田 軍，田 晨

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 經(jīng)貿(mào)學(xué)院,河南 鄭州 450015；2.英國(guó)愛(ài)丁堡大學(xué) 莫雷教育學(xué)院,愛(ài)丁堡 EH89BE,英國(guó))

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型自1973年發(fā)表以來(lái)，無(wú)論在學(xué)術(shù)界還是在實(shí)務(wù)界，都引起了強(qiáng)烈的反響，大大地促進(jìn)了金融創(chuàng)新的高速發(fā)展，美國(guó)德克薩斯儀器公司還根據(jù)期權(quán)定價(jià)模型研制開(kāi)發(fā)出了裝有計(jì)算期權(quán)價(jià)值程序的計(jì)算器.現(xiàn)在幾乎所有從事期權(quán)交易的經(jīng)紀(jì)人都持有各家公司出品的這類(lèi)計(jì)算機(jī)，利用按照這一模型開(kāi)發(fā)的程序?qū)ζ跈?quán)交易進(jìn)行估價(jià)，這項(xiàng)工作對(duì)金融創(chuàng)新和各種新型金融產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)與利用起到了巨大的推動(dòng)作用.

隨著期權(quán)交易的發(fā)展，人們逐漸發(fā)現(xiàn)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型中一些原始假設(shè)的不合理性，并開(kāi)始了修正原始模型假設(shè)條件或?qū)⒛Ｐ屯茝V到其他類(lèi)型標(biāo)的金融工具方面的工作.Roll[1]，Geske[2-3]和Whaley[4]運(yùn)用連續(xù)時(shí)間定價(jià)的方法推出了原生證券有紅利支付的看漲期權(quán)定價(jià)公式；Cox，Ross和Rubinstein[5]以及Rendleman和Barter[6]建立了離散時(shí)間期權(quán)套利定價(jià)模型——二項(xiàng)定價(jià)模型；Rubinstein等[7]研究了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值關(guān)系，解釋了看漲期權(quán)價(jià)值為什么與投資者的態(tài)度無(wú)關(guān)的原因；Merton[8]和 Levy等[9]分別討論了期權(quán)價(jià)格的一階隨機(jī)優(yōu)勢(shì)邊界問(wèn)題；Geske和Shastri[10]研究了美式期權(quán)最優(yōu)提早執(zhí)行的條件；Merton[11]，Chen和Bernard等[12-13]也從不同的角度研究了金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題.國(guó)內(nèi)在相關(guān)研究方面比較落后，但最近幾年也取得了很多成果[14-18].

縱觀有關(guān)期權(quán)定價(jià)理論的研究文獻(xiàn)，可見(jiàn)構(gòu)造一個(gè)能準(zhǔn)確、實(shí)際地估算期權(quán)價(jià)值的數(shù)學(xué)模型是相當(dāng)困難的，也是每一位金融數(shù)學(xué)工作者的一項(xiàng)艱巨任務(wù).為此，需要針對(duì)基于混合過(guò)程的多因素的衍生證券定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行研究.

1 服從混合過(guò)程的多因素金融衍生產(chǎn)品定價(jià)模型

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型中一個(gè)基本假設(shè)條件就是股票價(jià)格遵循ITO過(guò)程.這一假設(shè)條件雖然強(qiáng)調(diào)了在將來(lái)任一特定時(shí)刻股票價(jià)格的概率分布僅取決于股票當(dāng)前的價(jià)格這一性質(zhì)，但它只描述了股票價(jià)格在時(shí)間與空間上以連續(xù)形式的變化狀態(tài)，即由經(jīng)濟(jì)中某些平常條件帶來(lái)的正常變化，而并未反映出由經(jīng)濟(jì)中的不尋常情況帶來(lái)的異常變化，這些不正常變化往往會(huì)引起股價(jià)大幅度的不連續(xù)跳躍.而混合過(guò)程不僅包含ITO過(guò)程，還包含Poisson跳躍過(guò)程，它既描述了由經(jīng)濟(jì)因素引起的股票價(jià)格的正常波動(dòng)，又能準(zhǔn)確刻畫(huà)由非經(jīng)濟(jì)因素所導(dǎo)致的股票價(jià)格異常變動(dòng)的特征.

現(xiàn)假設(shè)金融衍生市場(chǎng)滿足：① 許將全部所得(Proceeds)賣(mài)空金融產(chǎn)品；②沒(méi)有交易成本和稅收(不付紅利或其他收益)；③所有金融衍生產(chǎn)品是完全可分割的；④不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)；⑤金融衍生產(chǎn)品交易是連續(xù)的.

假若標(biāo)的金融產(chǎn)品(或相關(guān)資產(chǎn))的價(jià)格Si(i=1，2，…，n)在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中服從如下混合過(guò)程：

(1)

為建立基于混合過(guò)程多因素衍生金融產(chǎn)品價(jià)格所滿足的微分方程，先給出幾個(gè)引理.

(2)

利用一元函數(shù)的泰勒公式及多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，便可得到式(2).

引理2 設(shè)狀態(tài)變量xi遵循下列ITO過(guò)程

(3)

則對(duì)任意f=f(x，t)，有

(4)

根據(jù)引理1得(4)式.

定理設(shè)標(biāo)的金融產(chǎn)品的價(jià)格Si在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中服從式(3)中的混合過(guò)程，f(S，t)是依賴(lài)于標(biāo)的金融產(chǎn)品Si的衍生金融產(chǎn)品的價(jià)格，r表示瞬間無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，ρij表示dzi與dzj之間的相關(guān)系數(shù)(1≤i，j≤n)，則

(5)

其中，θi(1≤i≤n)是僅依賴(lài)于狀態(tài)變量S與時(shí)間t的常數(shù)，Ki(t)是Poisson過(guò)程△Pi的振幅，S=(S1，S2，…，Sn)，Ei(S，t)=λiE[f(S1(1+J1)，S2(1+J2)，…，Sn(1+Jn)，t) -f(S1，S2，…，Sn，t)].

證明根據(jù)引理1和引理2，結(jié)合(3)的表達(dá)式可得

(6)

式中，只有含項(xiàng)dzi是隨機(jī)項(xiàng).

為消除隨機(jī)項(xiàng)，構(gòu)筑無(wú)風(fēng)險(xiǎn)金融衍生產(chǎn)品組合G，并假定Fk具有相同于f的擴(kuò)散過(guò)程(6)，定義hk為第k個(gè)金融產(chǎn)品在證券組合中的投資份額，則

(7)

選擇hk，使得金融產(chǎn)品收益率中的隨機(jī)分量項(xiàng)為0.根據(jù)方程(6)可知：

(8)

因此，金融產(chǎn)品組合的收益

(9)

方程(8)與方程(9)可視為包含hk的n+1個(gè)線性方程組：

令fk=f的，整理得

(10)

其中,θi(1≤i≤n)是僅依賴(lài)于狀態(tài)變量Si(1≤i≤n)與時(shí)間t的常數(shù).

方程(10)即為服從混合過(guò)程的多因素衍生金融產(chǎn)品的價(jià)格所滿足的二階偏微分方程.

特別地，若Pi(t)=0(i=1，2，…，n)，則Ki(t)=0(i=1，2，…,n),此時(shí)方程(10)成為一般形式多因素衍生金融產(chǎn)品價(jià)所滿足的微分方程.

2 衍生金融產(chǎn)品定價(jià)模型分析

現(xiàn)在利用多因素衍生金融產(chǎn)品定價(jià)模型來(lái)討論股票價(jià)格與利率之間以及依賴(lài)它們的衍生金融產(chǎn)品價(jià)格間的關(guān)系.

假定利率r也遵循某種關(guān)于時(shí)間t的隨機(jī)過(guò)程，它滿足如下ITO過(guò)程：

dr=a(r，t)dt+b(r，t)dz2，

假若衍生金融產(chǎn)品的價(jià)格f由股票價(jià)格S、利率r及時(shí)間t決定，則由定理結(jié)論知

(11)

其中,ω(r，S，t)=a(r，t)-b(r，t)λ(r，S，t)=η(t)-rδ(t),表示一類(lèi)額外的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，它僅取決于標(biāo)的變量r,S和時(shí)間t，而與證券的性質(zhì)無(wú)關(guān).

這也說(shuō)明，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方程是基于混合過(guò)程多因素衍生金融產(chǎn)品定價(jià)模型的一個(gè)特例.

(12)

值得注意的是，方程(12)能較好地驗(yàn)證 Ho和Lee所建立的有關(guān)面值為S0的零息票普通債券定價(jià)模型

f(r，t)=S0eA(t，T)-rB(t，T).

(13)

將式(13)代入方程(12)，有

(14)

對(duì)式(14)進(jìn)行兩次關(guān)于r的微分，可得到

因?yàn)锽是關(guān)于T的函數(shù)，而a(r，t)，b(r，t)，λ(r，t)與T無(wú)關(guān)，所以

(15)

從a(r，t)，b(r，t)的表達(dá)式不難看出，方程(15)恒成立.

年齡通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)，說(shuō)明年齡對(duì)外出務(wù)工意愿具有顯著影響。年齡系數(shù)值為0.915，其實(shí)際意義為年齡每增大1年，其外出意愿為原來(lái)的0.915倍。0.915小于1，表明年齡越大，勞動(dòng)力外出務(wù)工的意愿越小。青壯年勞動(dòng)力的視野更開(kāi)闊，對(duì)就業(yè)收入、行業(yè)及機(jī)會(huì)等有更高要求，被城鎮(zhèn)更多的就業(yè)機(jī)會(huì)、更高的勞動(dòng)報(bào)酬所吸引，從而外出務(wù)工意愿更強(qiáng)烈。

3 衍生金融產(chǎn)品定價(jià)模型的求解方法

基于混合過(guò)程的多因素衍生金融產(chǎn)品定價(jià)模型的解，是求解n+1元二階偏微分方程問(wèn)題，對(duì)這樣一個(gè)二階偏微分方程求解是相當(dāng)困難的.為此，僅討論基于兩種標(biāo)的證券的衍生金融產(chǎn)品的定價(jià)模型，至于兩個(gè)以上標(biāo)的證券的多因素衍生金融產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題，可仿效求之.

設(shè)兩種標(biāo)的證券的價(jià)格S1和S2在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中遵循如下幾何Brownian運(yùn)動(dòng)：

dS1=a1(S1，S2，t)dt+b1(S1，S2，t)dz1，
dS2=a2(S1，S2，t)dt+b2(S1，S2，t)dz2，

設(shè)依賴(lài)于標(biāo)的證券S1和S2的衍生金融產(chǎn)品價(jià)格為f=f(S1，S2，t)，則由泰勒展開(kāi)式知

其中,ρ是dz1與dz2間的相關(guān)系數(shù).

因此，當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r時(shí)，根據(jù)無(wú)套利原則，有dG=rGdt,即

(16)

若b1=σ1S1，b2=σ2S2(σ1、σ2為常數(shù))，則方程(16)變成為

(17)

為求滿足方程(17)的衍生金融產(chǎn)品的價(jià)格f(S1，S2，t)，不妨設(shè)定f(S1，S2，t)的終期收益為f(S1，S2，t)=max(S2-S1，0).

則方程(17)的約束條件為s.t.f(S1，S2，t)=max(S2-S1，0).

從而方程(17)可化簡(jiǎn)為

(18)

且約束條件變?yōu)?/p>

(19)

g(x，t；T)=c(x，t；T),

所以

4 結(jié)束語(yǔ)

衍生金融產(chǎn)品定價(jià)的理論與方法一直是學(xué)術(shù)界與實(shí)務(wù)界較為關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.在金融市場(chǎng)，金融衍生產(chǎn)品具有很強(qiáng)的變化流動(dòng)性和轉(zhuǎn)移收益/風(fēng)險(xiǎn)的特性，金融衍生產(chǎn)品的價(jià)格都受一種不確定因素的影響.本研究中所建立的基于混合過(guò)程的多因素衍生金融品定價(jià)模型只是從一個(gè)側(cè)面給出了標(biāo)的證券服從混合過(guò)程時(shí)衍生金融產(chǎn)品的定價(jià)方法，也是對(duì)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的推廣.

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