馮必鳴, 聶萬(wàn)勝, 鄭剛

(裝備學(xué)院 航天裝備系, 北京 101416)

基于hp自適應(yīng)偽譜法的可調(diào)推力最優(yōu)離軌研究

馮必鳴, 聶萬(wàn)勝, 鄭剛

(裝備學(xué)院 航天裝備系, 北京 101416)

根據(jù)不同最優(yōu)化指標(biāo)要求,利用hp自適應(yīng)偽譜法,對(duì)比分析了固定推力和可調(diào)推力制動(dòng)離軌時(shí)的參數(shù)變化情況。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn),以燃料最省為優(yōu)化指標(biāo),采用可調(diào)推力制動(dòng)時(shí),飛行器過(guò)渡段飛行時(shí)間更長(zhǎng),燃料消耗相對(duì)較小;而在時(shí)間最短指標(biāo)要求下,可調(diào)推力制動(dòng)雖消耗大量燃料,但能大大縮短過(guò)渡段飛行時(shí)間,有利于航天器在執(zhí)行緊急任務(wù)時(shí)的快速返回。

hp自適應(yīng)偽譜法; 固定推力; 制動(dòng)離軌; 過(guò)渡軌道

0 引言

返回式航天器的發(fā)展經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單的膠卷艙到復(fù)雜航天飛機(jī)的漫長(zhǎng)歷程。長(zhǎng)期以來(lái),眾多學(xué)者根據(jù)再入點(diǎn)參數(shù)約束開(kāi)展了固定推力制動(dòng)離軌最優(yōu)控制規(guī)律的研究,已取得豐碩的成果[1-2]。隨著航天事業(yè)的發(fā)展,空間活動(dòng)越來(lái)越多樣化,對(duì)航天器離軌/變軌的要求越來(lái)越高,使得多種新型軌道機(jī)動(dòng)方式脫穎而出,出現(xiàn)了例如小推力和可調(diào)推力作用下航天器空間最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道[3-4]等問(wèn)題。目前,大多數(shù)文獻(xiàn)在解決連續(xù)小推力軌道轉(zhuǎn)移[5]時(shí),多采用局部配點(diǎn)法[6](h方法)和全局配點(diǎn)法[7](p方法)求解最優(yōu)控制問(wèn)題。上述兩種方法單純采用增加時(shí)間分段或增加多項(xiàng)式階數(shù)的方式來(lái)調(diào)整計(jì)算精度,而hp自適應(yīng)法則是根據(jù)計(jì)算精度需要,同時(shí)調(diào)整時(shí)間段和多項(xiàng)式的階數(shù),進(jìn)而獲得更高的計(jì)算精度,尤其適合多階段、狀態(tài)量變化復(fù)雜的最優(yōu)控制問(wèn)題求解[8]。

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),由于連續(xù)小推力制動(dòng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng),在要求航天器快速返回的情況下并不適用。本文受月球登陸器最優(yōu)控制問(wèn)題[9]的啟發(fā),擬采用hp自適應(yīng)偽譜法,研究可調(diào)推力作用下航天器燃料最省和時(shí)間最短離軌情況,尋求既能夠滿足再入點(diǎn)要求,又能夠達(dá)到優(yōu)化指標(biāo)的離軌制動(dòng)方式,以滿足新的航天任務(wù)需要。

1 考慮地球自轉(zhuǎn)的最優(yōu)制動(dòng)離軌模型

1.1 飛行器過(guò)渡段相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)地球自轉(zhuǎn)時(shí)飛行器相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的關(guān)系,建立以相對(duì)參數(shù)表示的飛行器制動(dòng)離軌運(yùn)動(dòng)方程[10]:

dR/dt=Vsinγ

dθ/dt=Vcosγsinψ/(Rcosφ)

dφ/dt=Vcosγcosψ/R

dV/dt=Tcosαcosβ/M-grsinγ-gφcosγ×

cosψ+ω2Rcosφ(sinγcosφ-

cosγsinφcosψ)

dγ/dt= (1/V)[Tsinα/M+V2cosγ/R-

grcosγ+gφsinγcosψ+

2ωVcosφsinψ+ω2R×

cosφ(cosγcosφ+sinγsinφcosψ)]

dψ/dt= (1/V)[Tcosαsinβ/(Mcosγ)-

V2cosγsinψtanφ/R-gφsinψ/cosγ+

2ωV(cosφtanγcosψ-sinφ)-

ω2Rsinφcosφsinψ/cosγ]

dM/dt=-T/Ve

式中,狀態(tài)參數(shù)R,θ,φ,V,γ,ψ分別為地心距、經(jīng)度、緯度、相對(duì)速度、相對(duì)傾斜角(與當(dāng)?shù)厮骄€夾角,下偏為負(fù))和相對(duì)航向角(以正北方向開(kāi)始度量,右偏為正);控制參數(shù)α,β,T分別為推力角、推力偏角以及推力大小;ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度。

1.2 最優(yōu)控制問(wèn)題求解

1.2.1 一般優(yōu)化問(wèn)題描述

本文應(yīng)用Radau偽譜法求解最優(yōu)控制問(wèn)題,為不失一般性,考慮Bolza形式的最優(yōu)控制,具體形式見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

1.2.2 hp自適應(yīng)更新方法

將整個(gè)優(yōu)化過(guò)程劃分為K個(gè)時(shí)間段,每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的配點(diǎn)數(shù)量為Nk,自適應(yīng)算法在每一時(shí)間段內(nèi)設(shè)定一個(gè)離散狀態(tài)方程和路徑約束的最大誤差值εd,如果每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的計(jì)算精度大于εd,則對(duì)整個(gè)過(guò)程重新劃分。劃分方法有兩種:一是增加每個(gè)時(shí)間段內(nèi)Lagrange多項(xiàng)式的階數(shù);二是增加時(shí)間分段的數(shù)量[11]。

在前1～(K-1)個(gè)時(shí)間段內(nèi)采用Nk階多項(xiàng)式近似表示控制變量:

由于最后一個(gè)時(shí)間段K的最后一個(gè)點(diǎn)不屬于LGR配點(diǎn),因此,在第K個(gè)時(shí)間段內(nèi)的控制變量采用Nk-1階多項(xiàng)式近似表示為:

式中,l=1,…,L。

(1)更新方式確定

事先設(shè)定一個(gè)曲率閾值rmax,如果rkrmax,則將需要?jiǎng)澐指嗟臅r(shí)間段。

(2)每個(gè)時(shí)間段內(nèi)Lagrange多項(xiàng)式階數(shù)的確定

式中,X為任意常數(shù),控制每一段內(nèi)配點(diǎn)數(shù)的增長(zhǎng)情況。

(3)每一時(shí)間段內(nèi)重新分段數(shù)目的確定

設(shè)第k個(gè)時(shí)間段內(nèi)重新劃分的段數(shù)為nk,則可用下式[12]表示:

式中,Y為任意常數(shù),控制段數(shù)的增長(zhǎng)情況。

2 典型事例驗(yàn)證

根據(jù)文獻(xiàn)[1]提供的標(biāo)準(zhǔn)航天飛機(jī)過(guò)渡段飛行參數(shù),驗(yàn)證優(yōu)化方法的可行性。結(jié)果如圖1所示。

航天飛機(jī)制動(dòng)時(shí)高度為280 km,質(zhì)量為88 000 kg,相對(duì)速度為7 363 m/s,傾斜角為0.011°,由兩臺(tái)推力為26 000 N的軌控發(fā)動(dòng)機(jī)提供制動(dòng)力,發(fā)動(dòng)機(jī)燃?xì)獬隹谒俣葹? 000 m/s;制動(dòng)結(jié)束時(shí)質(zhì)量為84 870 kg,高度為122 km,再入相對(duì)速度為7 453 m/s,再入傾斜角為-1.604°。本文根據(jù)燃料最省的要求計(jì)算得到航天飛機(jī)再入時(shí)的相對(duì)速度為7 452 m/s,再入傾斜角為-1.6°,燃料消耗為3 000 kg。計(jì)算結(jié)果說(shuō)明該方法在研究最優(yōu)制動(dòng)離軌問(wèn)題時(shí)是可行的。

圖1 航天飛機(jī)燃料最省飛行參數(shù)變化情況Fig.1 Flight parameters of space shuttle in minimal fuel consumption

3 不同制動(dòng)方式對(duì)比分析

不考慮發(fā)動(dòng)機(jī)側(cè)向作用的情況下(即β=0°),以單臺(tái)推力為2 500 N,真空比沖為2 930 N·s/kg的軌控發(fā)動(dòng)機(jī)為例,假設(shè)推進(jìn)艙總共4臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī),分別針對(duì)5 000 N,10 000 N固定推力和5 000 N,10 000 N變推力研究總質(zhì)量3 000 kg的飛行器在燃料最省和飛行時(shí)間最短兩種條件下,不同推力制動(dòng)離軌時(shí)主要參數(shù)的變化情況。

3.1 燃料最省方案

圖2所示為固定推力制動(dòng)和可調(diào)推力制動(dòng)兩種情況下,過(guò)渡段飛行速度、傾斜角的對(duì)比情況。從圖中不難看出,兩種制動(dòng)方式都能夠使再入點(diǎn)指標(biāo)參數(shù)達(dá)到期望值,但是采用可調(diào)推力制動(dòng)時(shí),過(guò)渡段飛行軌跡更為平緩,飛行時(shí)間較固定推力制動(dòng)時(shí)長(zhǎng)250 s以上。

圖2 燃料最省條件下飛行參數(shù)對(duì)比Fig.2 Comparison of flight parameters in minimal fuel consumption

從圖2所示不同制動(dòng)方式下速度和傾斜角的對(duì)比中發(fā)現(xiàn),在燃料最省條件下,兩種制動(dòng)方式得到的速度都呈現(xiàn)出先減小再增大的變化規(guī)律,而且傾斜角的變化趨勢(shì)也基本一致。不同的是,可調(diào)推力制動(dòng)時(shí),初期傾斜角變化比較平緩,而在后半段出現(xiàn)明顯的折點(diǎn),這是由于軌控發(fā)動(dòng)機(jī)再次工作,使傾斜角在短時(shí)間內(nèi)發(fā)生較大改變。圖3為可調(diào)推力制動(dòng)時(shí)飛行器總體質(zhì)量、推力角和推力變化情況。

圖3 燃料最省條件下控制量和質(zhì)量對(duì)比Fig.3 Comparison of control parameters and mass in minimal fuel consumption

從圖3(a)可知,軌控發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行了兩次點(diǎn)火,兩次點(diǎn)火作用時(shí),推力角均采用線性變換,雖然在兩次點(diǎn)火間計(jì)算得到的推力角變化復(fù)雜,但是由于兩次點(diǎn)火之間沒(méi)有推力作用,推力角可在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)采用線性規(guī)律轉(zhuǎn)換到需要的狀態(tài)。對(duì)比圖3(b)所示固定推力制動(dòng)時(shí)的變化情況不難看出,采用可調(diào)推力制動(dòng)時(shí),燃料消耗相對(duì)較小,以最大推力10 000 N為例,采用可調(diào)推力制動(dòng)時(shí)燃料消耗較固定推力制動(dòng)要節(jié)省30～40 kg。

3.2 時(shí)間最短方案

圖4為可調(diào)推力制動(dòng)和固定推力制動(dòng)兩種條件下,過(guò)渡段飛行速度、傾斜角變化的對(duì)比情況。與燃料最省時(shí)的變化情況不同,最短時(shí)間要求下,可調(diào)推力制動(dòng)時(shí)的速度先增大后減小,而燃料最省和傳統(tǒng)固定推力制動(dòng)時(shí)的速度變化都是先減小后增大;而且可調(diào)推力制動(dòng)時(shí),初期傾斜角變化較快,過(guò)渡段飛行軌跡較陡。

圖4 時(shí)間最短條件下飛行參數(shù)對(duì)比Fig.4 Comparison of flight parameters in shortest time condition

通過(guò)與固定推力制動(dòng)的情況相比較不難看出,可調(diào)推力制動(dòng)時(shí),過(guò)渡段飛行時(shí)間明顯小于固定推力制動(dòng)時(shí)的情況。固定推力制動(dòng)時(shí)過(guò)渡段飛行時(shí)間至少需要1 200 s,而可調(diào)推力制動(dòng)時(shí)過(guò)渡段飛行時(shí)間為800 s,大大縮短了過(guò)渡段飛行時(shí)間。

圖5 時(shí)間最短條件下控制量和質(zhì)量對(duì)比Fig.5 Comparison of control parameters and mass in shortest time condition

圖5為兩種推力制動(dòng)時(shí)控制參數(shù)的變換情況?？烧{(diào)推力制動(dòng)時(shí),首先以最大推力沿速度垂直方向改變傾斜角,使飛行器以較大傾斜角加速離軌,并在第二次點(diǎn)火作用時(shí),以最大推力沿速度反方向制動(dòng),快速減小再入速度,以達(dá)到指定的再入?yún)?shù);固定推力制動(dòng)時(shí),大推力發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間較短,而且兩次點(diǎn)火制動(dòng)幾乎都采用最大推力的作用形式;而推力較小時(shí),第一次點(diǎn)火作用后期有一段推力逐漸減小的過(guò)程,對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)的調(diào)節(jié)能力要求較高。雖然可調(diào)推力制動(dòng)可以大大縮短飛行器過(guò)渡段飛行時(shí)間,但是燃料消耗量也隨之增加,全過(guò)程消耗燃料約625 kg,比固定推力制動(dòng)多消耗近300 kg燃料。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)本文研究發(fā)現(xiàn),利用hp自適應(yīng)偽譜法解決可調(diào)推力制動(dòng)離軌的多階段最優(yōu)控制問(wèn)題是可行的,并且采用可調(diào)推力發(fā)動(dòng)機(jī)制動(dòng)離軌時(shí),在節(jié)省燃料方面并沒(méi)有太大優(yōu)勢(shì),而且過(guò)渡段飛行時(shí)間較固定推力制動(dòng)時(shí)更長(zhǎng);在減小過(guò)渡段飛行時(shí)間方面,可調(diào)推力制動(dòng)的優(yōu)勢(shì)十分明顯,適用于航天器快速返回的情況,雖然快速離軌時(shí)燃料消耗較大,但能夠較大幅度地縮短過(guò)渡段飛行時(shí)間;無(wú)論是要求燃料最省還是飛行時(shí)間最短,采用可調(diào)推力制動(dòng)離軌,發(fā)動(dòng)機(jī)都進(jìn)行了多次點(diǎn)火,這樣能夠增強(qiáng)飛行器外層空間過(guò)渡段飛行的隱蔽性,增加軌跡的預(yù)測(cè)難度。

[1] David Heath,Lazarus Gonzales.OFT-1 reference flight profile deorbit through landing[R].Houston Texas:National Aeronautics and Space Administration,1977.

[2] Baldwin M C,Pan Binfeng,Lu Ping.On autonomous optimal deorbit guidance[R].AIAA-2009-5667,2009.

[3] 李艷艷,任凌.地球同步衛(wèi)星的小推力離軌最優(yōu)控制[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2010,22 (1):96-98.

[4] Wu Baolin,Wang Danwei,Poh Eng Kee.Nonlinear optimization of low-thrust trajectory for satellite formation:legendre pseudospectral approach[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2009,32 (4):1371-1381.

[5] 胡正東.天基對(duì)地打擊武器軌道規(guī)劃與制導(dǎo)技術(shù)研究[D].長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2009.

[6] Kameswaran S,Beigler L T.Convergence rates for direct transcription of optimal control problems using collocation at radau points[J].Computational Optimization and Applications,2008,41 (1):81-126.

[7] Benson D A,Huntington G T,Thorvaldsen T P,et al.Direct trajectory optimization and costate estimation via an orthogonal collocation method[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2006,29(6):1435-1440.

[8] Galvao A,Gerritsma M,Maerschalk B D.hp-Adaptive least-squares spectral element method for hyperbolic partial differential equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,215(2):409-418.

[9] 彭祺擘,李海陽(yáng),沈紅新.基于高斯-偽譜法的月球定點(diǎn)著陸軌道快速優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].宇航學(xué)報(bào),2010,31 (4):1012-1015.

[10] 吳德隆,王小軍.航天器氣動(dòng)力輔助變軌動(dòng)力學(xué)與最優(yōu)控制[M].北京:中國(guó)宇航出版社,2006:39-42.

[11] Darby C L,Hager W W,Rao A V.A preliminary analysis of a variable-order approach to solving optimal control problems using Pseudospectral method[R].AIAA-2010-8272,2010.

[12] Zhao Y J.Optimal pattern of glider dynamic soaring[J].Optimal Control Applications and Methods,2004,25(2):67-89.

Optimaldeorbitresearchofspacecraftwithvariablethrustbasedonhp-adaptivepseudospectralmethod

FENG Bi-ming, NIE Wan-sheng, ZHENG Gang

(Department of Space Equipment, Academy of Equipment, Beijing 101416, China)

Considering different optimal objects, the hp-adaptive pseudospectral method was used to analyze the comparison of flight parameters when the vehicle deorbit with the control of fixed thrust and variable thrust. The results showed that with the index of minimal fuel, using variable thrust would take more time during transition than using fixed thrust, and could economize little fuel; however, with the index of shortest time, variable thrust could shorten the flying time obviously during transition by consuming more fuel, and was propitious to the spacecraft rapid return with emergency missions.

hp-adaptive pseudospectral method; fixed thrust; deorbit; transition orbit

V448.2

A

1002-0853(2013)04-0354-05

2012-11-19;

2013-03-21; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間:2013-06-06 12:24

馮必鳴(1984-)，男，四川瀘州人，博士研究生，研究方向?yàn)轱w行器軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)。

(編輯：方春玲)