium－ion batteries ［J］.Journal of the Electrochemical Society，2011，158（3）：1.

［15］ Bernardi D，Pawlikowski E，Newman J.A general energy balance for battery systems［J］.Journal of the Electrochemical Society，1985，132（1）：5.