王東森, 吳志剛, 周友明

(1.中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院 飛機(jī)所, 陜西 西安 710089； 2.北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191)

魯棒穩(wěn)定性分析及其在飛行顫振試驗(yàn)中的應(yīng)用

王東森1, 吳志剛2, 周友明1

(1.中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院 飛機(jī)所, 陜西 西安 710089； 2.北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191)

結(jié)合國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀和工程應(yīng)用需要,基于控制理論利用結(jié)構(gòu)奇異值μ分析法將設(shè)計(jì)理論模型數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)試飛數(shù)據(jù)結(jié)合起來(lái),可以在飛行試驗(yàn)過(guò)程中進(jìn)行顫振邊界預(yù)測(cè),直接給出保守的顫振臨界動(dòng)壓或者顫振臨界速度,從而能夠增加試驗(yàn)的安全性、縮短試飛周期、減少試驗(yàn)點(diǎn)并節(jié)省試驗(yàn)經(jīng)費(fèi),是目前顫振試飛方法的有益補(bǔ)充。

顫振; 魯棒穩(wěn)定性; 結(jié)構(gòu)奇異值; 顫振邊界

0 引言

顫振飛行試驗(yàn)的主要目的是要驗(yàn)證飛機(jī)氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性邊界是否滿足相關(guān)設(shè)計(jì)要求[1-2]。由于顫振飛行試驗(yàn)存在激勵(lì)力不足、測(cè)量點(diǎn)有限、數(shù)據(jù)信噪比低和模態(tài)穩(wěn)定性水平低的特點(diǎn),給模態(tài)參數(shù)識(shí)別帶來(lái)非常大的困難,尤其是阻尼識(shí)別精度較差。另外,阻尼隨飛行速度的變化呈非線性關(guān)系,阻尼外推曲線擬合還沒(méi)有一個(gè)國(guó)內(nèi)外公認(rèn)通用的定量數(shù)學(xué)方法,傳統(tǒng)顫振試飛最終結(jié)果一定程度上依賴于試飛技術(shù)人員的工程經(jīng)驗(yàn)、技術(shù)水平等綜合因素影響。

20世紀(jì)90年代末,美國(guó)學(xué)者提出了魯棒顫振裕度分析方法[3],該方法降低了為擴(kuò)展飛行包線而進(jìn)行的飛行顫振試驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)及試驗(yàn)成本,提高了顫振飛行試驗(yàn)的安全性和可靠性。本文討論具體使用結(jié)構(gòu)奇異值理論的工程方法并進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算[4]。

1結(jié)構(gòu)奇異值理論(μ理論)

結(jié)構(gòu)奇異值理論是魯棒控制理論的一個(gè)分支[5]。任何含不確定性的控制系統(tǒng)經(jīng)整理均可化為圖1所示的P-Δ線性分式分析框架。

圖中,P為廣義的控制系統(tǒng);Δ為結(jié)構(gòu)不確定性算子;w為控制系統(tǒng)輸入;z為控制系統(tǒng)輸出,并且都與結(jié)構(gòu)不確定性算子相關(guān)聯(lián)。

在某一頻率處,廣義系統(tǒng)算子P∈Cn×n,不確定性算子Δ是由重復(fù)標(biāo)量塊和滿塊矩陣組成的復(fù)數(shù)塊對(duì)角矩陣,其集合記為:

Δq):δi∈C,Δj∈Cmj×mj}

結(jié)構(gòu)奇異值定義:復(fù)數(shù)矩陣P關(guān)于不確定性Δ的結(jié)構(gòu)奇異值定義為:

魯棒穩(wěn)定性定理:設(shè)α>0, 對(duì)于所有滿足‖Δ‖∞

≤α的Δ(s),閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分必要條件是結(jié)構(gòu)奇異值的上界值滿足:

(1)

2 飛機(jī)理論模型建立

彈性飛機(jī)系統(tǒng)顫振運(yùn)動(dòng)方程[6]為:

(2)

式中,q為與模態(tài)有關(guān)的廣義坐標(biāo)向量;M為廣義質(zhì)量對(duì)角陣;K為廣義剛度對(duì)角陣;Q為廣義非定常氣動(dòng)力系數(shù)矩陣。

2.1 非定常氣動(dòng)力系數(shù)擬合

給定的非定常氣動(dòng)力系數(shù)矩陣是一組與減縮頻率相對(duì)應(yīng)的離散形式,通常用拉氏變量描述的有理函數(shù)來(lái)近似非定常氣動(dòng)力。本文采用最小二乘(LS)法進(jìn)行擬合。

氣動(dòng)系數(shù)矩陣Q的LS法有理函數(shù)近似式Qap為:

(3)

式中,Q0,Q1,Q2,Ej均為實(shí)系數(shù)矩陣;rj為實(shí)常數(shù),稱作氣動(dòng)力滯后根。另有:

式中,b為參考長(zhǎng)度;V為飛行速度;s=σ+iω,其中ω為振動(dòng)圓頻率,σ為運(yùn)動(dòng)衰減率。

Pyij=bij

(4)

式中,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;P中各元素為rj,kl的表達(dá)式;bij中各元素為F(kl),G(kl)的元素,均為已知。解關(guān)于式(4)的最小二乘問(wèn)題可以得到擬合系數(shù)矩陣Q0,Q1,Q2,Ej中各元素值。

2.2 狀態(tài)空間建模

將擬合得到的式(3)代入式(2),經(jīng)過(guò)拉氏變換整理得到:

(5)

式中,xaj為氣動(dòng)力引起的附加狀態(tài)向量,且有:

(6)

聯(lián)立式(5)和式(6),得到以狀態(tài)空間方程表達(dá)的飛機(jī)系統(tǒng)氣動(dòng)彈性運(yùn)動(dòng)方程:

簡(jiǎn)寫為:

(7)

2.3 建模效果評(píng)估

本文算例取2個(gè)滯后根,以經(jīng)典p-k法求得的顫振邊界和以式(7)中狀態(tài)矩陣A求取根軌跡得到的顫振邊界之間的誤差來(lái)衡量建模誤差。由p-k法得到顫振邊界為521.9 m/s,顫振頻率為16.62 Hz;由根軌跡法得到顫振邊界為523.1 m/s,顫振頻率為16.62 Hz。兩者顫振速度相對(duì)誤差僅為0.22 %,顫振分支均對(duì)應(yīng)平尾對(duì)稱一彎模態(tài)。可見(jiàn)建模結(jié)果滿足狀態(tài)空間建模要求。

3飛機(jī)氣動(dòng)彈性系統(tǒng)μ框架建立與

分析

3.1 標(biāo)稱顫振μ分析系統(tǒng)

針對(duì)式(7)的飛機(jī)氣動(dòng)彈性系統(tǒng),引入動(dòng)壓攝動(dòng),令:

(8)

(9)

(10)

為便于表示及后續(xù)公式推導(dǎo),將式(9)記為:

(11)

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得:

(12)

3.2 魯棒顫振μ分析框架建立

由飛行試驗(yàn)測(cè)得的響應(yīng)數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)據(jù)處理,可以辨識(shí)出相關(guān)模態(tài)的頻率和阻尼并轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)特征值形式,因此用系統(tǒng)特征值實(shí)部和虛部的不確定性攝動(dòng)來(lái)反映系統(tǒng)的建模誤差。

(13)

σi=σi0(1+WiσΔiσ)

(14)

ωi=ωi0(1+WiωΔiω)

(15)

式中,σi0和ωi0為標(biāo)稱值;Wiσ和Wiω分別為特征值實(shí)虛部的加權(quán)值;Δiσ和Δiω滿足|Δiσ|≤1,|Δiω|≤1。將式(14)和式(15)代入式(13)中,引入反饋量zA,wA,可得:

(16)

(17)

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得顫振飛行試驗(yàn)中的廣義系統(tǒng)算子P和不確定性算子Δ的關(guān)系為:

(18)

這樣就得到考慮了動(dòng)壓攝動(dòng)和特征值攝動(dòng)的魯棒氣動(dòng)彈性系統(tǒng)模型,式(18)可由圖2所示的框圖表示。

圖2 試飛氣動(dòng)彈性魯棒系統(tǒng)框圖Fig.2 Aeroelastic robust system block diagram of flight test

3.3 模態(tài)特征值實(shí)虛部攝動(dòng)量的估計(jì)

通過(guò)飛行試驗(yàn)測(cè)得第i階模態(tài)的頻率和阻尼比的n組值ωik和ζik(k=1,2,…,n),進(jìn)行以下統(tǒng)計(jì)分析:

(19)

模態(tài)頻率和阻尼比的攝動(dòng)量為:

(20)

根據(jù)特征值實(shí)虛部與模態(tài)頻率及阻尼比的關(guān)系,可得第i階系統(tǒng)特征值虛部的攝動(dòng)量即為Wiω,實(shí)部攝動(dòng)量為Wiσ=Wiω+Wiζ。

3.4 顫振裕度與顫振邊界預(yù)測(cè)

(20)

4 計(jì)算結(jié)果及分析

以海高0 km作為計(jì)算參考高度,首先計(jì)算標(biāo)稱顫振邊界。圖3為V=400 m/s飛行狀態(tài)計(jì)算的標(biāo)稱μ曲線,顫振邊界Vf=490 m/s,曲線峰值對(duì)應(yīng)頻率f=16.6 Hz。其次計(jì)算魯棒顫振邊界,假定根據(jù)試飛數(shù)據(jù)得到的模態(tài)頻率和阻尼攝動(dòng)量分別為5%和15%。圖4為V=400 m/s飛行狀態(tài)計(jì)算的魯棒μ曲線,顫振邊界Vf=454 m/s,曲線峰值對(duì)應(yīng)頻率f=16.6 Hz。由于引入了系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng),μ曲線不再光滑,得到的顫振邊界趨于保守。

圖3 對(duì)應(yīng)標(biāo)稱顫振邊界求解的μ曲線Fig.3 μ curve corresponding to the nominal flutter boundary

圖4 對(duì)應(yīng)魯棒顫振邊界求解的μ曲線Fig.4 μ curve corresponding to the robust flutter boundary

表1是幾種方法得到的顫振邊界結(jié)果。由表中數(shù)據(jù)可知,隨狀態(tài)點(diǎn)速度增大,標(biāo)稱系統(tǒng)得到的顫振邊界趨于穩(wěn)定并與p-k法得到的顫振邊界一致;而計(jì)算得到的魯棒顫振邊界也趨于穩(wěn)定,但明顯小于標(biāo)稱顫振邊界。

表1 海平面高度標(biāo)稱顫振邊界預(yù)測(cè)與魯棒顫振邊界預(yù)測(cè)比較 Table 1 Sea level nominal flutter boundary compared with robust flutter boundary

5 結(jié)束語(yǔ)

魯棒顫振裕度分析方法克服了傳統(tǒng)的理論設(shè)計(jì)分析方法和飛行試驗(yàn)方法無(wú)法考慮誤差的缺點(diǎn),使得二者數(shù)據(jù)資源共享。在飛行試驗(yàn)過(guò)程中,根據(jù)安全飛行狀態(tài)下的飛行數(shù)據(jù)確定模型誤差的大小,通過(guò)計(jì)算魯棒顫振裕度可以指明下一試驗(yàn)的安全測(cè)試點(diǎn)。這種方法與阻尼參數(shù)識(shí)別及外推不可靠時(shí)的情況相比,飛行試驗(yàn)狀態(tài)點(diǎn)以及所需要的飛行時(shí)間明顯減少,否則需要在試飛過(guò)程中慢慢擴(kuò)展飛行包線?，F(xiàn)代飛機(jī)具有自動(dòng)控制系統(tǒng),飛機(jī)結(jié)構(gòu)與控制系統(tǒng)耦合產(chǎn)生了氣動(dòng)伺服顫振問(wèn)題,本文討論的魯棒穩(wěn)定性μ分析方法也適用于飛機(jī)氣動(dòng)伺服彈性飛行試驗(yàn),同樣具有前述優(yōu)點(diǎn)[7]。

[1] 中國(guó)人民解放軍總裝備部.GJB 67.7A-2008 軍用飛機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度規(guī)范 第7部分:氣動(dòng)彈性[S].北京:總裝備部軍標(biāo)出版發(fā)行部,2008.

[2] 管德.飛機(jī)氣動(dòng)彈性力學(xué)手冊(cè)[M].北京:航空工業(yè)出版社,1994.

[3] Lind R,Brenner M.Robust flutter margin analysis that in-corporates flight data[R].NASA/TP-1998-206543,

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[4] 魏巍.MATLAB控制工程工具箱技術(shù)手冊(cè)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2004.

[5] 黃琳.穩(wěn)定性與魯棒性的理論基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

[6] 宋晨,楊超,吳志剛.3種氣動(dòng)彈性狀態(tài)空間建模方法的對(duì)比[J].航空學(xué)報(bào),2007,28(S):1621-1626.

[7] Lind R,Brenner M.Analyzing aeroservoelastic stability margins using theμmethod[R].AIAA-98-1895,1998.

Robuststabilityanalysisanditsapplicationinflightfluttertest

WANG Dong-sen1, WU Zhi-gang2, ZHOU You-ming1

(1.Aircraft Flight Test Technology Institute, CFTE, Xi’an 710089, China； 2.School of Aeronautic Science and Engineering, BUAA, Beijing 100191, China)

This article combined with the present domestic and foreign research situation and the engineering application demands, combining the theoretical design model data and the flight measured data and using the structured singular valueμanalysis method based on the control theory, the flutter boundary can be predicted in flight test process, directly get conservative critical flutter dynamic pressure or flutter critical speed, which can increase the test security, shortening the flight test time, reduce test points and save test cost, it is a beneficial supplement of the currently flutter flight test method.

flutter; robust stability; structured singular value; flutter boundary

V217

A

1002-0853(2013)04-0372-04

2012-11-29;

2013-05-09; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間:2013-06-06 13:21

王東森(1972-)，男，陜西寶雞人，高級(jí)工程師，碩士，研究方向?yàn)轱w機(jī)顫振及振動(dòng)試飛。

(編輯：方春玲)