李 薇

（山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原030006）

0 引言

切換系統(tǒng)是混合系統(tǒng)的一個(gè)子類(lèi)，在過(guò)去的幾年中已經(jīng)引起了極大的關(guān)注.切換系統(tǒng)是一族由連續(xù)或離散動(dòng)力學(xué)描述的子系統(tǒng)和一個(gè)描述連續(xù)動(dòng)力學(xué)和離散動(dòng)力學(xué)之間切換的一個(gè)規(guī)則組成的.例如文[1]中攪拌油箱反應(yīng)器，文[2]中的風(fēng)速渦輪調(diào)節(jié)器.研究目的是尋找一個(gè)不含保守性或較小保守性的條件來(lái)保證在任意切換信號(hào)下切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文[2]中提出一個(gè)切換二次李亞普諾夫函數(shù)（SQLF）方法，把針對(duì)多處發(fā)生不確定的系統(tǒng)的多二次穩(wěn)定性技術(shù)應(yīng)用到一類(lèi)離散時(shí)間切換控制問(wèn)題中.因?yàn)镾QLF要求相鄰兩個(gè)子系統(tǒng)是遞減的，所以被認(rèn)為是在那些保守性方法（利用單個(gè)李亞普諾夫函數(shù)）和其他一些方法（在數(shù)值上很難證明）的一個(gè)折衷方案[3].在本文中研究帶有時(shí)延和參數(shù)不確定切換線(xiàn)性離散時(shí)延系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問(wèn)題.參數(shù)不確定性是時(shí)變的但是范數(shù)有界的，并且假設(shè)時(shí)延是時(shí)變的和有界的，這包含了常數(shù)時(shí)延和模型依賴(lài)常數(shù)時(shí)延這些特殊情形.針對(duì)相關(guān)的系統(tǒng)通過(guò)構(gòu)造一個(gè)SQLF得到魯棒穩(wěn)定性條件.這個(gè)條件依賴(lài)于上時(shí)延界和下時(shí)延界.這個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)能夠利用線(xiàn)性矩陣不等式（LMI）來(lái)表示并且可以利用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值軟件很容易地檢驗(yàn).基于這一點(diǎn)，魯棒鎮(zhèn)定性問(wèn)題可以通過(guò)設(shè)計(jì)一組所謂的時(shí)延或無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器來(lái)解決.這些控制器根據(jù)系統(tǒng)模型進(jìn)行切換.因?yàn)樗玫降钠谕刂破鞯拇嬖跅l件不是一個(gè)嚴(yán)格的LMI，所以利用錐補(bǔ)線(xiàn)性化算法來(lái)獲得控制器和一個(gè)次優(yōu)時(shí)延上界.對(duì)所有容許不確定性這個(gè)時(shí)延上界使得所研究的切換系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

1 問(wèn)題公式化和預(yù)備知識(shí)

考慮一類(lèi)帶有時(shí)變時(shí)延線(xiàn)性離散時(shí)間切換系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:

其中x（k）∈Rn是狀態(tài)向量；u（k）∈Rl是控制輸入；｛Φ（k），k＝－dM，－dM＋1，…，0｝是給定的初始條件序列；i是i（k）的簡(jiǎn)要表示，是時(shí)間的一個(gè)分段常函數(shù)，稱(chēng)為一個(gè)切換信號(hào)，在有限集I＝｛1，…，s｝中取值，s＞1是子系統(tǒng)的數(shù)目.在任意離散時(shí)刻k切換信號(hào)i依賴(lài)于k或x（k），或者都依賴(lài)，或者依賴(lài)于其他切換規(guī)則；對(duì)每個(gè)i∈I，Ai，Adi，Bi代表了名義系統(tǒng)，且Ai，Adi，Bi是已知適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣.ΔAi（k），ΔAdi（k），ΔBi（k）是實(shí)值時(shí)變矩陣函數(shù)，它們代表了時(shí)變泛數(shù)有界參數(shù)不確定性.

本文的目標(biāo)是針對(duì)相應(yīng)的不確定切換系統(tǒng)（1）得到魯棒穩(wěn)定性條件并設(shè)計(jì)一個(gè)鎮(zhèn)定的狀態(tài)反饋控制器.假設(shè)控制器有如下的形式

其中當(dāng)K2i＝0時(shí)，穩(wěn)定的控制器可能被稱(chēng)為無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器（SMSFC），K2i≠0時(shí)控制器可能被稱(chēng)為切換時(shí)延狀態(tài)反饋控制器（SDSFC）.

引理1[4]假設(shè)，那么對(duì)于任何矩陣滿(mǎn)足，下面的不等式成立

引理2[5]對(duì)于給定的適當(dāng)維數(shù)的矩陣ψ1，ψ2，ψ3，且＝ψ1.那么

對(duì)所有的W（k）成立，且滿(mǎn)足WT（k）W（k）≤I，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)一些ε＞0有

2 對(duì)名義系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問(wèn)題

在本節(jié)中我們首先考慮名義切換系統(tǒng)，形式如下:

下面的定理給出了系統(tǒng)（4）的一個(gè)充分條件.

定理1 不受外力?i∈I的系統(tǒng)（4）即u（k）≡0時(shí)是漸近穩(wěn)定的如果存在n×n矩陣Pi＞0，Xi＞0，Yi，?i∈I，Q＞0，R＞0使得下面的LMI對(duì)?（i，j）∈I×I成立

其中Λij＝－Pi＋dMXj＋Yj＋YTj＋（dM－dm＋1）Q.

證明 略.

定理2 考慮（4）中的切換系統(tǒng).一個(gè)形如（3）式的穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器存在如果存在n×n矩陣Ji＞0，Pi＞0，Xi＞0，Yi，?i∈I，Q＞0，R＞0，Z＞0和l×n矩陣K1i和K2i使得（6）和下面的條件成立

其中Λij和定理1中的一樣.

證明 考慮帶有控制器（3）的相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)，把（5）式中的Ai和Adi分別用Ai＋BiK1i和Adi＋BiK2i代替.利用diag｛P－1j，R－1，I，I｝變換為和（5）式有一致的形式，我們有

那么通過(guò)定義Ji＝P－1i，Z＝R－1就可以獲得所要得到的結(jié)果.

盡管我們不總是能找到全局最優(yōu)解，但是所提的非線(xiàn)性最小值問(wèn)題比最初的非凸可行性問(wèn)題更容易一些.算法如下:

算法SSC（解決一個(gè)穩(wěn)定控制器）

Step 1 尋找一個(gè)可行集（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，?i∈I）0滿(mǎn)足（6），（7）.令k＝0.

Step 2 解決下面的LMI問(wèn)題

Step 3 把所獲的矩陣變量（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，?i∈I）代入（9）.如果條件（9）對(duì)一些充分小的標(biāo)量δ滿(mǎn)足那么輸出的可行解（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，?i∈I）存在，否則跳到Step 4.

Step 4 如果k＞N存在，其中n是迭代所允許的最大值1否則跳到Step 5.

Step 5 令k＝k＋1，（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，?i∈I）k＝（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，?i∈I），繼續(xù)Step 2.

上述所設(shè)計(jì)算法的目的是針對(duì)已知的dm和dM尋找期望控制器的一個(gè)可行解，那么基于這一點(diǎn)，當(dāng)我們?cè)黾右粋€(gè)離線(xiàn)輸出步驟時(shí)對(duì)于已知的dm也能夠找到次優(yōu)最大時(shí)延界dM.

3 不確定切換系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問(wèn)題

3.1 魯棒穩(wěn)定性

下面的定理提出了不確定切換系統(tǒng)（1）在u（k）＝0時(shí)的魯棒穩(wěn)定性條件.

定理3 在（1）、（2）中不受外力的系統(tǒng)（1）當(dāng)u（k）＝0時(shí)是魯棒漸近穩(wěn)定的如果存在n×n矩陣Pi＞0，Xi＞0，Yi，?i∈I，Q＞0，Z＞0和標(biāo)量εi＞0滿(mǎn)足（6）和下面的LMI

其中Λij和定理1中定義的一樣.

證明 把（5）中的Ai和Adi分別用A＋GiΔi（k）F1i和Adi＋GiΔi（k）F2i來(lái)代替.找到和引理2中對(duì)應(yīng)的變量如下:

如果（6）和下面的不等式成立，我們可以很容易地得出結(jié)論.不等式如下:那么相應(yīng)的系統(tǒng)是魯棒漸近穩(wěn)定的.利用Schur補(bǔ)引理，由（11）式可得（10）式，定理證明完畢.

3.2 魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題

不確定切換系統(tǒng)（1）鎮(zhèn)定的狀態(tài)反饋控制器的存在條件描述如下:

定理4 考慮（1）、（2）的不確定切換系統(tǒng)（1）.一個(gè)形如（3）式的魯棒鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋控制器存在如果存在矩陣Ji＞0，Pi＞0，Xi＞0，Yi，?i∈I，Q＞0，R＞0，Z＞0，1×n矩陣K1i和K2i和標(biāo)量εi＞0滿(mǎn)足（6），（8）和下面的不等式

其中Λij和定理1中的一樣.

證明 利用證明定理2和3中所提供的技術(shù)來(lái)證明這個(gè)結(jié)論.

4 說(shuō)明例子

在這一節(jié)中我們用一個(gè)數(shù)值例子來(lái)證明所獲理論結(jié)果的適用性.

考慮（1）和（2）中的不確定切換系統(tǒng)由兩個(gè)子系統(tǒng)組成.對(duì)于子系統(tǒng)（1），系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)被描述為:

對(duì)于子系統(tǒng)（2），系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)被描述為:

假設(shè)切換信號(hào)是由下面的算法隨機(jī)產(chǎn)生的.算法如下:

算法GSS（產(chǎn)生切換信號(hào)）:

對(duì)于采樣T＝1到時(shí)長(zhǎng)

切換值＝rand

如果切換值≥Con

切換信號(hào)（采樣T）＝2

否則

切換信號(hào)（采樣T）＝1；

結(jié)束

其中工作表函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，它們均勻分布在間隔（0，1）.

那么在這個(gè)例子假設(shè)算法GSS的時(shí)長(zhǎng)＝100，Con＝0.6切換信號(hào)能夠通過(guò)Matlab來(lái)實(shí)現(xiàn)，圖1顯示了一種可能的情形.

首先我們檢驗(yàn)u（k）≡0時(shí)不確定切換系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性.假設(shè)時(shí)變時(shí)延d（k）的最小界dm＝2，那么利用定理3，我們找到dM＝5，這意味著上述系統(tǒng)對(duì)于2≤d（k）≤5是漸近穩(wěn)定的.

圖1 切換信號(hào)

進(jìn)一步基于定理4的條件和算法SSC，選擇ε1＝ε2＝0.1，我們分別利用SMSFC和SDSFC獲得最大時(shí)延界dM＝7和dM＝12.這意味這在評(píng)價(jià)系統(tǒng)中應(yīng)用這樣的控制器時(shí)允許的時(shí)延是增加的.此外證明了SDSFC有更好的性能.同時(shí)獲得SMSFC和SDSFC的控制器增益如表1所示，相應(yīng)地獲得時(shí)延界dM＝7和dM＝12.

當(dāng)SMSFCdM＝7時(shí)，k11＝ [0. 0 38 5 －0.800 9]；k12＝ [－ 0 .293 2 0.862 9]

d2i＝[00]，?i＝1，2

當(dāng)SDSFCdM＝12時(shí)，k11＝ [0. 0 65 2 －0.800 0]；k12＝ [－ 0 .230 7 1.074 0]

k21＝ [0. 1 14 3 0.084 8]；k22＝ [－ 0 .191 7 －0.062 0].

另外，應(yīng)用SMSFC和SDSFC我們分別假設(shè)時(shí)延變量在2≤d（k）≤7和2≤d（k）≤12中隨機(jī)地變化.對(duì)于初始條件x[ ]＝ －0.5 0.3T我們獲得相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的控制軌跡和狀態(tài)相應(yīng)分別如圖2和圖3所示.從曲線(xiàn)中可以很明顯地看到在隨機(jī)產(chǎn)生的切換信號(hào)下和變化的不確定參數(shù)下切換系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的.

圖2 兩個(gè)不同控制器下的控制軌跡

圖3 兩個(gè)不同控制器下閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)相應(yīng)

5 結(jié)論

在本文，研究了帶有有界時(shí)變時(shí)延和泛數(shù)有界時(shí)變不確定切換線(xiàn)性離散時(shí)間系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問(wèn)題.針對(duì)相應(yīng)的系統(tǒng)構(gòu)造了一個(gè)切換二次李亞普諾夫函數(shù)并利用LMI公式得到依賴(lài)時(shí)延界的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)，這個(gè)判據(jù)能夠利用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字軟件很容易檢驗(yàn).此外，魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題也可以通過(guò)設(shè)計(jì)一組所謂的切換時(shí)延或無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器來(lái)解決.利用錐補(bǔ)線(xiàn)性化算法來(lái)獲得控制器和次優(yōu)上界時(shí)延使得相應(yīng)的系統(tǒng)對(duì)所有允許的不確定能夠穩(wěn)定.介紹了一個(gè)數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明所提方法的有效性.

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