史志偉，倪芳原，陳永亮

（南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，江蘇 南京 210016）

0 引 言

對(duì)于現(xiàn)代先進(jìn)戰(zhàn)機(jī)來說，尋求準(zhǔn)確實(shí)用的大迎角非定常氣動(dòng)力模型，用于動(dòng)力學(xué)仿真、穩(wěn)定性分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，成了眾多專家學(xué)者的研究目標(biāo)。但是目前還未獲得能夠準(zhǔn)確描述戰(zhàn)機(jī)上的非定常氣動(dòng)力，并且可以很方便的應(yīng)用于飛行仿真的數(shù)學(xué)模型。

大迎角非定常氣動(dòng)力建模主要沿著兩個(gè)方向發(fā)展：其一是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方法，如代數(shù)模型［1］、階躍響應(yīng)模型、狀態(tài)空間模型［2－4］、微分方程模型［5］等；其二是現(xiàn)代建模方法，即利用新型邊沿學(xué)科研究成果來建立氣動(dòng)力與飛行狀態(tài)之間的關(guān)系式，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型［6］、模糊邏輯模型等［7－8］。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方法則可看作是“白箱”問題，“白箱”問題是機(jī)理分析法建模，即根據(jù)物理背景和機(jī)理分析來建立氣動(dòng)力與飛行狀態(tài)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。早期的空氣動(dòng)力學(xué)模型一般近似用某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)變量及其時(shí)間導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的泰勒展開，取其線性項(xiàng)來表示。這種近似適用于小迎角附著流的情形，但是如果擴(kuò)展到大迎角時(shí)就不再適用了。在早期的空氣動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，Tobak M和他的同事應(yīng)用階躍函數(shù)方法建立了積分形式的非定常非線性氣動(dòng)力模型。雖然這種方法十分有效，但是飛行器運(yùn)動(dòng)的方程是微分形式的，很難把非定常非線性氣動(dòng)力的積分模型與飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的微分方程聯(lián)立起來，因此限制了積分模型的廣泛使用。Goman M等人在此基礎(chǔ)上，引入流場(chǎng)狀態(tài)的內(nèi)部變量，把上面的常微分方程組改寫成輸入—狀態(tài)—輸出動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，建立了稱之為狀態(tài)空間表達(dá)的非定常數(shù)學(xué)模型［9－11］。其中內(nèi)部狀態(tài)變量可以只是形式上的表達(dá)，而且可以有明確的物理意義。由于采用矩陣表示，當(dāng)狀態(tài)變量、輸入變量或輸出變量的數(shù)目增加時(shí)，并不增加系統(tǒng)描述的復(fù)雜性。國內(nèi)有研究表明狀態(tài)空間法的模型可以反映大迎角非線性非定常氣動(dòng)特性，并且具備很好的仿真計(jì)算、預(yù)測(cè)能力。

模糊邏輯與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法則是將氣動(dòng)力的建立過程看作“黑箱”問題，“黑箱”模型本身作為系統(tǒng)的一種模型，不需要建立有明確表達(dá)式的數(shù)學(xué)模型。這樣建立的模型具有強(qiáng)大的自學(xué)習(xí)功能，能夠?qū)W習(xí)適應(yīng)不確定性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，同時(shí)對(duì)于建模參數(shù)的數(shù)量也沒有限制。有研究表明，對(duì)于耦合運(yùn)動(dòng)的非定常氣動(dòng)力這種具有多變量參數(shù)的函數(shù)，模糊邏輯原理是很適合于耦合運(yùn)動(dòng)的非定常氣動(dòng)力建模。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理多變量、非線性、非定常氣動(dòng)力問題時(shí)也是一種有效的方法。但是這兩個(gè)方法的缺點(diǎn)在于非定常氣動(dòng)力的建模參數(shù)比較多，計(jì)算量較大，其建模精度還有待提高。

本文將在三角翼狀態(tài)空間模型的研究基礎(chǔ)上，完成某飛機(jī)模型的小振幅風(fēng)洞動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)，計(jì)算該飛機(jī)模型的“同相”、“反相”導(dǎo)數(shù)，對(duì)狀態(tài)空間模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。通過對(duì)建模結(jié)果的分析，來討論此狀態(tài)空間模型的適用性。

1 數(shù)學(xué)模型的形式以及模型辨識(shí)過程及方法［9－11］

飛機(jī)模型在大迎角下的流動(dòng)特性，很大程度上取決于渦流和渦破碎流，并在此過程中產(chǎn)生了很重要的時(shí)間遲滯效應(yīng)［12］。氣動(dòng)力系數(shù)在物理意義上，可以分解成由不同特征時(shí)間常數(shù)的勢(shì)流（包含附著流、非破碎渦流）與破碎渦流、完全失速流共同作用的形式。對(duì)于所有氣動(dòng)載荷，這里給出一普遍的形式如下：

其中i＝（x，y，z，l，m，n）為氣動(dòng)分量，ξ＝（α，β，p，q，，…）T為運(yùn)動(dòng)參數(shù)，τatt、τdyn、τFSF分別為勢(shì)流、渦破碎和完全失速流的流動(dòng)調(diào)整過程時(shí)間常數(shù)。右端第二項(xiàng)也即渦破碎量可以寫成非線性常微分方程的形式，能夠以更靈活的形式來描述時(shí)間常數(shù)：

其中＝t＊V／c為無量綱時(shí)間常數(shù)，下文中均直接簡寫為t；kn（α）為m＋1個(gè)待估參數(shù)、為在渦流破碎過程中引起的準(zhǔn)定常延遲，（，）實(shí)際即為Cidyn的靜態(tài)值ΔCi。

綜合上述研究可知，式（1）、式（2）構(gòu)成了非線性、非定常狀態(tài)空間氣動(dòng)模型的基本形式。

以某三角翼模型縱向運(yùn)動(dòng)的法向力系數(shù)的線性模型為例，來介紹兩步回歸［13］參數(shù)辨識(shí)方法的一般過程：

對(duì)方程（3）進(jìn)行線性化，可以導(dǎo)出如下形式：

由此可以得到，“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)它們兩者之間的關(guān)系如下：

線性回歸方程（5）可以看作是以“同相”動(dòng)導(dǎo)數(shù)為自變量、“反相”導(dǎo)數(shù)為因變量的一個(gè)線性方程。由第一步線性回歸得到特征時(shí)間常數(shù)τ之后，式（4）就可以看作是不同迎角下、估計(jì)未知參數(shù)CNαatt、CN˙αatt、ΔCNα的線性回歸方程。通過第二步線性回歸可以得到待估參數(shù)勢(shì)流分量CNαatt、CN˙αatt和渦破碎流分量ΔCNα的值；至此，線性回歸方程（3）中的所有未知參數(shù)通過兩步回歸法都得到了其估計(jì)值。

圖1、圖2為單獨(dú)俯仰運(yùn)動(dòng)以及單獨(dú)偏航運(yùn)動(dòng)情況下，狀態(tài)空間模型的參數(shù)估計(jì)值以及縱向建模和航向建模線性（Cimod1）、非線性模型結(jié)果（Cimod3）與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（Ciexp）的對(duì)比。圖中Cist為系數(shù)Ci的靜態(tài)值，Ciatt為通過辨識(shí)得到的系數(shù)Cist的勢(shì)流部分值，Ciexp為系數(shù)Ci的動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)值，ΔCi為通過辨識(shí)得到的系數(shù)Cist的渦破碎流部分值，Cidyn為通過求解微分方程得到的系數(shù)Ci的渦破碎流部分值。

圖1 三角翼模型縱向建模線性、非線性模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較（β＝0°，f＝0.5Hz）Fig.1 The delta wing：comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear pitching unsteady aerodynamic model

圖2 三角翼模型航向建模線性、非線性模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較（α0＝30°，f＝0.5Hz）Fig.2 The delta wing：comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear yawing unsteady aerodynamic model

2 飛機(jī)模型狀態(tài)空間模型建立與研究

對(duì)于飛機(jī)模型的狀態(tài)空間模型建立，仍引用文獻(xiàn)［9］中的狀態(tài)空間模型方程。并設(shè)計(jì)風(fēng)洞小振幅動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)，得到飛機(jī)模型作單自由度運(yùn)動(dòng)在不同中心迎角下的小振幅實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。進(jìn)而推導(dǎo)“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，得到飛機(jī)模型在不同迎角，不同頻率下的“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)值。這樣就可以用兩步回歸法來進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到狀態(tài)空間模型中的所有未知參數(shù)，進(jìn)而得到建模結(jié)果。

2.1 實(shí)驗(yàn)研究

2.1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

本文實(shí)驗(yàn)在南京航空航天大學(xué)NH－2低速風(fēng)洞中進(jìn)行的，該風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段口徑為3m×2.5m矩形帶切角。圖3所示為模型支撐機(jī)構(gòu)和本文實(shí)驗(yàn)所用的模型。實(shí)驗(yàn)時(shí)模型采用尾支撐，并保證模型重心、天平校心、模型旋轉(zhuǎn)中心三心重合。

2.1.2 數(shù)據(jù)采集和處理

風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)得到飛機(jī)模型作單自由度運(yùn)動(dòng)在不同中心迎角下的小振幅實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，模型運(yùn)動(dòng)規(guī)律為α＝α0－αmcos（2πft），模型運(yùn)動(dòng)頻率分別為（0.4，0.5，0.6，0.7）Hz。數(shù)據(jù)采集通過一桿式六分量應(yīng)變天平來實(shí)現(xiàn)。由于測(cè)量數(shù)據(jù)是在模型作快速往返運(yùn)動(dòng)情況下采集得到的，大迎角氣流分離引起的流動(dòng)不重復(fù)性，以及模型作高頻擺動(dòng)時(shí)的慣性力和氣流分離后非定常渦流引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響，造成測(cè)量數(shù)據(jù)離散性很大，乃至有用的信號(hào)淹沒在背景噪聲之中，而無法獲得準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果。因此，除了數(shù)據(jù)采集時(shí)采用10Hz低通濾波器外，另外設(shè)計(jì)了數(shù)字濾波軟件［14］，以減少實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)噪聲。

圖3 動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)照片F(xiàn)ig.3 The photo of test apparatus and model

2.2 飛機(jī)模型動(dòng)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算［15］

在模型的參辨識(shí)中，第一步線性回歸需要在不同迎角下的“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)來辨識(shí)得到相關(guān)參數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得飛機(jī)模型的小振幅實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可計(jì)算得到在不同迎角，不同頻率下的“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)小擾動(dòng)理論以及用實(shí)驗(yàn)法提取動(dòng)導(dǎo)數(shù)，我們將氣動(dòng)力寫成（以俯仰力矩Cm為例）：

由于在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中Δq＝Δ˙α，飛機(jī)模型運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足：Δα＝－αmcos（kt），由此得到：

對(duì)式（7）兩端同時(shí)乘以cos（kt）以后進(jìn)行時(shí)間平均，得到：

這樣可以通過積分運(yùn)算得到俯仰運(yùn)動(dòng)的“同相”導(dǎo)數(shù)。

同理，對(duì)式（7）兩端同時(shí)乘以sin（kt）以后進(jìn)行時(shí)間平均，得到：

這樣可以通過積分運(yùn)算得到俯仰運(yùn)動(dòng)的“反相”導(dǎo)數(shù)。

下圖為飛機(jī)模型在不同迎角、不同頻率下的“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)。

圖4 飛機(jī)模型“同相”導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)Fig.4 In－phase aerodynamic derivatives of aircraft

圖5 飛機(jī)模型“反相”導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)Fig.5 Out－of－phase aerodynamic derivatives of aircraft

2.3 飛機(jī)模型建模結(jié)果與分析

在得到飛機(jī)模型的“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)值之后，就可以用兩步回歸法來進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到狀態(tài)空間模型中的所有未知參數(shù)，進(jìn)而得到建模結(jié)果。

圖6為“同相”和“反相”導(dǎo)數(shù)的相互關(guān)系。利用相互關(guān)系，通過第一步線性回歸可得到相應(yīng)的特征時(shí)間常數(shù)，再進(jìn)行第二步線性回歸，辨識(shí)得到方程中勢(shì)流分量和渦破碎流分量的估計(jì)值。

圖6 用于第一步線性回歸的飛機(jī)模型“同相”導(dǎo)數(shù)和“反相”導(dǎo)數(shù)Fig.6 In－phase and out－of－phase aerodynamic derivatives of aircraft used for first step linear regression

通過兩步線性回歸法，辨識(shí)得到了狀態(tài)空間模型的方程中所有的待估參數(shù)值；由線性模型以及非線性模型可以直接求解微分方程，即可求出力矩系數(shù)的Cm的線性模型值以及非線性模型值，見圖7（β＝0°，f＝0.4Hz）。

圖7 縱向俯仰運(yùn)動(dòng)建模線性、非線性模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較Fig.7 Comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear pitching unsteady aerodynamic model

由以上結(jié)果可以看到，線性、非線性模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比，大體上的趨勢(shì)還是吻合的。這說明所采用的模型在一定程度上還是能描述飛機(jī)模型的氣動(dòng)力的非線性特性和非定常遲滯效應(yīng)。但是在數(shù)值上還存在偏差，分析誤差來源可能有：

（1）實(shí)驗(yàn)飛機(jī)模型體積和質(zhì)量比較大，在模型作快速往返運(yùn)動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)和模型高頻運(yùn)動(dòng)時(shí)的慣性力等都會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)造成影響。這些影響可能會(huì)導(dǎo)致所計(jì)算得到的“同相”導(dǎo)數(shù)和“反相”導(dǎo)數(shù)值有一定的誤差，從而影響建模結(jié)果。這就要求在今后的實(shí)驗(yàn)中要選擇體積較小和質(zhì)量較輕的飛機(jī)模型。

（2）與三角翼模型的動(dòng)導(dǎo)數(shù)相比較，飛機(jī)模型的動(dòng)導(dǎo)數(shù)關(guān)于頻率的依賴性更加復(fù)雜。對(duì)于這兩個(gè)不同的飛機(jī)模型，這種差異也是合理的。中等迎角下三角翼前緣不再是附著流動(dòng)，在機(jī)翼前緣產(chǎn)生分離。從前緣產(chǎn)生的分離剪切層，在機(jī)翼上表面兩側(cè)被卷起，形成一對(duì)反向旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定的前緣渦。而對(duì)于具體的飛機(jī)模型，不僅在機(jī)頭處有前體渦，邊條翼也會(huì)產(chǎn)生渦，同時(shí)垂尾也會(huì)對(duì)全機(jī)的氣動(dòng)力有影響。這些渦之間的相互作用，都會(huì)使得渦破碎點(diǎn)的位置有很大差異。從狀態(tài)空間模型的物理意義上來考慮，這些差異不僅會(huì)導(dǎo)致動(dòng)導(dǎo)數(shù)的規(guī)律差異，同時(shí)可能對(duì)于狀態(tài)空間模型的具體表達(dá)形式，也會(huì)有影響。這表明目前所用的狀態(tài)空間模型對(duì)于三角翼這樣流動(dòng)結(jié)構(gòu)比較簡單的模型是適用的，但對(duì)于復(fù)雜構(gòu)型的飛行器來說，狀態(tài)空間模型的表達(dá)形式還需要進(jìn)一步研究。

3 結(jié) 論

通過研究可以看出，對(duì)于三角翼模型，反映大迎角非線性非定常氣動(dòng)特性的狀態(tài)空間法模型根據(jù)實(shí)際的流動(dòng)物理意義建立，形式也較為簡單，利用小振幅動(dòng)導(dǎo)數(shù)實(shí)驗(yàn)和線性的狀態(tài)空間法模型計(jì)算得到的非定常氣動(dòng)載荷，就已經(jīng)與實(shí)驗(yàn)值非常接近了，驗(yàn)證了模型的正確性。通過改進(jìn)模型，利用非線性的狀態(tài)空間模型在大振幅的振蕩實(shí)驗(yàn)中，模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合的更好，包含了更多非線性特性。

進(jìn)一步考慮復(fù)雜構(gòu)型的飛機(jī)模型的狀態(tài)空間模型，由目前所得結(jié)果可知，建模結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比仍有誤差，還需進(jìn)一步深入研究。

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