危 鈺

(武漢鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 湖北 武漢 430205)

1 原子復(fù)合與光子退耦

宇宙早期處于極度高溫狀態(tài)，任何原子結(jié)構(gòu)都不存在，宇宙各處無時無刻都發(fā)生著可逆反應(yīng)：

e-+p?H+γ

(1)

它的正向反應(yīng)即原子的復(fù)合，為了研究復(fù)合和退耦的關(guān)系，做如下理論分析。

首先，把電離氫的數(shù)密度記作np，氫原子的數(shù)密度記作nH，于是可以定義氣體的電離度為：

(2)

顯然，在溫度較高的時候電離度接近1，膨脹中溫度降低使得電離度隨之降低。在這個過程中還涉及到核子數(shù)和光子數(shù)之比的問題，把它們的比值記作：

(3)

這個值往往是由觀測事實來推定的， 值得注意的是，nH和nγ在宇宙膨脹中都與膨脹因子R3成反比，所以他們的比值η是不變的。下面為了討論的繼續(xù)，先暫時借用已有的數(shù)據(jù)，取η≈5×10-10.

令氣體的溫度為T，在統(tǒng)計平衡下，質(zhì)子，電子和氫原子的量子漲落情況都滿足Boltzmann分布，因此有：

(4)

(5)

(6)

式子中的μ代表各組分的化學(xué)勢，m代表粒子靜質(zhì)量，g代表自旋自由度數(shù)。對于上述粒子我們已知：gp=ge=2 ，gH=4 ；mp+me-mH=B，另外考慮化學(xué)平衡和電中性條件有：

μp+μe=μH

(7)

np=ne

(8)

其中，已經(jīng)利用光子組分化學(xué)勢為零，且對于任意化學(xué)勢為零的組分，其粒子數(shù)密度滿足：

(9)

式子(9)中的上半部分針對波色組分，下半部分針對費米組分，且其中的ξ(3)≈1.202 是宗量為3的Riemannξ函數(shù)值。光子屬于波色子，自旋自由度數(shù)為2，故由(9)可知光子的數(shù)密度為：

(10)

結(jié)合式子(3)和(10)可以有：

(11)

用式子(7)消去式子(4)(5)(6)中的化學(xué)勢，再和式子(11)聯(lián)立就能得到電離度Xp和溫度T以及η之間的依賴關(guān)系了。把me和B這些粒子物理中的已知量帶入，可以得到一個簡單的數(shù)值結(jié)果：

(12)

這里溫度的單位為電子伏。由這個結(jié)果我們就能明確的看到，隨著溫度的降低，電離度大概在0.4eV到0.25eV之間連續(xù)而迅速的降低。

上面的推導(dǎo)只指出了電離度下降和溫度之間的關(guān)系，但本質(zhì)上，光子的退耦取決于光子和實物粒子的碰撞情況，也就是說，到底溫度下降到什么程度可以認(rèn)為上述復(fù)合反應(yīng)不再繼續(xù)，光子退出了與實物粒子復(fù)合的相互作用，這仍然需要從光子退耦的基本定義出發(fā)進(jìn)一步分析。

在電離氣體中，光子的熱碰撞主要是和自由電子的Thomson散射，取自然單位制，則每個光子單位時間內(nèi)的碰撞次數(shù)為：

Γ=neσTh

(13)

式中的σTh為散射截面，與光子能量無關(guān)，這個值在粒子物理中是清楚的，為：σTh=6.65×10-25cm2.

無論相互之間的關(guān)系多么復(fù)雜，宇宙膨脹是光子退耦的根本原因，膨脹用膨脹率H描寫，可以從基本的宇宙動力學(xué)方程和宇宙模型的理論中推出，這些動力學(xué)方程包括Friedmann方程：

(14)

該方程是描述宇宙膨脹的基本方程，可以把常數(shù)項，曲率項和輻射項都忽略，得到：

(15)

下標(biāo)0表示是今天的值，例如ρm0表示今天的實物密度。另外密度與宇宙尺度以及溫度之間有關(guān)系：

(16)

式子(16)的后半部分利用了退耦后光子氣體的等效溫度滿足RT=常數(shù)的結(jié)論，該結(jié)論在后面的討論中會有證明。于是聯(lián)立(15)和(16)并帶入觀測值：Hubble常數(shù)H0=65km·s-1·Mpc-1以及宇宙密度參量Ωm0=1/3 可以得到：

(17)

接下來討論光子碰撞率隨溫度的變化，由于ne=np，式子(13)可以改寫為：

Γ=XpηnγσTh

(18)

將式子(10)和散射截面代入式子(18)，并用T/Tγ0代替 ，則得到：

(19)

為簡單起見，不妨取Γ=H作為光子退耦的標(biāo)志，同時取η≈5×10-10，則聯(lián)立式子(12)、(17)和(19)得出Xp≈4×10-3，相應(yīng)的溫度可以算出為Tdec=0.25eV，這就是光子退耦時的宇宙溫度了。在COBE數(shù)據(jù)中可以看到這個理論計算與實際觀測數(shù)據(jù)吻合的很好。

注意在上面的計算中，有許多宇宙學(xué)參數(shù)都直接取了觀測值而未加討論，并且認(rèn)為是各向同性的。事實上，比較式子(17)和(19)可以看出，若令Γ=H為光子退耦的判據(jù)，那么如果我們測量到背景光子溫度存在微弱的各向異性，則表示Xpη也存在著各向異性，也就是說，各方向上的電離度和核子光子數(shù)比有所不同，這就意味著各個方向上物質(zhì)的密度可能存在差異，這種微弱的早期密度差異可能正是宇宙結(jié)構(gòu)形成的起因。

2 COBE數(shù)據(jù)以及對早期密度漲落的推算

由美國國家航空宇航局(NASA)主持的宇宙背景輻射探測衛(wèi)星(COBE)為我們提供了關(guān)于宇宙各向異性方面的數(shù)據(jù)，圖1[1]是由Smoot教授領(lǐng)導(dǎo)的小組所作的實驗觀測圖，他們?yōu)榱吮容^各向上微弱的差異，對于全部的觀測數(shù)據(jù)取對數(shù)，并計算了偏差，在圖中，這種微弱的漲落被表現(xiàn)的非常直觀。從觀測數(shù)據(jù)上看，這種各向異性約為：δ=5×10-6.

圖1 圖中對所有的觀測數(shù)據(jù)取對數(shù)作為多極漲落的橫坐標(biāo)，并計算了它們的偏差。盡管這在統(tǒng)計上不是完備的，但可以展現(xiàn)各向異性。

首先，對于我們觀測到的宇宙背景溫度實際上是一個各個不同方向和空間的平均值，這個背景存在小的起伏，即T=T(θ,φ)，對于這樣的起伏用多極展開討論比較方便，它的數(shù)學(xué)形式是按照球諧函數(shù)展開，即：

(20)

其中第一項a00是平均溫度。第二項是偶極各向異性，它反映了觀測者的運動速度。從第三項起，也就是四極各向異性才描述了退耦時的溫度起伏(當(dāng)然，事實上觀測者運動的Doppler效應(yīng)對高次項也有影響，扣除它們才是退耦時的起伏)。

多極起伏用δT描述，它與展開系數(shù)的關(guān)系是：

(21)

其中尖括號表示對m的平均，從結(jié)構(gòu)形成的角度估算，δT1/T0約是μK數(shù)量級的。而COBE衛(wèi)星上的一套儀器DMR在1992年測到了這個四極各向異性，它的大小是：

(22)

不妨取退耦時宇宙各向上的電離度為：Xp≈4×10-3，代入式子(12)，可以得到：

17.6×10-14ηT3/2e13.6/T-0.996=0

(23)

(24)

又由定義式(3)知道η是核子數(shù)與光子數(shù)之比，但在退耦時可以近似認(rèn)為光子數(shù)是各向同性的，那么這個漲落就完全由核子數(shù)的漲落所決定，即：

δnH=nγδη

(25)

則相應(yīng)引起的密度漲落應(yīng)該為：

(26)

代入光子數(shù)密度，即得到密度相對漲落為：

(27)

到此，我們就從背景輻射的漲落推導(dǎo)出了早期宇宙的實物密度漲落。

注意到實驗數(shù)據(jù)中探測到的溫度起伏是對10°范圍內(nèi)的天區(qū)掃描得到的平均值[1](儀器的分辨率只達(dá)到這個范圍)，也即是說，這個溫度漲落對應(yīng)著遙遠(yuǎn)宇宙中很大的一個區(qū)域。這個區(qū)域的大小表征了漲落的擾動尺度，光子退耦距現(xiàn)在的時間大約為tγ=1.37×1010年，則我們所觀測到的天區(qū)距地球的距離大約為r=ctγ，所以這塊天區(qū)的尺度應(yīng)該為：

I=rθ=ctγθ≈3.6×1024m

(28)

則對應(yīng)Jeans理論中擾動的波長為：

λ=2l=7.2×1024m

(29)

又已知Jeans自引力物質(zhì)結(jié)團(tuán)理論有臨界結(jié)團(tuán)波動尺度稱之為Jeans尺度，它為：

(30)

以式子(30)作為判據(jù)，代入必要的參量可以得出臨界波長，其中聲速的推算最為重要，因假設(shè)溫度的微小變化不改變物態(tài)方程，即有：

(31)

則聲速應(yīng)該為：

(32)

則臨界波長為：

(33)

要求出現(xiàn)自引力不穩(wěn)定性則要求波動的尺度不小于臨界波長，即λ≥λJ，因此那個時候的宇宙密度臨界值為：

ρ≥1.29×10-30kg·m-3

(34)

也就是說，退耦時宇宙的實物部分密度應(yīng)該滿足式子(34)才能出現(xiàn)自引力不穩(wěn)定性從而導(dǎo)致結(jié)團(tuán)。

3 分析與結(jié)論

據(jù)可靠觀測數(shù)據(jù)，今天的宇宙實物密度大致的范圍是：

ρ0≥4.7×10-28～3.6×10-27kg·m-3

(35)

退耦時刻的宇宙密度相對漲落以及在此漲落下滿足自引力結(jié)團(tuán)要求的臨界密度值已經(jīng)由式子(27)和(34)推算得到，對于為何與今天宇宙密度范圍相差甚大的合理解釋之一可能是在退耦時期的暗物質(zhì)與普通物質(zhì)的比例更大，也就是說也許暗物質(zhì)正在逐步轉(zhuǎn)化為可觀測物質(zhì)，又或者暗物質(zhì)相對于可觀測物質(zhì)的占比正在減少。如果認(rèn)為宇宙的變化一直是一個連續(xù)的沒有階段躍變的過程，那么可能越早期的宇宙中，暗物質(zhì)所占的比例就越大。那么暗物質(zhì)對于宇宙結(jié)構(gòu)的形成可能起著更重要的作用。

當(dāng)然，這些在很大程度上只是估算，畢竟這個漲落的分辨率為10度左右，把我們關(guān)心的更細(xì)致的起伏都抹去了。2001年升空的觀測衛(wèi)星MAP和2007年發(fā)射的衛(wèi)星Planck Surveyor都準(zhǔn)備在更高的分辨率下測量溫度起伏，這些問題有待進(jìn)一步的實驗數(shù)據(jù)與分析。

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