胡彥芳 李繼紅

（1.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原030006；2.山西大學(xué) 管理科學(xué)與工程研究所，山西 太原030006）

0 引言

服務(wù)臺(tái)可能發(fā)生故障且可修復(fù)的排隊(duì)系統(tǒng)稱為可修排隊(duì)系統(tǒng).到目前為止，已有不少學(xué)者從系統(tǒng)的排隊(duì)問題以及因故障產(chǎn)生的可靠性問題兩個(gè)方面展開了廣泛而深入的研究，并取得了大量的研究成果.1982年曹晉華和程侃[1]首次在排隊(duì)理論研究中從可靠性理論的角度討論了服務(wù)臺(tái)可修的M／G／1排隊(duì)系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)的各種可靠性數(shù)量指標(biāo).此外唐應(yīng)輝，余君等人[2－3]也發(fā)表了一系列與可靠性有關(guān)的學(xué)術(shù)論文.更多有關(guān)可修排隊(duì)的研究成果詳見唐應(yīng)輝，唐小我[4]的著作.

近年來，從顧客角度出發(fā)研究排隊(duì)系統(tǒng)的策略問題成為一個(gè)新的熱點(diǎn).這一思想最早是由Naor[5]提出來的，他在可視情形下對M／M／1排隊(duì)模型中的顧客困境問題進(jìn)行了探討，得出了基于簡單線性“收益－成本”結(jié)構(gòu)的均衡顧客策略.此后基于經(jīng)典排隊(duì)和休假排隊(duì)的顧客策略的文獻(xiàn)不斷涌現(xiàn)[6，7]，但到目前為止罕有學(xué)者把可修排隊(duì)系統(tǒng)與顧客決策結(jié)合起來研究，在此背景下，本文研究了M／M／1可修排隊(duì)系統(tǒng)的顧客均衡策略問題.

1 模型描述

假設(shè)顧客到達(dá)獨(dú)立且服從參數(shù)為λ（＞0）的泊松過程；服務(wù)時(shí)間獨(dú)立且服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)臺(tái)發(fā)生故障的時(shí)間間隔獨(dú)立且服從參數(shù)為ξ的負(fù)指數(shù)分布；故障發(fā)生時(shí)所有顧客被迫離開（包括正在接受服務(wù)的顧客），服務(wù)臺(tái)馬上進(jìn)入修復(fù)狀態(tài)，修復(fù)時(shí)間獨(dú)立且服從參數(shù)為η的負(fù)指數(shù)分布.修復(fù)期間到達(dá)的顧客不允許進(jìn)入系統(tǒng)，即損失這一部分顧客.修復(fù)完成后，服務(wù)臺(tái)完全恢復(fù)其功能，進(jìn)入通常的閑期或是立即服務(wù)到達(dá)的顧客，采用先到先服務(wù)規(guī)則.到達(dá)過程、服務(wù)過程、故障過程、修復(fù)過程相互獨(dú)立.

用數(shù)對（Q（t），I（t））表示系統(tǒng)在時(shí)刻t的狀態(tài)，其中Q（t）表示t時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)，I（t）表示服務(wù)臺(tái)所處的狀態(tài)，I（t）＝1表示服務(wù)臺(tái)處于工作狀態(tài)，I（t）＝0表示服務(wù)臺(tái)處于維修狀態(tài).注意到當(dāng)I（t）取值為0時(shí)，Q（t）的值也必然為0.由此，隨機(jī)過程｛（Q（t），I（t））:t≥0｝是一個(gè)具有狀態(tài)空間S＝｛（n，1），n≥0｝∪｛（0，0）｝的二維連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈，它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率圖形見圖1所示.

為了對顧客決策過程進(jìn)行建模，假設(shè)顧客服務(wù)完成后獲得的收益為Rs，系統(tǒng)發(fā)生故障被迫離開時(shí)獲得的補(bǔ)償費(fèi)用為Rf，同時(shí)在其排隊(duì)過程中（包括正在接受服務(wù)的過程），每單位時(shí)間需要承受的損耗為C，顧客需繳納服務(wù)費(fèi)用（手續(xù)費(fèi)）為p（＜Rs），另外顧客是風(fēng)險(xiǎn)中立（risk neutral）的，追求自身利益最大化.最后假設(shè)決定不進(jìn)入系統(tǒng)而離開的顧客將永遠(yuǎn)不再回來，而進(jìn)入系統(tǒng)的顧客將不允許中途退出.

圖1 ｛（Q（t），I（t））:t≥0｝的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率圖

2 顧客均衡策略

引理1 在M／M／1可修隊(duì)列中，顧客觀察到前面有n個(gè)顧客時(shí)決定進(jìn)入系統(tǒng)的預(yù)期凈收益為

證明 考慮一個(gè)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)處于狀態(tài)（n，1）后決定進(jìn)入系統(tǒng)的標(biāo)記顧客.該顧客可能由于服務(wù)完成離開系統(tǒng)或者服務(wù)臺(tái)發(fā)生故障被迫離開系統(tǒng).若是服務(wù)完成，等待時(shí)間（包括接受服務(wù)的時(shí)間）是n＋1個(gè)相互獨(dú)立且服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布的服務(wù)時(shí)間之和（由于指數(shù)分布具有無記憶性，正在接受服務(wù)的顧客（如果存在）的剩余等待時(shí)間仍然服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布）；若系統(tǒng)發(fā)生故障，等待時(shí)間服從參數(shù)為ξ的指數(shù)分布.因此該顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間為Z＝min（Yn，X），其中Yn服從n＋1階Erlang分布，X服從參數(shù)為ξ的指數(shù)分布，Yn與X相互獨(dú)立.故該標(biāo)記顧客服務(wù)完成離開系統(tǒng)的概率為P[Yn＜X]，而系統(tǒng)發(fā)生故障被迫離開的概率為P[Yn≥X].所以預(yù)期凈收益為

而

把（3）和（4）代入（2）中，得到（1）式.

證畢.

考慮可觀察到系統(tǒng)狀態(tài)的任意一位到達(dá)顧客.由于服務(wù)臺(tái)修復(fù)期間到達(dá)的顧客不允許進(jìn)入系統(tǒng)，所以當(dāng)顧客觀察到系統(tǒng)處于狀態(tài)（0，0）時(shí)，止步離開，不存在決策問題.因此，僅研究系統(tǒng)處于狀態(tài)（n，1）的情形.當(dāng)顧客選擇進(jìn)入系統(tǒng)的預(yù)期凈收益為正值時(shí)，最優(yōu)策略是進(jìn)入系統(tǒng)；當(dāng)預(yù)期凈收益是負(fù)值時(shí)，最優(yōu)策略是止步離開；而預(yù)期凈收益為0時(shí)，則對是否進(jìn)入持中立態(tài)度.為簡單起見，我們假設(shè)當(dāng)預(yù)期凈收益為0時(shí)，顧客選擇進(jìn)入系統(tǒng)，于是得到定理1.

定理1 在M／M／1可修隊(duì)列中，存在唯一均衡顧客策略（同時(shí)也是唯一最優(yōu)策略），分為以下三種情形:

此時(shí)唯一最優(yōu)策略是止步離開系統(tǒng)；

此時(shí)唯一最優(yōu)策略是一個(gè)閾值策略“顧客在到達(dá)時(shí)刻t觀察到系統(tǒng)處于工作狀態(tài)，且系統(tǒng)中的顧客數(shù)（包括正在接受服務(wù)的顧客）Q（t）滿足:Q（t）≤ne時(shí)進(jìn)入系統(tǒng)，否則止步離開”，這里ne由下式給出

其中

此時(shí)唯一最優(yōu)策略是進(jìn)入系統(tǒng).

證明 考慮一個(gè)標(biāo)記顧客，當(dāng)觀察到系統(tǒng)處于狀態(tài)（n，1）時(shí)決定進(jìn)入系統(tǒng)，那么其預(yù)期凈收益由（1）式給出.當(dāng)S（n）≥0時(shí)，顧客愿意進(jìn)入系統(tǒng)，由（1）式得到

關(guān)于n求解（7）式得到，當(dāng)標(biāo)記顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)觀察到系統(tǒng)中至多有ne個(gè)顧客，其中ne由（5）式給出時(shí)，才愿意進(jìn)入系統(tǒng).而由（5）式，當(dāng)時(shí)，ne為負(fù)值，因此止步離開是顧客的最優(yōu)策略，即得到第一種情況.另一方面，當(dāng)時(shí)，由（5）式給出的閾值ne是非負(fù)的，即得到第二種情況.

在此情形下，不等式（7）恒成立，則標(biāo)記顧客總愿意進(jìn)入系統(tǒng).

關(guān)于n求解（7）式得到，當(dāng)標(biāo)記顧客觀察到系統(tǒng)中至少有ne個(gè)顧客時(shí)，才愿意進(jìn)入系統(tǒng)，其中ne由（5）式給出.而由（5）式，此時(shí)的ne顯然為負(fù)值，故顧客總是更愿意進(jìn)入系統(tǒng).綜合B，C兩種情形，我們得到第三種情況.

3 數(shù)值模擬

圖2是在給定參數(shù)（λ，μ，η，C，Rs，Rf，p）＝（7，4，2，3，7，2，2）時(shí)，隨故障率ξ變化的顧客均衡閾值ne的變化圖.從圖中可看出，ne是ξ的非增階梯函數(shù)，最終將隨著ξ的增大而降至0.這與現(xiàn)實(shí)一致，表明故障發(fā)生太過頻繁，顧客將不再進(jìn)入系統(tǒng).

圖2 顧客均衡閾值ne關(guān)于故障率ξ的變化圖

圖3是在給定參數(shù)（λ，μ，ξ，η，C，Rs，p）＝（7，4，0.4，2，3，7，2）時(shí)，隨補(bǔ)償費(fèi)用Rf變化的顧客均衡閾值ne的變化圖.從圖中可看出，ne是ξ的非降階梯函數(shù)，因?yàn)殡S著補(bǔ)償費(fèi)用Rf的增大，顧客進(jìn)入系統(tǒng)的意愿增強(qiáng)，同樣與現(xiàn)實(shí)相符.

圖3 顧客均衡閾值ne關(guān)于補(bǔ)償費(fèi)用ξ的變化圖

4 結(jié)論

本文在可見排隊(duì)的前提下，基于“收益－成本”結(jié)構(gòu)，從顧客角度出發(fā)，構(gòu)建了顧客個(gè)人的收益函數(shù)，確定出顧客均衡策略，最后通過數(shù)值模擬得到顧客均衡閾值關(guān)于故障率和補(bǔ)償費(fèi)用兩個(gè)參數(shù)的變化情況.鑒于篇幅限制，本文沒有從社會(huì)總體和服務(wù)臺(tái)這兩個(gè)角度出發(fā)展開分析，這將在之后的文獻(xiàn)中進(jìn)一步探討.

[1]曹晉華，程 侃.服務(wù)臺(tái)可修的M／G／1排隊(duì)系統(tǒng)分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1982，5:113－127

[2]唐應(yīng)輝，劉志旺.帶有維修和損失的可修排隊(duì)系統(tǒng)分析[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1993，22（5）:527－533

[3]余 君，岳德權(quán)，馬明建，等.具有止步和中途退出的兩不同服務(wù)臺(tái)的可修排隊(duì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011，41（3）:113－120

[4]唐應(yīng)輝，唐小我.排隊(duì)論:基礎(chǔ)與分析技術(shù)[M].北京:科學(xué)出版社，2006:1－260

[5]Naor P.The regulation of queue size by levying tolls[J].Econometrica，1969，36:15－24

[6]Economou A，Go′mez－Corral A，Kanta S.Optimal balking strategies in single－server queues with general service and vacation times[J].Perform.Eval.，2011，68:967－982

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[8]Economou A，Boudali O.Optimal and equilibrium balking strategies in the single server Markovian queue with catastrophes[J].European Journal of Operational Research，2012，218（3）:708－715

[9]Economou A，Kanta S.Equilibrium balking strategies in the observable single－server queue with breakdowns and repairs[J].Operations Research Letters，2008，36（6）:696－699

[10]Hassin R，Haviv M.To queue or not to queue:equilibrium behavior in queueing systems[M].Boston:Kluwer Academic Publishers，2003:1－190