孫曉玲, 王 寧

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 安徽 合肥 230601)

基于區(qū)間值相似度的直覺區(qū)間值模糊推理

孫曉玲, 王 寧

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 安徽 合肥 230601)

直覺區(qū)間值模糊集具有比直覺模糊集更強(qiáng)大的模糊信息表達(dá)能力并且其直覺區(qū)間值隸屬度和非隸屬度的值較易確定.文章利用直覺區(qū)間值模糊集進(jìn)行模糊推理.根據(jù)直覺區(qū)間值隸屬度和非隸屬度的值給出直覺區(qū)間值模糊集之間相似度和加權(quán)總體相似度的計算方法.根據(jù)該計算方法給出直覺區(qū)間值模糊集上的模糊推理算法.最后通過算例說明所給出的推理算法更符合實際需要,可操作性強(qiáng),便于應(yīng)用.

直覺區(qū)間值; 直覺區(qū)間值模糊集; 區(qū)間值相似度; 模糊推理

0 引言

自從Atanassov定義了一種新的模糊集(直覺模糊集)以來,直覺模糊集理論得到了快速的發(fā)展,繼模糊集理論之后,Zadeh又提出的區(qū)間值模糊集的概念,該概念出現(xiàn)的背景是在許多實際應(yīng)用中,所獲取的數(shù)據(jù)往往不是精確的數(shù)值,可能是一個區(qū)間值.區(qū)間值模糊集最根本的特征是將模糊集中的隸屬函數(shù)值用一個[0,1]上的閉子區(qū)間表示,即區(qū)間值模糊集A可以表示為A(x)=[A-(x),A+(x)]?[0,1].Atanassov所提出的直覺模糊集則用兩個實數(shù):隸屬度和非隸屬度來表示一個對象和一個給定集合之間的關(guān)系.直覺區(qū)間值模糊集是直覺模糊集與區(qū)間值模糊集概念的巧妙結(jié)合.它同時考慮了隸屬度、非隸屬度的信息.這使得直覺區(qū)間值模糊集在處理帶有模糊性和不確定性問題時,更為靈活和實用.在決策分析、模式識別和模糊推理等領(lǐng)域,得到了廣泛的應(yīng)用[1-4].將直覺區(qū)間值模糊集用于模糊推理,其中關(guān)鍵的步驟就是采用怎樣的相似度去度量兩個集合的相似程度,本文首先給出計算直覺區(qū)間值模糊集之間的相似度計算公式,然后給出直覺區(qū)間值模糊集的模糊推理算法,通過該算法可以得到模糊推理的結(jié)果.

1 基本知識

直覺區(qū)間值模糊集是直覺模糊集的進(jìn)一步擴(kuò)展,具有更強(qiáng)的表達(dá)模糊數(shù)據(jù)和不確定數(shù)據(jù)的能力[4],下面看關(guān)于直覺區(qū)間值模糊集的一些基本概念.

定義1[2]給定論域X上的直覺區(qū)間值模糊集A,即為映射A:X→I,那么有

其中

X上直覺區(qū)間值模糊集合的全體記為DFS(X),其中

分別為隸屬度區(qū)間、非隸屬度區(qū)間、猶豫度區(qū)間.A也可以采用集合的表達(dá)方式:

若論域X={x1,x2,…,xn}是有限集合,那么X上的DFS(X)可以表示為

定義2 設(shè)直覺區(qū)間值模糊集A,B∈DFS(X),規(guī)定它們的序及并、交、補(bǔ)運(yùn)算如下:

2)A=B?A?B,B?A;

下面是直覺區(qū)間值模糊集之間的度量的公理化定義:

定義3 稱映射d:DFS(X)×DFS(X)→[0,1]為DFS(X)的一個距離測度,如果d滿足下面的性質(zhì):

1)d(H,Hc)=1?H為分明集;

2)A=B?d(A,B)=0;

3) 對于任意的A,B∈DFS(X),d(A,B)=d(B,A);

4) 對于任意的A,B,H∈DFS(X),如果A?H?B或者B?H?A,則有d(A,H)≥d(A,B)且d(B,H)≥d(A,B).

定義4 稱映射s:DFS(X)×DFS(X)→[0,1]為DFS(X)的一個相似度,如果s滿足下面的性質(zhì):

1)s(H,Hc)=0?H為分明集;

2)A=B?s(A,B)=1;

3) 對于任意的A,B∈DFS(X),s(A,B)=s(B,A);

4) 對于任意的A,B,H∈DFS(X),如果A?H?B或者B?H?A,則s(A,H)≥s(A,B)且s(B,H)≥s(A,B)[2].

2 DFS(X)之間的相似性測度

我們將直覺區(qū)間值模糊集的相似度公式[5-6]進(jìn)行改進(jìn)得到下面直覺區(qū)間值模糊集上的相似度的計算方法.令

為論域X上的直覺區(qū)間值模糊集,其中

令

假設(shè)xi,xj是論域X中的兩個元素,若A是論域X上的直覺區(qū)間值模糊集,其中

則A(xi)與A(xj)之間的相似度可以如下計算:

定義5 假設(shè)xi,xj是論域X中的兩個元素,A(xi)和A(xj)是分別與xi,xj所對應(yīng)的直覺區(qū)間值模糊集合,稱A(xi)和A(xj)之間的相似程度為它們的相似度.

若令

(1)

(2)

則A(xi),A(xj)之間的相似度可以通過計算γ(xi)和γ(xj)之間的相似度得到,計算公式為:

(3)

根據(jù)該相似度的定義容易證明下面的定理:

定理2S(γ(xi),γ(xj))滿足以下性質(zhì):

1) (自反性):S(γ(xi),γ(xi))=1;

2) (對稱性):S(γ(xi),γ(xj))=S(γ(xj),γ(xi));

3) (傳遞性):若S(γ(xi),γ(xj))=1且S(γ(xj),γ(xk))=1.

則S(γ(xi),γ(xk))=1.即:如果γ(xi)和γ(xj)完全相似,γ(xj)和γ(xk)完全相似,則γ(xi)和γ(xk)完全相似.

若給定論域X={x1,x2,…,xn},A,B為論域X上的直覺區(qū)間值模糊集,假設(shè)

令

則A,B之間的相似度如定義6所述

定義6 直覺區(qū)間值模糊集A,B之間的相似度可以如下計算:

(4)

若論域X中的元素xi彼此不同,那就有必要考慮元素xi的權(quán)值,下面介紹考慮權(quán)值的直覺區(qū)間值模糊集A,B之間加權(quán)總體相似度的計算.

令論域X={x1,x2,…,xn}中的元素xi對應(yīng)的權(quán)值為wi,wi∈[0,1],則直覺區(qū)間值模糊集A,B之間總體相似度的計算公式如下:

定義7 直覺區(qū)間值模糊集A,B之間總體相似度為

(5)

由于S(γA(xi),γB(xi))∈[0,1],因此SW(A,B)∈[0,1],并且SW(A,B)的值越大,直覺區(qū)間值模糊集合A,B就越相似.

例1 令論域X為X={x1,x2,x3,x4},A,B為直覺區(qū)間值模糊集合,其中

根據(jù)定義5中的式(1),可以得到:

γA(x1)=[0.2,0.45],γB(x1)=[0.23,0.43];γA(x2)=[0.4,0.75],γB(x2)=[0.4,0.7];

γA(x3)=[0,0.52],γB(x3)=[0.03,0.5];γA(x4)=[0.05,0.35],γB(x4)=[0.05,0.45].

再由定義5中S(γ(xi),γ(xj))的計算公式(3)可以得到

S(γA(x1),γB(x1))=0.8,S(γA(x2),γB(x2))=0.86,

S(γA(x3),γB(x3))=0.9,S(γA(x4),γB(x4))=0.75.

假設(shè)x1,x2,x3,x4的權(quán)值分別為0.5,0.8,0.3,0.7,那么根據(jù)(5)式直覺區(qū)間值模糊集合A,B的加權(quán)總體相似度為

3 基于加權(quán)總體相似度的直覺區(qū)間值模糊推理

直覺區(qū)間值模糊推理的最基本形式為:

其中A與A*是論域X={x1,x2,…,xn}上的直覺區(qū)間值模糊集,B與B*是論域Y={y1,y2,…,ym}上的直覺區(qū)間值模糊集,“→”為直覺區(qū)間值模糊蘊(yùn)涵[5].接下來根據(jù)輸入A*計算輸出結(jié)果B*.假設(shè)

根據(jù)式(4),直覺區(qū)間值模糊集A,A*之間的相似度可以如下計算:

那么上面所給的MP問題的輸出結(jié)果B*∈DFS(Y)可以如下計算:

4 多層直覺區(qū)間值模糊推理

若已知直覺區(qū)間值模糊推理的知識基中有以下n條直覺區(qū)間值模糊規(guī)則:

其中u,v為直覺區(qū)間值模糊集中的兩個語言變量,X,Y分別為語言變量u,v所屬的論域.

令X={x1,x2,…,xn},Y={y1,y2,…,ym},并假設(shè)Ak,A*∈DFS(X),Bk,B*∈DFS(Y) (k=1,2,…,n).

若輸入A*∈DFS(X),那么我們接下來需考慮根據(jù)直覺區(qū)間值模糊集之間的加權(quán)相似度應(yīng)該如何計算輸出結(jié)果B*∈DFS(Y).具體推理步驟如下:

步驟1 首先計算S(A1,A*),S(A2,A*),…,S(An,A*);

步驟2 根據(jù)xi的權(quán)重以及公式(5)計算加權(quán)總體相似度為

(6)

對任意的yj∈Y(j=1,2,…,m),有

例2 考慮下面的直覺區(qū)間值模糊推理模型,模型中有兩條直覺區(qū)間值模糊推理規(guī)則:

R1:uisA1→visB1;R2:uisA2→visB2

其中u,v為直覺區(qū)間值模糊規(guī)則中的兩個語言變量,X,Y分別為語言變量u,v所屬的論域.假設(shè)輸入為A*,下面來計算輸出結(jié)果B*.令X={x1,x2,x3},Y={y1,y2,y3,y4},并假設(shè)Ak,A*∈DFS(X),Bk,B*∈DFS(Y)(k=1,2).假設(shè)

由式(1)可知

γA1(x1)=[0.3,0.55],γA1(x2)=[0,0.35],γA1(x3)=[0.35,0.8];

γA2(x1)=[0.26,0.6],γA2(x2)=[0,0.33],γA2(x3)=[0.32,0.8];

γA*(x1)=[0.3,0.6],γA*(x2)=[0,0.3],γA*(x3)=[0.3,0.8].

由式(3),可得

S(γA1(x1),γA*(x1))=0.83,S(γA1(x2),γA*(x2))=0.86,

S(γA1(x3),γA*(x3))=0.9,S(γA2(x1),γA*(x1))=0.88,

S(γA2(x2),γA*(x2))=0.91,S(γA2(x3),γA*(x3))=0.96.

假設(shè)x1,x2,x3的權(quán)值分別是0.4,0.6,0.8,根據(jù)(5)式,可算出A1與A*以及A1與A*之間的加權(quán)總體相似性測度:

再根據(jù)式(6),得到

5 結(jié)論

直覺區(qū)間值模糊集作為直覺模糊集的擴(kuò)展,具有很強(qiáng)的表達(dá)模糊數(shù)據(jù)和不確定數(shù)據(jù)的能力,由于直覺區(qū)間值模糊集本身所具有的特點,使得它在應(yīng)用領(lǐng)域具有廣闊的發(fā)展前景,在模糊推理的應(yīng)用中也受到普遍的關(guān)注.

本文在文獻(xiàn)[5-6]所定義的相似度的基礎(chǔ)上利用直覺區(qū)間值模糊集中的隸屬度和非隸屬度的值給出了度量直覺區(qū)間值模糊集之間的相似度和加權(quán)總體相似度的簡潔公式.給出了直覺區(qū)間值模糊集上的模糊推理方法,并舉例說明其應(yīng)用.

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IntuitionisticIntervalValueFuzzyReasoningBasedonIntervalValueSimilarityMeasure

SUN Xiao-ling, WANG Ning

(Department of Mathematics, Hefei Normal University, Hefei Anhui 230601, China)

Intuitionistic interval valued fuzzy set has more powerful ability to represent fuzzy information than intuitionistic fuzzy sets and the intuitionistic interval-valued membership and non membership value of which is easy to determine. The intuitionistic interval valued fuzzy set is used to fuzzy inference in the paper. According to the intuitionistic interval valued membership and non membership value, a calculation method of similarity measure and weighted overall similarity between intuitionistic interval valued fuzzy set is proposed. Based on this calculation method, a fuzzy reasoning algorithm on the intuitionistic interval valued fuzzy set is introduced. Finally, an example is illustrated to show the proposed reasoning algorithm is more consistent with the actual needs, strong operability and convenient for application

intuitionistic interval value; intuitionistic interval valued fuzzy set; interval value similarity measure; fuzzy reasoning

2013-02-20

孫曉玲(1977-), 女, 安徽合肥人, 講師, 碩士, 研究方向為不確定性模糊推理．

TP18; O159

A

1671-6876(2013)02-0099-07

[責(zé)任編輯李春紅]