孫紅章，湯正新，劉鋼，魏榮慧，蘇向英，劉磊

(河南科技大學(xué)物理與工程學(xué)院，河南洛陽(yáng) 471023)

0 引言

自然界中存在無(wú)數(shù)的無(wú)序、非平衡和隨機(jī)的復(fù)雜系統(tǒng)．非線性動(dòng)力學(xué)中提出的混沌理論透過(guò)撲朔迷離的無(wú)序混亂現(xiàn)象和不規(guī)則形態(tài)，揭示隱匿在復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)部的規(guī)律［1］．自然界面對(duì)的更多的是非線性問(wèn)題．混沌已經(jīng)成為目前非線性科學(xué)研究中的熱點(diǎn)問(wèn)題［2－4］，Lorenz系統(tǒng)［5］、Henon 系統(tǒng)［6］和 Chen 系統(tǒng)［7］是典型的混沌系統(tǒng)．

1 功率譜的計(jì)算方法

功率譜分析是研究時(shí)間序列所遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的方法．研究一個(gè)系統(tǒng)的混沌行為，常用功率譜分析的方法，它揭示出了確定論系統(tǒng)內(nèi)部的隨機(jī)性．在很多實(shí)際問(wèn)題中，人們常常能觀測(cè)到如下的等時(shí)間間隔的離散時(shí)間序列:x1，x2，x3，…，xN．它反映了實(shí)際非線性動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而吸引子正是這種狀態(tài)的歸宿，因此吸引子的信息也包含在這一時(shí)間序列中．功率譜分析實(shí)際上是通過(guò)將時(shí)間空間轉(zhuǎn)化為頻率空間來(lái)闡明時(shí)間信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)的．對(duì)這個(gè)序列加上周期條件xN+j=xj，然后可計(jì)算時(shí)間序列xj的自相關(guān)函數(shù)(即離散卷積)

再對(duì)cj作傅里葉變換，其傅立葉系數(shù)

其中pk代表第k個(gè)頻率分量對(duì)xj的貢獻(xiàn)，這就是功率譜本來(lái)的含義．當(dāng)發(fā)明快速傅里葉變換算法后，更有效的計(jì)算功率譜的方法便是不經(jīng)過(guò)計(jì)算自相關(guān)函數(shù)，而是直接計(jì)算xj的傅里葉系數(shù)，

然后計(jì)算

一個(gè)時(shí)間序列可看做各種周期運(yùn)動(dòng)的疊加，各周期的的振動(dòng)能量的分配pk即為功率譜［5］．離散時(shí)間序列的功率譜是實(shí)驗(yàn)可以直接測(cè)量的，因此功率譜分析是一個(gè)方便的工具．

2 典型混沌系統(tǒng)的吸引子和功率譜

2．1 Lorenz系統(tǒng)

Lorenz方程如下:

取σ =10，r=28，b=8/3．我們利用MATLAB軟件中的Ode45(四五階龍格 －庫(kù)塔法)命令來(lái)對(duì)非線性Lorenz方程求解，并計(jì)算其功率譜，得到的洛侖茲系統(tǒng)的混沌吸引子如圖1所示，其x分量的功率譜如圖2所示．

圖1 洛侖茲系統(tǒng)的混沌吸引子

圖2 洛侖茲系統(tǒng)x分量的功率譜

2．2 Henon 系統(tǒng)

Henon系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

取a=0.4，b=0.3．我們利用MATLAB軟件對(duì)非線性Henon系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程求解，并計(jì)算其功率譜，得到的Henon系統(tǒng)的奇怪吸引子如圖3所示，其x分量的功率譜如圖4所示．

圖3 Henon系統(tǒng)的混沌吸引子

圖4 Henon系統(tǒng)x分量的功率譜

2．3 Chen系統(tǒng)

Chen系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

取a=35，b=3，c=28．我們利用MATLAB軟件對(duì)非線性Chen系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程求解，并計(jì)算其功率譜，得到的Chen系統(tǒng)的奇怪吸引子如圖5所示，其x分量的功率譜如圖6所示．

圖5 Chen系統(tǒng)的混沌吸引子

圖6 Chen系統(tǒng)x分量的功率譜

3 討 論

混沌運(yùn)動(dòng)的相軌跡局部不穩(wěn)定，但全局穩(wěn)定，相軌跡一般有兩個(gè)穩(wěn)定平衡位置，圍繞一個(gè)穩(wěn)定平衡位置振動(dòng)若干次以后，轉(zhuǎn)而圍繞另外一個(gè)穩(wěn)定平衡位置振動(dòng)若干次，然后又跳回原平衡位置振動(dòng)若干次，這樣來(lái)回振動(dòng)，雖然每次軌跡都不重合，但最終被吸引到相圖中的某一點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)．混沌運(yùn)動(dòng)中奇怪吸引子的存在表明，混沌軌道運(yùn)動(dòng)的具體位置雖然局部不穩(wěn)定，但全局穩(wěn)定，但軌道的大體位置是在吸引子上．

周期吸引子和擬周期吸引子因其周期性，故功率譜線是分立的(對(duì)應(yīng)尖峰)．白噪聲和混沌都是非周期運(yùn)動(dòng)，它們的功率譜都是連續(xù)的譜．白噪聲因其無(wú)規(guī)則性，其功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)均勻分布，所有頻率具有相同能量，所以白噪聲具有平坦功率譜．但是混沌運(yùn)動(dòng)具有確定系統(tǒng)的隨機(jī)性，如在倍周期分岔過(guò)程中，每一次分岔產(chǎn)生一個(gè)新的頻率，功率譜中就出現(xiàn)一個(gè)對(duì)應(yīng)新頻率的峰，當(dāng)分岔數(shù)達(dá)到無(wú)窮多時(shí)，就達(dá)到混沌態(tài)．盡管混沌系統(tǒng)的連續(xù)功率譜仍然有尖峰，但它們會(huì)增寬一些．所以混沌的功率譜不是平譜，而具有“噪聲背景”和“寬峰”．

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用MATLAB得到了Lorenz系統(tǒng)、Henon系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的混沌吸引子和功率譜．奇怪吸引子的存在表明混沌軌道運(yùn)動(dòng)的具體位置雖然具有對(duì)初值的敏感依賴性，但軌道的大體位置是在吸引子上．混沌系統(tǒng)的相軌跡雖然局部不穩(wěn)定，但全局穩(wěn)定，相軌跡最終被吸引到相圖中的某一點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)．混沌的特征是功率譜中出現(xiàn)“噪聲背景”和“寬峰”，這個(gè)特點(diǎn)反映出了混沌運(yùn)動(dòng)具有確定系統(tǒng)的隨機(jī)性．

［1］ 黃永念．非線性動(dòng)力學(xué)引論［M］．北京:北京大學(xué)出版社，2010．1－3．

［2］ 孫紅章，趙圓圓，劉鋼，等．基于MATLAB復(fù)擺振動(dòng)中非線性行為的仿真研究［J］．商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，28(6):50－55．

［3］ 孫紅章，毛愛(ài)霞，蘇向英，等．Henon系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的MATLAB仿真研究［J］．商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，27(3):54－57．

［4］ 孫紅章，湯正新，劉哲，等．復(fù)擺強(qiáng)迫振動(dòng)中的混沌研究［J］．商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，26(3):58－60．

［5］ Vadasz P．Analytical prediction of the transition to chaos in Lorenz equations［J］．Applied Mathematics Letters，2010，23(5):503－507．

［6］ Matsuoka C，Hiraide K．Entropy estimation of the Henon attractor［J］．Chaos，Solitons＆ Fractals，2012，45(6):805－809．

［7］ Leonov G A．General existence conditions of homoclinic trajectories in dissipative systems．Lorenz，Shimizu–Morioka，Lu and Chen systems［J］．Physics Letters A，2012，376(45):3045－3050．