張姍梅 劉耀軍

（1.太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 太原030012；2.太原師范學(xué)院 計算機系，山西 太原030012）

利用一個環(huán)的理想，可以構(gòu)造出新的環(huán)——商環(huán).并且一個環(huán)R的商環(huán)窮盡了R的滿同態(tài)像:商環(huán)是滿同態(tài)像，滿同態(tài)像就是商環(huán)[1].這樣，一個環(huán)R和其他環(huán)的關(guān)系在一定意義下歸結(jié)為R與其商環(huán)的關(guān)系，即環(huán)R與外部世界的關(guān)系歸結(jié)為環(huán)R自身的內(nèi)部結(jié)構(gòu).商環(huán)在一定程度上繼承了原環(huán)的一些性質(zhì)，同時也產(chǎn)生了一些新的特點.如果對環(huán)的理想添加一些不同的限制，就有可能構(gòu)造出具有不同性質(zhì)的環(huán)來.當(dāng)然，首要問題是，弄清楚環(huán)的所有理想.本文就常見的矩陣環(huán)討論了這個問題.

設(shè)R是一個環(huán)，n是正整數(shù).則R上全體n階矩陣，全體n階上三角形矩陣以及全體n階對角矩陣，對于矩陣的普通加法和乘法分別作成環(huán)Mn（R），MΔn（R），Mdn（R）.分別稱Mn（R），MΔn（R），Mdn（R）為環(huán)R上的全矩陣環(huán)，上三角形矩陣環(huán)[2]和對角矩陣環(huán).

定義[3]設(shè)R是一個環(huán)，I是R的非空子集，如果I滿足

1）對任意的r1，r2∈I，r1－r2∈I；

2）對任意的r∈I，s∈R，rs，sr∈I.

則稱I為環(huán)R的一個理想.

引理1[4]設(shè)R是一個環(huán)，I是R的理想.則Mn（I）是Mn（R）的理想.

引理2[4]設(shè)R是一個環(huán)，M是Mn（R）的理想.令

則I是R的理想.

引理3 設(shè)R是一個有單位元的環(huán)，M是Mn（R）的理想.則存在R的理想I，使M＝Mn（I）

證明 由引理2，I＝｛a∈R｜存在A＝（aij）∈M，a11＝a｝是R的理想.下證M＝Mn（I）.記Eij為（i，j）元素是單位元1，其余元素全為零元0的n階方陣.

任取A＝（aij）∈M，則E1iAEj1∈M，且E1iAEj1的（1，1）元素為aij，由I的構(gòu)造知aij∈I，從而A＝（aij）∈Mn（I），因此M?Mn（I）.

另一方面，任取X＝（xij）∈Mn（I），則xij∈I，因而存在Y＝（yij）∈M，使得y11＝xij，于是xijEij＝Ei1YE1j∈M，從而X＝（xij）＝∑xijEij∈M，故Mn（I）?M.因此M＝Mn（I）.

由引理1，引理3可得

定理1 設(shè)R是一個有單位元的環(huán)，則Mn（R）的全部理想為Mn（I），這里I是環(huán)R的理想.

注 若R沒有單位元，則如上結(jié)論不成立.例:設(shè)R是偶數(shù)環(huán)，I是由所有整數(shù)4r（r是整數(shù)）所作成的R的理想.則

引理4 設(shè)Iij（1≤i≤j≤n）是環(huán)R的理想，且對任意i≤m≤l≤j有Iml?Iij.則

是R上的上三角形矩陣環(huán)（R）的理想.

證明 任取A＝（aij），B＝（bij）∈M，則i＞j時aij＝0，bij＝0，1≤i≤j≤n時aij，bij∈Iij.于是i＞j時aij－bij＝0，1≤i≤j≤n時aij－bij∈Iij，從而A－B＝（aij－bij）∈M.

再任取K＝（rij）∈（R），則k＞j時rkj＝0.從而有i＞j時

1≤i≤j≤n時，由aij∈Iij及對任意i≤m≤l≤j有Iml?Iij知

于是AK＝（cij）∈M，KA＝）∈M.因此M是（R）的理想.

證明 令I(lǐng)ij＝｛a∈R｜存在A＝（aij）∈M使a＝aij｝（1≤i≤j≤n）.若a，b∈Iij，則存在A＝（aij），B＝（bij）∈M使a＝aij，b＝bij.于是A－B＝（aij－bij）∈M，a－b＝aij－bij因此a－b∈Iij.任取r∈R，則rE∈MΔn（R）.于是

因ra＝raij，ar＝aijr，所以ra，ar∈Iij.從而Iij是R的理想.又對任意i≤m≤l≤j，設(shè)c∈Iml，則存在A＝（aij）∈M使aml＝c.于是由Eim，Elj∈（R）知故c∈Iij.從而Iml?Iij.下證（1）成立，用M′表示（1）右端的集合.

任取A＝（aij）∈M，則aij∈Iij（1≤i≤j≤n）.于是A∈M′，M?M′.

另一方面，若A＝ （aij）∈M′，則aij∈Iij（1≤i≤j≤n），因此存在相應(yīng)矩陣Y＝ （yij）∈M，使得yij＝aij，于是aijEij＝y(tǒng)ijEij＝EiiYEjj∈M，從而，故M′?M.因此M＝M′.

由引理4，引理5可得

定理2 設(shè)R是一個有單位元的環(huán)，則Mn（R）的全部理想為

其中Iij是R的理想，且滿足對任意i≤m≤l≤j有Iml?Iij.

類似引理4，引理5的證明，可得:

以精準對接為目標，推進教育扶貧新方式。建立“深入宣傳政策、廣泛收集信息、聯(lián)動精準定位、快速落實政策”工作機制，對全省所有建檔立卡貧困戶，建立到校、到戶、到學(xué)生的教育精準扶貧大數(shù)據(jù)平臺，按獎、貸、助、補、免等資助政策給予多元資助，確保幫扶政策及時準確地落到實處，打造貧困學(xué)生資助的“基礎(chǔ)保障流水線”。強化控輟保學(xué)措施，對因病因殘無法隨班就學(xué)的，做到定期送教上門；對厭學(xué)的貧困學(xué)生，采取單獨編班和入讀職業(yè)學(xué)校的方式因?qū)W施教。創(chuàng)新推行教育扶貧資助政策落實，由“學(xué)生跑”或“家長跑”為“校長跑”，確保貧困家庭學(xué)生享受各種助學(xué)政策。

引理6 設(shè)R是一個環(huán)，Ii（i＝1，2，…，n）是R的理想.則

是R上對角矩陣環(huán)（R）的理想.反之，設(shè)M是（R）的理想，則存在R的理想Ii，i＝1，2，…，n使M＝

由引理6可得:

定理3 設(shè)R是一個環(huán)，則（R）的全部理想為

其中Ii是R的理想.

定理4 令dZn＝｛dr｜r∈Zn｝[5]，則模n的剩余類環(huán)Zn的所有理想為dZn，其中d＝0或d｜n，1≤d＜n.

證明 先證dZn是Zn的理想.任取a，b∈dZn，r∈Zn，則a＝dr1，b＝dr2（r1，r2∈Zn）.于是a－b＝dr1－dr2＝d（r1－r2）∈dZn；ra＝ar＝（dr1）r＝d（r1r）∈dZn.dZn是Zn的理想.

又設(shè)I是Zn的任一理想，則[0]∈I.如果I＝｛[0]｝，則取d＝0，有I＝dZn.如果I≠｛[0]｝，令d是使得[d]∈I的最小正整數(shù)，則1≤d＜n且對任意[q]∈Zn有d[q]＝[dq]＝[d][q]∈I.因此dZn?I.另一方面，若[b]∈I，設(shè)b＝dq＋r（0≤r＜d），則r＝b－dq，從而[r]＝[b－dq]＝[b]－[dq]＝[b]－[d][q]∈I.但d是使得[d]∈I的最小正整數(shù)，故r＝0.這樣b＝dq（因此d｜b），從而[b]＝[dq]＝d[q]∈dZn，因此I?dZn.故I＝dZn.并且由上證明知若[b]∈I，則d｜b.因此由[n]＝[0]∈I得d｜n.

定理5 設(shè)Zn是模n的剩余類環(huán)，則

1）Mm（Zn）的全部理想為Mm（dZn），其中d＝0或d｜n，1≤d＜n.

其中dij＝0或dij｜n，1≤dij＜n且對任意i≤m≤l≤j有dij｜dml.

3）（Zn）的全部理想為｝，其中di＝0或di｜n，1≤di＜n.

證明 根據(jù)定理1，定理2，定理3，由定理4可得.

例 模2的剩余類環(huán)Z2上的上三角矩陣環(huán)MΔ3（Z2）的全部理想為

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