楊國微

（天津城市建設(shè)管理職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300134）

在完備格的框架下討論模糊語義的緊致性及其導(dǎo)出的模糊結(jié)論算子的緊致性之間的關(guān)系是模糊邏輯研究中的重要問題。［5］證明了在是黨的條件下兩種之間的等價性，在［1］中證明了模糊邏輯與二值邏輯類之間的等價關(guān)系。［4］中提出了以模糊邏輯代替二值邏輯作為模糊邏輯研究的元邏輯，并分析和研究了Pavelka邏輯［3］的程度化緊致性。本文首先給出了程度化模糊語義的二值表現(xiàn)形式以及程度化模糊語義的各種緊致性與二值模糊語義的緊致性之間的關(guān)系，最好從程度化模糊語義導(dǎo)出合適的程度化模糊語義結(jié)論算子。

（1）σ（X）X，

（2）如果X!Y，則σ（X）!σ（Y），

（3）σ（X）＝σ（σ（X）），

則稱σ為F上的模糊結(jié)論算子。

X∈LF，GF，定義X｜G∈LF為：x∈G，（X｜G）（x）＝X（x），否則（X｜G）（x）＝0。λ∈L，定義λX為：x∈F，λX（x）＝λ。X∈LF稱為有限的，如果supp（X）＝｛x：X（x）＞0｝是有限的。

定義2 （1）F上的模糊語義結(jié)論算子σ稱為緊致的，若X∈LF，x∈F，存在有限的GF，使得σ（X）（x）＝σ（X｜G）（x）。

（2）F上的模糊語義結(jié)論算子σ稱為是程度化緊致的，若X∈LF，x∈F，σ（X）（x）＝∨｛σ（X｜G）（x）：有限的GF｝。

命題1 緊致的模糊結(jié)論算子是程度化緊致的。

定義3 （1）ΠL（LF），若F≠Π，則Π稱為F上的程度化模糊語義。（2）設(shè)m，v∈LF，則m是v的模型的程度為

（3）Π－可滿足初始賦值之模糊集Sat（Π）∈L（LF）為

（4）程度化模糊語義Π稱為緊致的，如果v∈LF，x∈F，存在有限的v＇v使得

（5）程度化模糊語義Π稱為程度化緊致的，如果v∈LF，有

（6）程度化模糊語義Π稱為程度化邏輯緊致的，如果對任意定向集族VLF，有

命題2 Sat（Π）關(guān)于Π是閉包算子。

定義4 設(shè)T∈L（LF），如果m，v∈LF，均有

則稱T關(guān)于可滿足性封閉。

命題3 設(shè)T＝｛T：T關(guān)于可滿足性封閉｝，T對任意交封閉。

定理1 對任意Π∈L（LF），Sat（Π）＝∧｛T：TΠ，T關(guān)于可滿足性封閉｝。

證明 令D＝Sat（Π）＝∧｛T：TΠ，T關(guān)于可滿足性封閉｝，v∈LF，首先證Sat（Π）（v）!D（v），設(shè)TΠ，T關(guān)于可滿足性封閉，則m∈LF有

由條件TΠ知

因為m是任意的，所以

由T的任意性，有Sat（Π）!D。

其次證明Sat（Π）D，由Sat（Π）關(guān)于Π是閉包算子知Sat（Π）Π，又m，v∈LF

因此有Sat（Π）D，綜上有D＝Sat（Π）。

定義5 設(shè)Π∈L（LF），α∈L，定義Πα＝｛v∈LF：Π（v）α｝。

命題4 Π∈L（LF），

F上的一個L－推理規(guī)則指的是一個序?qū)＝（r＇，r″），其中r＇是F上的n元偏函數(shù)，r″是上的按每個變元保任意并的n元運算。若v∈LF且對任意（x1，…，xn）∈Dom（r＇），

則稱v對于規(guī)則r封閉，設(shè)R是F上的一集L－推理規(guī)則，如果對任意r∈R，v都關(guān)于r封閉，則稱v對于R封閉。F上的語法指的是一個序?qū)Ζ玻剑ˋ，R），其中A∈LF稱為公理集，R是L－推理規(guī)則集。

命題5 設(shè)Σ＝（A，R）是F上的L－語法，定義ΓΣ：LF→LF如下：X∈LF

則ΓΣ是F上的閉包算子，稱為由Σ導(dǎo)出的模糊結(jié)論算子。

Σ導(dǎo)出的模糊結(jié)論算子可以用程度化證明來刻畫：

定理3［3］設(shè)Σ＝（A，R）是F上的L－語法，X∈LF，x∈F，

關(guān)于程度化證明的詳細(xì)論述可參看［6］。

定義6 若有抽象公式Contra∈F，Π是抽象語義，對任意v∈Π，有v（Contra）＜1，則稱Π是C－正則的；若Σ＝（A，R）是F上的L－語法，設(shè)A（Contra）＝0，則稱Σ是C－正則的，Contra稱為抽象矛盾公式。

設(shè)Contra∈F，X∈LF，令ΔΣ（X）＝ΓΣ（X）∨X（Contra）F.

定理4［4］若Σ是和諧的且對任意r∈R

則ΔΣ是上的模糊推論算子。

定義7［4］ΔΣ的不動點稱為F中的Σ理論，若它不等于F，則稱為一致的；（2）F上的所有一致的Σ理論之集ΠΣ稱為在F中的自然語義。

定義8［4］設(shè)Σ是模糊語法，則它在F上的程度化自然語義Π＇Σ∈L（LF）定義如下：對任意v∈LF，當(dāng)ΔΣ（v）＝v時，Π＇Σ（v）＝Sub（v，F(xiàn)）→0，否則Π＇Σ（v）＝0。

命題6 如果Σ滿足定理4的條件，并對任意的r∈R及a1，…，an，b1，…，bn∈L，

定義T0∈L（LF）為T0（v）＝Π＇Σ（Δ（v）），則T0關(guān)于可滿足性封閉且T0Π＇Σ。

定理5［4］如果Σ滿足定理4的條件以及（1），則Π＇Σ是程度化緊致的。

下面定義新的可滿足性模糊集，并討論其緊致性。

定義9 設(shè)Π∈L（LF），對任意X∈LF，令

命題7 如果剩余蘊涵x→y對保任意并，則是閉包算子。

定義10 設(shè)Contra∈F，Σ是模糊語法，則它在F上的程度化自然語義給出如下：對任意v∈LF，當(dāng)ΔΣ（v）＝v時，否則

定理6 如果C－正則的和諧模糊語法Σ滿足定理4中的條件，以及（1）和對任意r∈，b，a1，…，an∈L

（II）注意到Σ的C－正則性及（2），施歸納法于程度化證明w的長度可知，對任意λ∈L，m∈LF，ΔΣ（λm）（Contra）!λΔΣ（m）（Contra）.

如果ΔΣ（m）＝m，則

如果ΔΣ（m）≠m，則所以

定義11 設(shè)ΠL（LF）是模糊語義，令σ：LFLF為稱σΠ為由Π導(dǎo)出的程度化模糊結(jié)論算子。

命題8 σΠ是閉包算子。

命題9 如果L是緊的，則σΠ是程度化緊致的當(dāng)且僅當(dāng)σΠ是緊致的。

證明X∈LF，

［1］Castro J.L.Fuzzy logics as families of bivaluated logics，F(xiàn)uzzy Sets and Systems，1994，64：321－332.

［2］Gerla G.An extention principle for fuzzy logic.Mathematical Logic Quarterly，1994，40：357－380.

［3］Pavelka J.On fuzzy logic I，II，III，Zeischr.f.Math.Logik.und Grundlagen d.Math，1979，25：35－52，119－134，447－464.

［4］應(yīng)明生.模糊邏輯的緊致性［J］.科學(xué)通報，1998，43（4）.

［5］王國俊.關(guān)于模糊語義的若干定理［J］.科學(xué)通報，1999，44（12）.

［6］王國俊.非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理［M］.北京：科學(xué)出版社，2000.